2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 已知R为实数集，集合𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|𝑥2−𝑥−2>0}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵)=( )

A. (0,2] B. (−1,2) C. [−1,2] D. [0,4]

2. 下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )

A. 𝑦=1𝑥+1

B.

𝑦=(𝑥−1)2

C.

𝑦=21−𝑥 D. 𝑦=lg(𝑥+3)

3. 设，𝑏=315，𝑐=(15)0.4，则有( )

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑎<𝑐<𝑏 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑐<𝑏<𝑎

4. 设，则“|𝑥−2|<1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的 ( )

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5. 从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为( )

A. 20 B. 25 C. 30 D. 35

6. 已知函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥−√3cos𝜔𝑥(𝜔>0)的图象的相邻两对称轴间的距离为𝜋2，则当时，𝑓(𝑥)的最大值和单调增区间分别为( )

A. 1，[−𝜋2,−𝜋6] B. 1，[−𝜋2,−𝜋12] C. √3,[−𝜋6,0] D. √3,[−𝜋12,0]

7. 已知P为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆𝑥2+𝑦2=𝑎2的位置关系是

A. 内切 B. 内切或外切 C. 外切 D. 相离或相交

8. 数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛+1，则𝑎7等于( )

A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 16 9. 𝑓′(𝑥)为函数𝑓(𝑥)的导函数，，若𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−12𝑥2+𝑥，方程𝑔(𝑎𝑥)−𝑥=0有且只有一个根，则a的取值范围是( )

A. {1𝑒} B. (−∞,1𝑒] C. (0,1𝑒] D. (−∞,0]⋃{1𝑒}

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知复数𝑧=(𝑎−1)+𝑖(𝑎∈𝑅)是纯虚数，则1+𝑖𝑎−𝑖的值是______ ．

11. 若(𝑎𝑥−1)5的展开式中𝑥3的系数是80，则实数a的值是_______．

12. 从装有质地均匀大小相同的3个白球、2个红球的袋中随机取出2个小球，则取出的小球是同色球的概率是__________．

13. 曲线𝑦=𝑥𝑒−𝑥在点(1,1𝑒)处的切线方程为_____________．

14. 若𝑥>1，则2𝑥+9𝑥+1+1𝑥−1的最小值是____．

15. |𝑎⃗ |=4，𝑎⃗ 与𝑎⃗ −𝑏⃗ 的夹角为30°，则|𝑏⃗ |的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．

17. 已知数列{2𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1=3，𝑎3=7．

(1)证明：数列{𝑎𝑛}是等差数列，并求出其通项公式；

(2)求数列{1(𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛+1)}的前𝑛项和𝑆𝑛．

18. 已知圆𝑥2+𝑦2=4经过椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的两个焦点和两个顶点，点𝐴(0,4)，M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠𝑀𝐴𝑁的平分线在y轴上，|𝐴𝑀|≠|𝐴𝑁|．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)证明：直线MN过定点．

19. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛=4𝑎𝑛−12𝑎𝑛−1+1(𝑛≥2)

(Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(Ⅱ)证明：∑𝑎𝑘𝑛𝑘=1>3𝑛−22．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥⋅(𝑥2+𝑎𝑥+1)，𝑎∈𝑅(𝑒为自然对数的底数)．

(Ⅰ)若𝑥=𝑒是𝑓(𝑥)的极值点，求实数a的值；

(Ⅱ)求𝑓(𝑥)的单调递增区间．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．

先化简集合B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．

解：R为实数集，集合𝐴={𝑥|𝑥>0}，

𝐵={𝑥|𝑥2−𝑥−2>0}={𝑥|𝑥<−1或𝑥>2}，

∴∁𝑅𝐵={𝑥|−1≤𝑥≤2}，

∴𝐴∩(∁𝑅𝐵)={𝑥|0<𝑥≤2}=(0,2]．

故选A．

2.答案：D

解析：解：A中，𝑦=1𝑥+1在(−1,+∞)和(−∞,−1)上单调递减，故在(0,+∞)上也单调递减，排除A；

B中，𝑦=(𝑥−1)2在(−∞,1]上递减，在[1,+∞)上递增，故在(0,+∞)上不单调，排除B；

𝑦=21−𝑥在R上单调递减，排除C；

𝑦=lg(𝑥+3)在(−3,+∞)上递增，故在(0,+∞)上也单调递增，

故选D．

利用基本初等函数的单调性逐项判断即可．

本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的单调性是解决相关问题的基础．

3.答案：B

解析：解：，

𝑏=315>30=1， 0<𝑐=(15)0.4<(15)0=1，

∴𝑎<𝑐<𝑏．

故选：B．

利用指数函数和对数函数的性质求解．

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．

4.答案：A

解析：

本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解：|𝑥−2|<1⇔1<𝑥<3，

由𝑥2+𝑥−2>0，可得𝑥>1或𝑥<−2，

由于{𝑥|1<𝑥<3}是{𝑥|𝑥>1或𝑥<−2}的真子集，

所以“|𝑥−2|<1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的充分条件．

故选A．

5.答案：C

解析：解：成绩在[130,140)内的频率为1−(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3，

∴成绩在[130,140)内的学生人数为100×0.3=30．

故选：C．

根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求成绩在[130,140)内的频率，再根据频数=频率×样本容量，求得学生人数．

本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积．

6.答案：D

解析：

本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的思想，属于中档题．利用两角差的正弦函数公式化简可得函数解析式𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−𝜋3)，由题意可求周期T，利用周期公式可求𝜔，由𝑥∈[−𝜋2,0]，可得2𝑥−𝜋3∈[−4𝜋3,−𝜋3]，利用正弦函数的图象和性质即可求𝑓(𝑥)的最大值和单调增区间．

解：∵𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥−√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−𝜋3)的图象的相邻两对称轴间的距离为𝜋2，

∴周期𝑇=𝜋=2𝜋𝜔，解得：𝜔=2，

∴𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)，

∵𝑥∈[−𝜋2,0]时，2𝑥−𝜋3∈[−4𝜋3,−𝜋3]，

∴利用正弦函数的图象和性质可得𝑓(𝑥)的最大值为√3．

单调增区间为：[−𝜋12,0]．

故选D．

7.答案：B

解析：

本题考查双曲线的简单性质以及圆与圆的位置关系的判断.解题的关键是熟练掌握双曲线的性质及圆的位置关系的判断方法．

解题时可以作出草图，若F为右焦点，在图形中连接PF 、𝑃𝐹2，𝐹2为左焦点，设以线段PF为直径的圆的圆心为M，O为𝐹1𝐹中点，M为PF中点，根据中位线定理可以得出𝑀𝑂=𝑎+12𝑃𝐹，即可得出两圆的圆心距等两半径之和，由此易判断得出两圆外切，同理可确定F为左焦点时，两圆的位置关系，从而可确定正确选项．

解：连接PF，𝑃𝐹1，𝐹1为左焦点，

设以线段PF为直径的圆的圆心为M，

O为𝐹1𝐹中点，M为PF中点，

∴|𝑀𝑂|=12|𝑃𝐹1|，

由双曲线定义可知|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹|=2𝑎，

|𝑃𝐹1|=2𝑎+|𝑃𝐹|， |𝑀𝑂|=𝑎+12|𝑃𝐹|，故两圆的圆心距等两半径之和，

所以两圆外切，

若F为左焦点，𝐹1为右焦点，同理可得两圆内切．

故选B．

8.答案：C

解析：解：数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛+1，

可得𝑎𝑛−1𝑎𝑛=2𝑛，

所以𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−1，

所以𝑎7=23𝑎1=8．

故选：C．

利用递推关系式，推出数列性质，然后求解即可．

本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．

9.答案：D

解析：

本题考查了导数的运算法则和参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，属于难题．

先根据导数的运算法则求出𝑓(𝑥)，再求出𝑔(𝑥)，根据方程𝑔(𝑎𝑥)−𝑥=0，转化为𝑎𝑥=𝑙𝑛𝑥.分离参数，利用数形结合的思想即可求出答案．

解：∵𝑓(𝑥)=12𝑥2−𝑓(0)𝑥+𝑓′(1)𝑒𝑥−1，

∴𝑓(0)=𝑓′(1)𝑒−1，

∴𝑓′(𝑥)=𝑥−𝑓(0)+𝑓′(1)𝑒𝑥−1，

∴𝑓′(1)=1−𝑓′(1)𝑒−1+𝑓′(1)𝑒1−1，

∴𝑓′(1)=𝑒，

∴𝑓(0)=𝑓′(1)𝑒−1=1，

∴𝑓(𝑥)=12𝑥2−𝑥+𝑒𝑥，