7-3 用初等变换解线性方程组.

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换是一种解线性方程组的有效方法。

下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵初等变换来解线性方程组。

假设我们有以下线性方程组：
y + 2z = 2
-x + 2y - z = 3
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
1 ]
[ 1 -1 2 | 2 ]
[-1 2 -1 | 3 ]。

初等变换包括：
1.交换两行
2.将一行乘以一个非零常数
3.将一行的若干倍加到另一行上
我们的目标是通过初等变换将增广矩阵转换为行最简形式，这样我们就可以直接读取方程的解。

现在，我们开始进行初等变换：
第一步，我们可以交换第一行和第二行，得到：
2 ]
[ 2 1 -1 | 1 ]
[-1 2 -1 | 3 ]
第三行的第一个元素：
1 -1 | 1 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
第三步，我们可以将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
[ 1 -1 2 | 2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
除以3，以将第三个主元素变为1：
2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
，以消去第二行的第三个元素：
]
[ 0 3 0 | 7 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
元素变为1：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
我们可以直接读取方程组的解：
3
z = 5/3
应用中，可能需要根据具体情况进行更多的初等变换步骤。

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组。

所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量,s 是方程的个数，),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数,),,2,1(s j b j =称为常数项.方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等。

系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数。

所谓方程组（1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，（1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。

如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了。

确切地说，线性方程组（1)可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sns s n n b a a a b a a a b a a a21222221111211 (2） 来表示。

实际上，有了(2）之后，除去代表未知量的文字外线性方程组（1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,24,1323232321x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二第三两个方程的次序互换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，—6）。

目录摘要 ......................................................................... Abstract (I)第一章绪论 01.1 引言 0第二章行列式与线性方程组求解 02.1 标准形式的二元线性方程组 02.2 标准形式的三元线性方程组 (1)2.3 克莱姆法则 (2)2.3.1逆序数 (2)2.3.2 克莱姆法则 (3)第三章线性方程组的理论求解 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 线性方程组解的情况 (6)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (7)第四章求解线性方程组的新方法 (8)第五章线性方程组的应用 (10)5.1 投入产出数学模型 (10)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (13)第六章结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。

然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。

并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。

对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。

介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。

最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。

关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章 绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。