2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 设集合𝑈={1,2，3，4，5}，𝑀={1,2，3}，𝑁={2,5}，则𝑀∩(∁𝑈𝑁)等于( )

A. {2} B. {2,3} C. {3} D. {1,3}

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )

A. 𝑦=1𝑥 B. 𝑦=𝑥2 C. 𝑦=2|𝑥| D. 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥

3. 函数𝑓(𝑥)=log2𝑥−1𝑥的零点所在区间( )

A. (1,2) B. (2,3) C. (0,12) D. (12,1)

4. 已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4𝜋时该圆柱的体积为( )

A. 𝜋 B. 2𝜋 C. 3𝜋 D. 4𝜋

5. 将函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的图象向左平移𝜋2个单位，若所得图象与原图象重合，则𝜔的值可能等于( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6. “𝑥>𝜋6”是“sin𝑥>12”的( )

A. 充分不必要条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件

7. 已知某口袋中有3个白球和n个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是𝜉，若𝐸(𝜉)=3，则𝐷(𝜉)= ( )

A. 1 B. 12 C. 32 D. 2

8. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦23=1，(𝑎>0)的一个焦点与抛物线𝑦2=8𝑥的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( )

A. 𝑦=±12𝑥 B. 𝑦=±√3𝑥 C. 𝑦=±√33𝑥 D. 𝑦=±√32𝑥

9. 已知菱形ABCD的边长为2，∠𝐵𝐴𝐶=60°，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 2 B. 4−2√3 C. −2 D. 4+2√3 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 设i为虚数单位，则复数2𝑖1−𝑖的虚部为______．

11. 函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−2−2的单调减区间为__________．

12. 设倾斜角为60°的直线l过点(1,0)且与圆C：𝑥2+𝑦2−4𝑥=0相交，则圆C的半径为______；圆心到直线l的距离是______；直线l被圆截得的弦长为______．

13. (√𝑥−2√𝑥3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)．

14. 已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥cos𝑥，则𝑓(−1)+𝑓(1)=________．

15. 函数𝑓(𝑥)=3𝑥−16在[2,5]上有________个零点．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3，𝐴=60°．

(1)求BC的长；

(2)求sin2C的值．

17. 如图，四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐴𝐸⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，𝐵𝐸//𝐶𝐷，∠𝐵𝐸𝐷=90°，𝐴𝐷=𝐶𝐷=2𝐵𝐸=2．

(1)若F为AD的中点，证明：𝐸𝐹//平面ABC； (2)若直线AB与底面BCDE所成角为45°，求二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的正弦值．

18. 已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2.过𝑃(0,√32𝑏)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，𝑁.当𝑘=0时，四边形𝑀𝑁𝐹1𝐹2恰在以𝑀𝐹1为直径，面积为2516𝜋的圆上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁|=37|𝑀𝑁|，求直线l的方程．

19. 已知数列{𝑎𝑛}为等差数列，且32，3，𝑎4，𝑎10成等比数列．

(Ⅰ)求𝑎𝑛；

(Ⅱ)求数列{2𝑎𝑛(𝑎𝑛+𝑛)}的前n项和𝑆𝑛．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+𝑎)−𝑥，𝑎∈𝑅．

(1)当𝑎=−1时，求𝑓(𝑥)的单调区间；

(2)若𝑥≥1时，不等式𝑒𝑓(𝑥)+𝑎2𝑥2>1恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：∁𝑈𝑁={1,3，4}，

则𝑀∩(∁𝑈𝑁)={1,3}，

故选：D．

根据集合的基本运算进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2.答案：D

解析：解：A．𝑦=1𝑥是奇函数，∴该选项错误；

B.𝑦=𝑥2在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；

C.𝑦=2|𝑥|在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；

D.𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥为偶函数，在(0,1)上单调递减，∴该选项正确．

故选：D．

可判断𝑦=1𝑥为奇函数，从而得出A错误，𝑦=𝑥2和𝑦=2|𝑥|在(0,1)上都单调递增，从而得出B，C都错误，从而选D．

考查奇函数、偶函数的定义及判断方法，二次函数、指数函数以及余弦函数的单调性．

3.答案：A

解析：

本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．

根据函数零点的判定定理即可得到结论．

解：函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，且函数𝑓(𝑥)单调递增，

∵𝑓(1)=log21−1=−1<0，𝑓(2)=log22−12=1−12=12>0，

∴在(1,2)内函数𝑓(𝑥)存在零点， 故选：A

4.答案：B

解析：

本题考查了圆柱的的侧面积与体积，属于中档题，

根据相似可得𝐴𝑂1=2𝑟，再由圆柱侧面积为4𝜋可得r和h，即可得出圆柱的体积．

解：圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，0<𝑟<2.由题意可知△𝐴𝑂1𝐷∽△𝐴𝑂2𝐶，则有𝐴𝑂1𝑂1𝐷=𝐴𝑂2𝑂2𝐶=2，所以𝐴𝑂1=2𝑟，

则圆柱的高ℎ=4−2𝑟，其侧面积𝑆=2𝜋𝑟(4−2𝑟)=4𝜋(−𝑟2+2𝑟)=4𝜋，解得𝑟=1.当𝑟=1时，ℎ=2，所以该圆柱的体积𝑉=𝜋𝑟2ℎ=2𝜋．

故选B．

5.答案：D

解析：

本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．

由条件利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，求得𝜔的可能取值．

解：由题意可知：函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的图象向左平移𝜋2个单位，

可得：𝑓(𝑥+𝜋2)=sin[𝜔(𝑥+𝜋2)+𝜑]

=sin(𝜔𝑥+𝜋2𝜔+𝜑)，与原图象重合，

即𝜑=𝜋2𝜔+𝜑+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， 解得：𝜔=−4𝑘，𝑘∈𝑍，

当𝑘=−2时，𝜔=8，

故选：D．

6.答案：D

解析：

本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

解：𝑠𝑖𝑛𝑥>12，解得𝜋6+2𝑘𝜋<𝑥<5𝜋6+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，

𝑥>𝜋6时，𝑠𝑖𝑛𝑥∈[−1,1]

∴“𝑥>𝜋6”是“sin𝑥>12”的既不充分也不必要条件．

故选D．

7.答案：A

解析：

本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望与方差计算，属于中档题．

求出𝜉的分布列，代入数学期望公式计算n，再代入方差公式计算方差．

解：𝜉的可能取值为2，4，

且𝑃(𝜉=2)=33+𝑛，𝑃(𝜉=4)=𝑛3+𝑛，

∴𝐸𝜉=2×33+𝑛+4×𝑛3+𝑛=3，解得𝑛=3．

∴𝑃(𝜉=2)=12，𝑃(𝜉=4)=12，

∴𝐷𝜉=(2−3)2×12+(4−3)2×12=1．

故选A．

8.答案：B

解析：

本题考查双曲线的几何性质以及双曲线、抛物线的标准方程，注意求出抛物线的焦点坐标．

根据题意，求出抛物线的焦点坐标，则可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线渐近线方程计算可得答案．

解：根据题意，抛物线的方程为：𝑦2=8𝑥，其焦点坐标为(2,0)，

若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦23=1的一焦点与抛物线𝑦2=8𝑥的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为(±2,0)，

则有3+𝑎2=4，解可得𝑎=1，

故其渐近线方程为：𝑦=±√3𝑥；

故选B．

9.答案：A

解析：解：∵在菱形ABCD中，边长为2，∠𝐵𝐴𝐶=60°，

∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=60°，

∴𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅𝑐𝑜𝑠60°=2×2×12=2，

故选：A．

根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可

本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题

10.答案：1

解析：解：∵2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−1+𝑖，

∴此复数的虚部是1；

故答案为：1．

对所给的复数分子、分母同乘以1+𝑖，利用𝑖2=−1进行化简，整理出实部和虚部．

本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．

11.答案：(−∞,−1)

解析：

本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．

解：由题意可得𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−2+𝑥𝑒𝑥−2=𝑒𝑥−2(1+𝑥)，

当𝑥∈(−∞,−1)时，𝑓′(𝑥)<0，