12.3角的平分线的性质(2)
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O D
E P A
C
B 12．3角的平分线的性质（二）
教学目标
1． 角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
一、 知识回顾：
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
二、新知探究：
1．思考：反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
总结：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： P D S D
P M N A
B C F
E C ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
归纳、比较：
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知
条件 OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
2.思考：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求。
三、知识运用：
1．例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
P C
P C A
B C E F D D
E F C
A B 2．课堂练习：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH，
点F在∠DAE的平分线上.
3.利用结论，解决问题
（1）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想：
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
拓展与延伸
（2）直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个
货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,
则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
课堂练习：
（1）.△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线
（2）已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
四、课堂小结： 1.到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： M G
H ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
