主 动 大 胆 参 与 搏 取 更 大 成 功
马 家 砭 中 学 导 学 稿
科 目 数学 课题 12.3角的平分线的性质（2） 授 课 时 间 2013-10-11
设计人 韩伟 课型 新授 班 级 姓 名
学 习
目 标 1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．
教师寄语 光有知识是不够的，还应当应用；光有愿望是不够的，还应当行动！！！
学法指导 数形结合，根据图形培养学生分析问题和解决问题的能力
认真阅读课本50页，完成以下问题
1、复习引入思考（学生合作、教师引导）
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）（学生合作、教师引导）
例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、
CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
课堂展示、合作学习 课前热身、自主预习
PNMCBA AB D C
主 动 大 胆 参 与 搏 取 更 大 成 功
例2： 如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
1、这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流，
2、你还需要老师为你解决哪些问题？
3、你还对同学有哪些温馨的提示？
第九讲：角平分线的性质（二）
知识点：
角平分线的性质：
角平分线的判定：
例题讲解：
例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；
（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；
（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；
（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则
⊿DEB的周长为________
（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。
例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。
求证：DF=EF
例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN
例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF
例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。
（1）图中共有______对全等三角形；
（2）选择其中一对给予证明。
巩固：
1、如图，⊿ABC中，AD是它的角平分线，若23ACAB，求ACDABDSS的值。
2、PA、PB分别是⊿ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BC于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。
3、如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．
求证：点P必在∠A的平分线上．
4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CDM=35°，请你求出∠MAB的度数。
5、如图，在⊿ABC中，∠ABC=100°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。
12.3 角平分线的性质 （重难点）
【知识点一、 角的平分线及其性质】
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（
2
）分别以点M、N为圆
心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．
2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【知识点二、角平分线的判定】
1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
定理的几何表述：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴点P 在∠AOB的平分线上．
2．三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
考点1：利用角平分线性质求距离
例1．如图，在△𝐴𝐵𝐶
中，∠𝐶=90°
，若𝐴𝐶=9
，𝐷𝐶=1
3𝐴𝐶
，𝐵𝐷
平分∠𝐴𝐵𝐶
，则点𝐷
到𝐴𝐵
的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】过点D
作DH⊥AB
，垂足为H
，由题意可得DC=3
，再由角平分线的性质可得CD=DH=3
，即可得
到答案．
【详解】解：如图，过点D
作DH⊥AB
，垂足为H
，
∵
AC=9
，DC=1
3AC
，
∴DC=3
，∵BD
平分∠ABC
，∠C=90°，DH⊥AB
，
∴CD=DH=3
，
∴点D
到AB
的距离等于3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．
【变式训练1-1】如图，点E为∠𝐵𝐴𝐶
平分线𝐴𝑃
上一点，𝐴𝐵=5
，△𝐴𝐵𝐸
的面积为15，则点E到直线𝐴𝐶
的
距离为（
）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】设点E
到直线AB
的距离为ℎ
，根据三角形面积公式即可求解．
《12.3角的平分线的性质》习题
一、选择题
1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D.
下列结论中错误的是( )
A．PC = PD B．OC = OD
C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC
2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )
A．10cm B．8cm
C．6cm D．9cm
二、填空题
3．角平分线的性质定理：
角平分线上的点_____________________________．
4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF.
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为E、F，且DE = DF，则∠1_____∠2.
三、解答题
5．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.
求证：CE = CF.
6．已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB = AC，BD平分∠ABC．
求证：BC = AB + AD.
ABCDOPEDCBA21ABCDEFFABECDDBAC
