2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (解析版)
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2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）
1. 设全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥≥0}，𝐵={𝑥∈𝑁|𝑥≤3}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵等于( )
A. ⌀ B. {0,1} C. {1,2} D. {1,2，3}
2. 设等比数列{𝑎𝑛}中，每项均是正数，且𝑎5𝑎6=81，则log13𝑎1+log13𝑎2+log13𝑎3+⋯+log13𝑎10=( )
A. 20 B. −20 C. −4 D. −5
3. 已知𝛼,𝛽∈𝑅，则“存在𝑘∈𝑍使得𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽”是“sin𝛼=sin𝛽”的( )．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面边长为3，外接球表面积为16𝜋，则正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为( )
A. 3√34 B. 3√32 C. 9√34 D. 9√32
5. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A. 31.6岁 B. 32.6岁 C. 33.6岁 D. 36.6岁
6. 已知𝑎=log52，𝑏=log72，𝑐=0．5𝑎−2，则a，b，c的大小关系为( )
A. 𝑏<𝑎<𝑐 B. 𝑎<𝑏<𝑐 C. 𝑐<𝑏<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏
7. 将函数𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数𝑔(𝑥)的图象，再将函数𝑔(𝑥)的图象向右平移𝜋8个单位，得到函数𝑓(𝑥)的图象，则𝑓(𝑥)=( )
A. cos(𝑥−𝜋8) B. sin(𝑥−𝜋8) C. sin2x D. sin4x 8. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点F与抛物线𝑦2=8𝑥的焦点重合，过F作与一条渐近线平行的直线l，交另一条渐近线于点A，交抛物线𝑦2=8𝑥的准线于点B，若三角形𝐴𝑂𝐵(𝑂为原点)的面积3√3，则双曲线的方程为( )
A. 𝑥212−𝑦24=1 B. 𝑥24−𝑦212=1 C. 𝑥23−𝑦2=1 D. 𝑥2−𝑦23=1
9. 若函数𝑓(𝑥)=|4𝑥−𝑥2|+𝑎有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A. [−4,0] B. (−4,0) C. [0,4] D. (0,4)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
10. 设𝑧=1−𝑖(𝑖为虚数单位)，则2𝑧+𝑧2= ______ ．
11. 在(𝑥+2√𝑥)4的展开式中，x的系数为______.(用数字作答)
12. (1)在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______．
(2)设随机变量𝑋̃𝐵(2,𝑝)，随机变量𝑌̃𝐵(3,𝑝)，若𝑃(𝑋≥1)=59，则𝐷(3𝑌+1)=_________．
(3)如果𝜂∼𝐵(100,12)，当𝑃(𝜂=𝑘)取最大值时，𝑘=_____________．
(4)现有A、B两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分。A队中每人答对的概率均为23，B队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各答题人答题正确与否之间互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则𝑃(𝑀𝑁)=________。
13. 过点𝑃(3,1)向圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−2𝑦+1=0作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为______ ．
14. 已知正数x，y满足𝑥+𝑦=1，则4𝑥+1+9𝑦+2的最小值是______．
15. 在△𝐴𝐵𝐶中，点P是边AB的中点，已知|𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠𝐴𝐶𝐵=2𝜋3，则𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 16. 设△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且𝑏=3，𝑐=1，𝐴=2𝐵．
(1)求a的值；
(2)求sin(𝐴+𝜋3)的值．
17. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是平行四边形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐴𝑃=𝐴𝐵=2𝐴𝐷=4，线段AB与PC的中点分别为E，F．
(1)求证：𝐵𝐹//平面PDE；
(2)求二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐷的余弦值．
18. 已知椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右准线方程为𝑥=2，又离心率为√22，椭圆的左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上异于A、B任意一点． (1)求椭圆的方程；
(2)若直线BP与x轴交于点M，直线AP与y轴交于点N，求证；𝐴𝑀⋅𝐵𝑁为定值．
19. 已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>0，若𝑎2+𝑎3=6且𝑎2⋅𝑎4=16．
(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
(2)若𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+⋯+𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑛(𝑛+1)2(𝑛∈𝑁∗)，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑒𝑥(𝑎>0)．
(Ⅰ)当𝑎=12时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；
(Ⅱ)当1≤𝑎≤1+𝑒时，求证：𝑓(𝑥)≤𝑥．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．
解不等式得集合A，根据集合的定义求出∁𝑈𝐴以及(∁𝑈𝐴)∩𝐵即可．
解：全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥≥0}={𝑥|𝑥≤0或𝑥≥3}，
𝐵={𝑥∈𝑁|𝑥≤3}={0,1，2，3}，
∴∁𝑈𝐴={𝑥|0<𝑥<3}，
∴(∁𝑈𝐴)∩𝐵={1,2}．
故选：C．
2.答案：B
解析：
本题考查对数的运算法则及等比数列的性质.利用对数的运算法则化简所求的和，通过等比数列的性质求解即可，属于中档题．
解析：
解：∵等比数列{𝑎𝑛}中，每项均是正数，𝑎5𝑎6=81，
∴𝑎5𝑎6=𝑎4𝑎7=𝑎3𝑎8=𝑎2𝑎9=𝑎1𝑎10=81，
∴log13𝑎1+𝑙𝑜𝑔13𝑎2+⋯+𝑙𝑜𝑔13𝑎10，
，
=𝑙𝑜𝑔13(𝑎5𝑎6)5，
=5𝑙𝑜𝑔1381，
=−20．
故选B．
3.答案：C
解析：
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．
根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可．
解：当𝑘=2𝑛，为偶数时，𝛼=2𝑛𝜋+𝛽，此时𝑠𝑖𝑛𝛼=sin(2𝑛𝜋+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛽，
当𝑘=2𝑛+1，为奇数时，𝛼=2𝑛𝜋+𝜋−𝛽，此时𝑠𝑖𝑛𝛼=sin(𝜋−𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛽，即充分性成立，
当𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛽，则𝛼=2𝑛𝜋+𝛽，𝑛∈𝑍或𝛼=2𝑛𝜋+𝜋−𝛽，𝑛∈𝑍，即𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽，即必要性成立，
则“存在𝑘∈𝑍使得𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽”是“𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛽”的充要条件，
故选：C．
4.答案：D
解析：
本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，求出正三棱锥外接球的半径，进一步求得高，代入棱柱体积公式求解．
解：如图，取△𝐴𝐵𝐶的重心E，△𝐴1𝐵1𝐶1的重心𝐸1，取AC中点D，
则𝐸𝐸1的中点O是该正三棱柱外接球的球心，OA为球半径，
∵外接球表面积为16𝜋，∴𝑂𝐴2=16𝜋4𝜋=4，则𝑂𝐴=2． 又正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面边长为3，∴𝐴𝐸=23√32−(32)2=√3．
∴𝑂𝐸=√22−(√3)2=1，则正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的高为2．
∴𝑉𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1=12×3×3×√32×2=9√32．
故选：D．
