12.3角平分线的性质与判定

主 动 大 胆 参 与 搏 取 更 大 成 功

马 家 砭 中 学 导 学 稿

科 目 数学 课题 12.3角的平分线的性质（2） 授 课 时 间 2013-10-11

设计人 韩伟 课型 新授 班 级 姓 名

学 习

目 标 1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

教师寄语 光有知识是不够的，还应当应用；光有愿望是不够的，还应当行动！！！

学法指导 数形结合，根据图形培养学生分析问题和解决问题的能力

认真阅读课本50页，完成以下问题

1、复习引入思考（学生合作、教师引导）

（1）、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？

（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）（学生合作、教师引导）

例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、

CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2

课堂展示、合作学习 课前热身、自主预习

PNMCBA AB D C

主 动 大 胆 参 与 搏 取 更 大 成 功

例2： 如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

1、这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流，

2、你还需要老师为你解决哪些问题？

3、你还对同学有哪些温馨的提示？

12.3 角平分线的性质 （重难点）

【知识点一、 角的平分线及其性质】

1．尺规作角平分线

尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（

2

）分别以点M、N为圆

心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．

2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【知识点二、角平分线的判定】

1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

定理的几何表述：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴点P 在∠AOB的平分线上．

2．三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

考点1：利用角平分线性质求距离

例1．如图，在△𝐴𝐵𝐶

中，∠𝐶=90°

，若𝐴𝐶=9

，𝐷𝐶=1

3𝐴𝐶

，𝐵𝐷

平分∠𝐴𝐵𝐶

，则点𝐷

到𝐴𝐵

的距离等于（ ）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【分析】过点D

作DH⊥AB

，垂足为H

，由题意可得DC=3

，再由角平分线的性质可得CD=DH=3

，即可得

到答案．

【详解】解：如图，过点D

作DH⊥AB

，垂足为H

，

∵

AC=9

，DC=1

3AC

，

∴DC=3

，∵BD

平分∠ABC

，∠C=90°，DH⊥AB

，

∴CD=DH=3

，

∴点D

到AB

的距离等于3，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关

键．

【变式训练1-1】如图，点E为∠𝐵𝐴𝐶

平分线𝐴𝑃

上一点，𝐴𝐵=5

，△𝐴𝐵𝐸

的面积为15，则点E到直线𝐴𝐶

的

距离为（

）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【分析】设点E

到直线AB

的距离为ℎ

，根据三角形面积公式即可求解．

12.3角平分线的性质及判定

第3课时 角平分线的应用

一、教学目标

知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题

过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣

二、教学准备

多媒体课件，教学三角板

三、重点难点

重点：角平分线的性质

难点：角平分线的应用

四、教学方法

讲练结合

五、教学过程 （一）、复习旧知

1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（二）、情境导入

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？

问题2：往哪条路走更近呢？

（三）探究新知

关于三角形三条角平分线的交点问题 如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：

①AP、BQ、CR相交于一点吗？

② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？

结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

（四）例题精析

例

1三角形内（外）角平分线夹角结论

（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB

（2）如图PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角

教 学 设 计

题 目 11.3角的平分线的性质（复习课） 总课时 1课时

学 校 长岗中学 教者 年班 8年 学 科 数学

设计来源 自我设计 教学时间 9月14日

教

材

分

析 本节课是选自人教版八年级上册第十一章第三节的内容，是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理。同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，是今后作图、计算、证明的重要工具，为初三的学习作铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。

角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，它为后面的几何证明提供了一种新的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质并在此基础上进行简单应用。本节内容不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学会在实际问题中建立数学模型。

学情分析 在新课程环境下，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程，教师要注意引导、质疑、观察、探究，使学生在实践中学习。根据学生的实际情况，结合本节的教材的特点我采用“启发诱导—探索发现”的教学方法。让学生在观察、比较、分析、概括等活动中，体验知识的生成、发展与应用。

教

学

目

标 1、 角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

重

点 角平分线的性质及其应用．

难

点 灵活应用两个性质解决问题．

课前准备 课件演示角平分线的画法 例题教解

总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“文案”

教 学 流 程

分课时 环 节

与时间 师 生 活 动 △设计意图

◇资源准备

□评价○反思