人教版高中数学选修2-3练习：第一章 章末复习课 Word版含解析
- 格式：pdf
- 大小：768.61 KB
- 文档页数：9
章末复习课
整合·网络构建]
警示·易错提醒]
1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不
重、不漏．
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有
序”区分开来．
3．正确区分分堆问题和分配问题．
4．二项式定理的通项公式T
k＋1＝Can－kbk是第(k＋1)项，而不是kn
第k项，注意其指数规律．
5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数
最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，
要注意n与k的取值范围．
6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中
“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与
“奇(偶)次项系数的和”．
专题一 两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，高考
中时有出现，一般是与排列、组合相结合进行考查，难度中等．
例1] 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要
求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有
( )
高 中
数 学
A.144种 B．72种
C．64种 D．84种
解析：法一 根据所用颜色的种数分类
第一类：用4种颜色涂，方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．
4
第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有CC
12
A＝48(种)．
1423
第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A＝12(种)．
24
根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)．
法二 根据“高”“学”是否为同色分类
第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C种
14
方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝
36(种)．
第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，
区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有
4×3×2×2＝48(种)．
根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)．
答案：D
归纳升华 应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还
是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完
成该事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可
能既要分类又要分步，此时应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，
要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．
变式训练] 在∠AOB的OA边上取3个点，在OB边上取4个
点(均除O点外)，连同O点共8个点，现任取其中三个点为顶点作三
角形，可作的三角形有( )
A．48 B．42
C．36 D．32
解析：分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB
边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有CC个；
1324
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任
取一点，可构造一个三角形，有CC个；
2314
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任
取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个．
1314
由分类加法计数原理，可作的三角形共有N＝CC＋CC＋CC
132423141314
＝42(个)．
答案：B
专题二 排列组合应用题
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进
行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式
与方法解题．
1．合理分类，准确分步．
例2] 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至
少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种
(用数字作答)．
解析：①只有1名老队员的排法有CCA＝36(种)．②有2名老
12233
队员的排法有CCCA＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)．
213122
答案：48
2．特殊优先，一般在后．
例3] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均
在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
解析：①当C在第一或第六位时，排法有A＝120(种)；
5
②当C在第二或第五位时，排法有AA＝72(种)；
243
③当C在第三或第四位时，排法有AA＋AA＝48(种)．
23233
所以排法共有2×(120＋72＋48)＝480(种)．
答案：480
3．直接间接，灵活选择．
例4] 10件产品中有2件合格品，8件优质品，从中任意取4
件，至少有1件是合格品的抽法有________种．
解析：法一 抽取的4件产品至少有1件合格品分为有1件合格
品、2件合格品2种情况：有1件合格品的抽法有CC种；有2件
1238
合格品抽法有CC种．根据分类加法计数原理至少有1件合格品的
228
抽法共有CC＋CC＝140(种)．
1238228
法二 从10件产品中任意抽取4件，有C种抽法，其中没有
410
合格品的抽法有C种，因此至少有1件合格品的抽法有C－C＝
4841048
210－70＝140(种)．
答案：140 4．元素相邻，捆绑为一．
例5] 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其
中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．
解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字
2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第
二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求
的五位数有AA＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．
23
答案：18
5．元素相间，插空解决．
例6] 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰
有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．
解析：先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个元素
4
(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形
成的5个“空挡”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为AA＝
25425
480.
答案：480
6．分组问题，消除顺序．
例7] 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要
安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
________．
解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有＝C
A
3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A种方法，
26
故不同的安排种数为3A＝90.
26
答案：90
归纳升华 解排列组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思
想．
(1)三大原则是：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类
后分步的原则．
(2)基本类型主要包括：排列中的“在与不在”问题，组合中的
“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等．
(3)转化思想：就是把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而
把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．
专题三 二项式定理的应用
二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特
别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要
注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．
例8] (1)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为(
x
2－i
x)n
－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( ) 3
14
A．第三项 B．第四项
C．第五项 D．第五项或第六项
(2)设(3x－1)6＝a
6x6＋a
5x5＋a
4x4＋a
3x3＋a
2x2＋a
1x＋a
0，则a
6＋a
4
＋a
2＋a
0＝________．
解析：(1)T
3＝－Cx2n－5，T
5＝Cx2n－10.
2n
4n
由－＝－，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(舍去n＝－5)， C
C3
14
又T
r＋1＝C(－i)rx20－r， r
105
2
据此可知当r分别取0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当
r＝4时，C＝210为最大．
410(2)令x＝1，得a
6＋a
5＋a
4＋a
3＋a
2＋a
1＋a
0＝26＝64；
令x＝－1，得a
6－a
5＋a
4－a
3＋a
2－a
1＋a
0＝4 096.
两式相加，得2(a
6＋a
4＋a
2＋a
0)＝4 160，
所以a
6＋a
4＋a
2＋a
0＝2 080.
答案：(1)C (2)2 080
归纳升华
(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，
可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正数．
(2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大
的项”等概念．
(3)求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第
几项．
(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±
1等．
变式训练] (1)展开式中的含x－3的项的系数为( ) (
x
－2
x
3)5
A．80 B．60
C．40 D．－40
(2)已知(1＋x)6(1－2x)5＝a
0＋a
1x＋a
2x2＋…＋a
11x11，则a
1＋a
2
＋…＋a
11＝________．
解析：(1)设展开式的第(r＋1)项为T
r＋1＝Cx5－r＝(－2)rC
r
5(
－2
x
3)r
r
5
x5－4r，令5－4r＝－3，得r＝2，
所以，展开式中含x －3的项为
T
3＝(－2)2Cx
－3＝40x－3.
25
(2)令x＝0，得a
0＝1；令x＝1，得a
0＋a
1＋a
2＋…＋a
11＝－64.
