幂函数

高一数学幂函数知识点归纳大全在高一数学学科中，幂函数是重要的一个知识点。

幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a和n是实数，且a≠0，n≠0。

一、幂函数的定义及性质幂函数的定义就是函数的定义，即y = ax^n，其中a称为幂函数的底数，n称为指数。

幂函数的性质有以下几点：1. 当n为正整数时，幂函数表示乘方运算，例如y = 2x^3表示x的3次方。

2. 当n为负整数时，幂函数表示倒数，例如y = 2x^-2表示x的倒数的平方。

3. 当n为分数时，幂函数表示根式，例如y = 2x^(1/2)表示x的平方根。

4. 当n为零时，幂函数表示常数函数，即y = a，其中a为常数。

二、幂函数图像特征1. 当a>0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向上，且对称于y轴。

2. 当a>0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向上，且不对称于y 轴。

3. 当a<0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向下，且对称于y轴。

4. 当a<0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向下，且不对称于y 轴。

三、幂函数的变换幂函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到其他函数形式。

1. 平移：平移是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右移动。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标减2，可以得到y = 2(x-2)^3，实现了向右平移2个单位。

2. 伸缩：伸缩是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右拉长或缩短。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标扩大为原来的2倍，可以得到y = 2(2x)^3，实现了横向的伸缩。

3. 翻转：翻转是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右翻转。

例如，对于函数y = 2x^3，将函数的图像上下翻转，可以得到y = -2x^3，实现了关于x轴的翻转。

四、幂函数的应用1. 金融领域：在复利计算中，幂函数常被用于计算投资收益和贷款利息。

2. 自然科学领域：幂函数经常出现在自然界的现象中，如物体的自由落体运动中，下落距离与时间的关系可以用幂函数表示。

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百科名片幂函数一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

目录概念性质特性定义域和值域特殊性图象特别说明编辑本段概念形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a 取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

编辑本段性质所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图像都过点（1,1）。

（1）当a>0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都通过点（1,1）(0,0) ；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a>1时，图像开口向上；0<a<1时，图像开口向右；d、函数的图像通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数。

（2）当a<0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图像在y轴右方无限逼近y 轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴[1]。

（3）当a=0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、y=x^0是直线y=1去掉一点（0,1）它的图像不是直线。

编辑本段特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x 的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。

其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。

需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。

例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。

二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。

例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。

（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。

比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。

2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。

例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。

（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。

3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。

三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。

（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。

2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。

（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。

2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。

特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当a<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。

（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数{x|x≠0}。

[2]特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且px，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q ／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x p／q=q p是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x k，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。

高三数学知识点幂函数高三数学知识点：幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，它在数学建模、经济学、生物学等各个领域中有着广泛应用。

本文将介绍幂函数的定义、特征、性质以及解题方法。

一、幂函数的定义幂函数是指形如y = ax^k的函数，其中a为常数，k为实数。

在这个函数中，x是自变量，y是因变量，a称为幂函数的底数，k 称为幂函数的指数。

二、幂函数的特征1. 底数a和指数k可以是任意实数，因此幂函数具有广泛的定义域和值域。

2. 当底数a大于1时，函数图像随着自变量x的增加而上升，呈递增趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像随着自变量x 的增加而下降，呈递减趋势。

3. 幂函数的特殊情况包括指数函数（当底数a为常数e时）、常数函数（当指数k为0时）和线性函数（当指数k为1时）。

三、幂函数的性质1. 对于同一个底数a和不同的指数k1和k2，若k1 < k2，则a^k1 < a^k2。

即幂函数的值随着指数的增大而增大。

2. 幂函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)，因此幂函数是偶函数。

3. 幂函数的导数可以通过对幂函数取对数来求得，即幂函数的导数为它自身的指数乘以底数的对数。

四、解题方法1. 求幂函数的零点：设幂函数的零点为x0，则有a^k = 0，由此可得x0 = 0。

因此，幂函数的零点为x = 0。

2. 求幂函数的定义域和值域：根据幂函数的定义，可以推导出幂函数的定义域为全体实数集，当底数a大于0时，幂函数的值域为(0, +∞)；当底数a小于0时，幂函数的值域为(-∞, 0)。

3. 求解幂函数方程：对于给定的幂函数方程，可以利用对数运算将其转化为对数方程，再进一步求解。

总结：本文详细介绍了高三数学中的幂函数知识点，包括定义、特征、性质以及解题方法。

通过学习幂函数的相关内容，我们可以更好地理解和应用幂函数，在数学问题的解答中得心应手。

希望本文的内容能够对高三学生的数学学习有所帮助。

NO21 幂函数1． 知识回顾：我们曾经学过的函数：y=,(y=),y=,(y= ),y=x,y=,y=,这些函数虽然定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图象等都不进相同，但它们都有一个共同的特点：自变量均在底数的位置之上。

可以用一个共同的表达方式：y= (R)二．幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= (R)的函数称为幂函数，其中a为常数。

（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m,y=,y=+m,y=等均不是幂函数；②不要把指数函数和幂函数混淆起来；（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；几种 重 要 的 幂 函 数 的 图象：y=x y= y=y= y=函特数征性质图像定义域 x R x R x R x[0,+)x R(R0)值域yR[0, +) y R[0, +)y R且y0奇偶性奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+）y为增函数增函数增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+y为增函数定 点（1，1）、（0，0）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（1，1）（五．例题详解：1．已知函数f(x)=( +2m),m为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数2．函数f(x)=( -m-1)是幂函数，且当x（0, +)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式3． 点（，2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上。

幂函数的定义与性质幂函数是一类基本的数学函数，它的定义形式是f(x) = ax^k，其中a和k是常数，且a不等于零。

幂函数在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是在物理等领域，都有重要的作用。

本文将重点介绍幂函数的定义与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一种基本的数学函数，它的定义形式如下：f(x) = ax^k其中，a是一个不等于零的常数，k是一个实数。

a被称为幂函数的系数，k被称为幂指数。

幂指数k可以是正数、负数、零或分数。

具体的取值范围决定了幂函数的性质。

二、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域是实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

根据幂函数定义，当幂指数k是正数或分数时，幂函数的值域是正实数集(0,+∞)；当幂指数k是负数时，幂函数的值域是(0,+∞)的倒数集(0,1)；当幂指数k是零时，幂函数的值域是{a}，即幂指数为零时函数的值固定为系数a。

2. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与幂指数k的正负有关。

当幂指数k大于1时，幂函数呈现出单调递增的特性，图像在原点右侧上升；当幂指数k介于0和1之间时，幂函数呈现出单调递减的特性，图像在原点右侧下降；当幂指数k小于0时，幂函数图像会关于x轴对称，且在增大的过程中逐渐趋近于0。

3. 幂函数的性质与幂指数k的关系幂函数的性质与幂指数k的取值有关。

当幂指数k大于1时，幂函数是增长的加速函数；当幂指数k小于1但不等于零时，幂函数是增长的减速函数；当幂指数k小于0时，幂函数是单调递减函数；当幂指数k等于0时，幂函数是常数函数。

4. 幂函数与其他函数的关系幂函数是一类重要的基本函数，它与指数函数、对数函数和三角函数等有着紧密的关系。

通过对幂函数和其他函数的组合运算，可以得到更为复杂的函数表达式。

这种关系在数学建模、物理学和工程学等领域的问题求解中得到广泛应用。

结语：幂函数作为一类基本的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。

它的定义形式简明扼要，通过对幂指数k的取值范围进行分析，我们可以得到不同性质的幂函数。

幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。

当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。

2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。

- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。

- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。

- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。

3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。

- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。

- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。

- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。

4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。

- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。

- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。

5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。