2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
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2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 设集合𝐴={𝑥|−3<𝑥<3},𝐵={𝑥|1𝑥−1<1}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {𝑥|2<𝑥<3} B. {𝑥|−3<𝑥<1}
C. {𝑥|−3<𝑥<3} D. {𝑥|−3<𝑥<1或2<𝑥<3}
2. 如图，点𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，△𝐸𝐶𝐷为正三角形，平面𝐸𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀是线段𝐸𝐷的中点，则下列结论正确的是( )
A. 二面角𝐷−𝐵𝐶−𝐸是直二面角
B. 直线𝐵𝑀，𝐸𝑁是异面直线
C. 𝐶𝑀⊥𝐸𝑁
D. 直线𝐸𝑁与平面𝑀𝐶𝐵所成角的正弦值为√34
3. 设𝑚是整数且𝑘= 4 𝑚+2，若𝑓(sin𝑥)=sin 𝑘𝑥，求𝑓(cos𝑥)为( )
A. sin 𝑘𝑥 B. 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 C. −𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 D. −𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
4. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，“tan𝐵tan𝐶>1”是“𝛥𝐴𝐵𝐶为钝角三角形”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知𝑎=log45，𝑏=(14)𝑙𝑜𝑔413，𝑐=log56，则( )
A. 𝑐>𝑏>𝑎 B. 𝑐>𝑎>𝑏 C. 𝑏>𝑐>𝑎 D. 𝑏>𝑎>𝑐
6. 已知𝑎=log0.60.5，𝑏=𝑐𝑜𝑠2，𝑐=0.60.5，则( )
A. 𝑎>𝑐>𝑏 B. 𝑎>𝑏>𝑐 C. 𝑐>𝑎>𝑏 D. 𝑐>𝑏>𝑎
7. 设𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−4，则函数𝑓(𝑥)的零点位于区间( )
A. (−1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 8. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形𝑂𝐴𝐷挖去扇形𝑂𝐵𝐶后构成).已知𝑂𝐴=10米，𝑂𝐵=𝑥米(0<𝑥<10)，线段𝐵𝐴、线段𝐶𝐷、弧𝐵𝐶⏜、弧𝐴𝐷⏜的长度之和为30米，圆心角为𝜃弧度，则𝜃关于𝑥的函数解析式是( )
A. 𝜃=2𝑥+10𝑥+10
B.
𝜃=𝑥+102𝑥+10
C.
𝜃=10−𝑥10+𝑥
D.
𝜃=10−𝑥2𝑥+10
9. 定义在区间(0,𝜋2)上的函数𝑦=2𝑐𝑜𝑠𝑥的图象与函数𝑦=3𝑡𝑎𝑛𝑥的图象的交点为𝑀，则点𝑀到𝑥轴的距离为( )
A. √32 B. √3 C. 1 D. 12
10. 函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥在区间[0,𝜋]上的零点之和是( )
A. 2𝜋3 B. 7𝜋12 C. 7𝜋6 D. 4𝜋3
11. 函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋3单位后与函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象重合，则𝑦=𝑓(𝑥)的解析式是( )
A. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋3) B. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋6)
C. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥+𝜋6) D. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥+𝜋3)
12. 下列结论正确的是( )
A. 若直线𝑙1：2(𝑚+1)𝑥+(𝑚−3)𝑦+7−5𝑚=0 与直线𝑙2：(𝑚−3)𝑥+2𝑦−5=0垂直，则𝑚=3
B. 若𝑎=log0.20.1，𝑏=0.20.1，𝑐=0.10.2，则𝑎>𝑏>𝑐
C. 圆𝑂1：𝑥2+𝑦2−2𝑥=0和圆𝑂2：𝑥2+𝑦2−4𝑦=0公共弦长为2√55
D. 线性相关系数𝑟越大，两个变量的线性相关性越强
二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 已知等比数列{𝑎𝑛}的各项都为正数，满足𝑎1=2，𝑎7=4𝑎5，设𝑏𝑛=log2𝑎1+log2𝑎2+⋯+log2𝑎𝑛，则数列{1𝑏𝑛}的前2019项和𝑆2019______．
14. 函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵(𝐴>0)最大值为5，最小值为−1，则振幅𝐴为______． 15. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以𝑂𝑥轴为始边作两个锐角𝛼、𝛽，它们的终边分别交单位圆于𝐴、𝐵两点．已知𝐴、𝐵两点的横坐标分别是√210、2√55.求tan(𝛼+𝛽)的值= ______ ．
16. 定义在𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，且在[0,2]上的解析式为𝑓(𝑥)={𝑥(1−𝑥),0≤𝑥≤1𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥,1<𝑥≤2，则𝑓(294)+𝑓(416)= ______ ．
17. 设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎2−𝑏2=(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴)2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为25，则△𝐴𝐵𝐶周长的最小值为______．
18. 函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥−√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥(𝜔>0)的图象在𝑦轴右侧的第一个最低点的横坐标为11𝜋12，则实数𝜔=______．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
19. 已知𝛼，𝛽∈(0,𝜋2)，且sin(𝛼+2𝛽)=75𝑠𝑖𝑛𝛼．
(1)求tan(𝛼+𝛽)−6𝑡𝑎𝑛𝛽的值；
(2)若𝑡𝑎𝑛𝛼=3𝑡𝑎𝑛𝛽，求𝛼的值．
20. 已知向量，，，设函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在上的最大值和最小值．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥(𝜔>0)的周期为𝜋．
(1)求函数𝑓(𝑥)的振幅，初相；
(2)用五点法作出在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数𝑓(𝑥)的图象可由𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象经过怎样的变换而得到的？
参考答案及解析
1.答案：𝐷
解析：解：𝐵={𝑥|𝑥<1，或𝑥>2}；
∴𝐴∩𝐵={𝑥|−3<𝑥<1，或2<𝑥<3}．
故选：𝐷．
可求出集合𝐵，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：𝐷
解析：解：点𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，△𝐸𝐶𝐷为正三角形，平面𝐸𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀是线段𝐸𝐷的中点，
如图，构造长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑃𝑄𝐺𝐻，则𝐸是𝐺𝐻中点，
在𝐴中，∵二面角𝐷−𝐵𝐶−𝐺是直二面角，∴二面角𝐷−𝐵𝐶−𝐸是锐二面角，故A错误；
在𝐵中，连结𝐵𝐷，𝑀𝑁，则𝑁是𝐵𝐷中点，∴𝑀𝑁//𝐵𝐸，
∴𝐵𝑀与𝐸𝑁是相交线，故B错误；
在𝐶中，以𝐶为原点，𝐶𝐷为𝑥轴，𝐶𝐵为𝑦轴，𝐶𝐺为𝑧轴，建立空间直角坐标系，
设𝐴𝐵=2，
则𝐵(0,2,0)，𝐶(0,0,0)，𝐷(2,0,0)，𝐸(1,0,√3)，𝑀(32,0,√32)，𝐸(1,0,√3)，𝑁(1,1,0)，
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)，
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴𝐶𝑀与𝐸𝑁不垂直，故C错误；
在𝐷中，𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)，𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，
设平面𝑀𝐶𝐵的法向量𝑛⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)， 则{𝑛⃗ ⋅𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32𝑥+√32𝑦=0𝑛⃗ ⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑦=0，取𝑥=1，得𝑛⃗ =(1,−√3,0)，
设直线𝐸𝑁与平面𝑀𝐶𝐵所成角为𝜃，
则𝑠𝑖𝑛𝜃=|𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ ||𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝑛⃗⃗ |=√34．
∴直线𝐸𝑁与平面𝑀𝐶𝐵所成角的正弦值为√34.故D正确．
故选：𝐷．
构造长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑃𝑄𝐺𝐻，则𝐸是𝐺𝐻中点．在𝐴中，二面角𝐷−𝐵𝐶−𝐸是锐二面角；在𝐵中，连结𝐵𝐷，𝑀𝑁，则𝑁是𝐵𝐷中点，𝑀𝑁//𝐵𝐸，从而𝐵𝑀与𝐸𝑁是相交线；在𝐶中，以𝐶为原点，𝐶𝐷为𝑥轴，𝐶𝐵为𝑦轴，𝐶𝐺为𝑧轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出𝐶𝑀与𝐸𝑁不垂直；在𝐷中，求出平面𝑀𝐶𝐵的法向量，利用向量法能求出直线𝐸𝑁与平面𝑀𝐶𝐵所成角的正弦值．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.答案：𝐴
解析：
故选A．
4.答案：𝐷
解析：解：△𝐴𝐵𝐶中，若𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶>1，
∴𝑡𝑎𝑛𝐵、𝑡𝑎𝑛𝐶都大于零，故B和𝐶都是锐角，
∴tan(𝐵+𝐶)=𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐶1−𝑡𝑎𝑛𝐵⋅𝑡𝑎𝑛𝐶<0，根据𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，可得𝑡𝑎𝑛𝐴=−tan(𝐵+𝐶)>0，
故A为锐角，故△𝐴𝐵𝐶的形状为锐角三角形，
若△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形，𝐵或𝐶为钝角，
则𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶<0，
若𝐴为钝角，则𝑡𝑎𝑛𝐴<0，tan(𝐵+𝐶)=𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐶1−𝑡𝑎𝑛𝐵⋅𝑡𝑎𝑛𝐶>0，
𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶<1，
故在△𝐴𝐵𝐶中，“𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶>1”是“△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形”的既不充分也不必要条件 故选：𝐷．
根据两角和的正切公式，诱导公式，结合充要条件的定义，判断可得答案．
本题以充要条件为载体，考查三角形形状的判断，难度中档．
5.答案：𝐷
解析：解：∵log56>0，log45>0，
∴𝑙𝑜𝑔56𝑙𝑜𝑔45=𝑙𝑜𝑔56⋅𝑙𝑜𝑔54<(𝑙𝑜𝑔56+𝑙𝑜𝑔542)2=(𝑙𝑜𝑔5242)2<(𝑙𝑜𝑔5252)2=1，
∴log56
又(14)𝑙𝑜𝑔413=4𝑙𝑜𝑔43=3，
∴𝑏>𝑎>𝑐．
故选：𝐷．
根据基本不等式和对数的运算即可得𝑙𝑜𝑔56𝑙𝑜𝑔45<1，则log56
本题考查了对数的运算性质，基本不等式的应用，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
6.答案：𝐴
解析：解：∵𝑎=log0.60.5>log0.60.6=1，
𝑏=𝑐𝑜𝑠2<0，
0<𝑐=0.60.5<0.60=1，
∴𝑎>𝑐>𝑏．
故选：𝐴．
利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性求解．
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、三角函数、指数函数的单调性的合理运用．
7.答案：𝐶
解析：
本题考察了函数零点的判定定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现，属于基础题．
根据零点的判定定理，直接将选项代入解析式即可．
解：∵𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−4，
