高中物理：正交分解法的应用

正交分解法在高中物理中的巧妙运用王一龙(江苏省宿迁市宿豫区实验高级中学ꎬ江苏宿迁２２３８００)摘㊀要:在高中物理力学的学习过程中ꎬ我们经常会遇见各种各样的受力分析ꎬ在这种类型的题目中ꎬ我们需要用到正交分解法将力进行分解ꎬ做到化繁为简.正交分解法就是将力分解为两个垂直方向的分力ꎬ然后对各个方向的分力进行求解ꎬ最后解决实际问题.掌握正交分解法有助于同学们在力学物理问题求解中ꎬ化难为易.关键词:正交分解法ꎻ力学ꎻ受力分析ꎻ高中物理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００７４－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:王一龙(１９８０.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省宿迁人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀要高效使用正交分解法ꎬ就需要掌握正交分解法的原理及应用步骤ꎬ在使用正交分解法中ꎬ建立平面直角坐标系ꎬ认真审题ꎬ知道解决问题的目标ꎬ不要做无用功.１怎样建立直角坐标系平面直角坐标系多是在水平面上建立的ꎬ但是当我们在解答物理问题时ꎬ遇见不在水平地面上的物体ꎬ如何建立直角坐标系呢?下面举些例题进行例证[１].例题１㊀在竖直的墙壁上有一个质量为２ｋｇ的小方块ꎬ它们之间的动摩擦因数为０.２５ꎬ如果现在使用一个３０Ｎ的推力Ｆ沿着斜向上的方向推这个小方块ꎬ这个力的方向与水平方向成３７ʎꎬ在这个力的作用下小方块保持静止状态ꎬ如图１所示ꎬｇ＝１０ｍ/ｓ２.求:(１)此时小方块受到的摩擦力的大小(２)如果要使得小方块保持匀速下滑的状态ꎬ力的方向不发生改变ꎬ则力的大小为多少?解析㊀(１)此时的小方块为静止状态ꎬ它所受图１到的力一共有四个ꎬ分别是墙壁对它的摩擦力ｆ和弹力Ｎꎬ重力Ｇ和推力Ｆ.它的受力分析如图２所示ꎬ通过这个图ꎬ我们知道只需要分解Ｆꎬ建立直角坐标系ꎬ分别为Ｆｘ和Ｆｙ.图２因为要保持静止状态ꎬ所以分力Ｆｙ与ｆ的合力要等于重力.有Ｆｙ＝Ｆｓｉｎ３７ʎ＝３０Ｎˑｓｉｎ３７ʎ＝１８Ｎ所以墙壁对小方块摩擦力为ｆ＝Ｇ－Ｆｙ＝２ˑ１０Ｎ－１８Ｎ＝２Ｎ４７(２)这一小问与上一问相同ꎬ小方块依然是承受着４个力ꎬ只是静摩擦力ｆ变为滑动摩擦力ｆ２.因为小方块是以匀速运动的方式下滑ꎬ所以竖直方向上和水平方向上的力应该保持平衡ꎬ这样才不会存在加速度.所以可以得到以下方程:在水平方向上ꎬ有Ｎ＝Ｆｃｏｓ３７ʎ在竖直方向上ꎬ有Ｆｓｉｎ３７ʎ＋ｆ２＝Ｇ小方块的滑动摩擦力为ｆ２＝μＮ联立解得Ｆ＝２５Ｎ２运用正交分解法的步骤(１)先对研究对象进行受力分析ꎬ画出受力示意图.㊀(２)以力的作用点为原点ꎬ建立坐标系.(３)将不在坐标轴的所有力进行分解ꎬ分解成在坐标轴的分力.(４)相同坐标轴上的力进行运算ꎬ列出方程(５)最后求出合力的大小和方向例２㊀有一个人在放风筝ꎬ这个风筝的重力为４Ｎꎬ此时的风筝线与水平面成５３ʎꎬ如图３所示ꎬ这个人以５Ｎ的力拉住风筝ꎬ风筝处于静止状态ꎬ求风对风筝的风力Ｆ为多少及Ｆ与水平面形成的夹角的正切值.图３解析㊀在解答这题时ꎬ我们首先要对风筝所受的力进行受力分析ꎬ风筝受到重力Ｇ㊁风筝线的拉力Ｔ和风力Ｆ.以风筝为原点建立直角坐标系ꎬ将风力Ｆ进行分解ꎬ分别分解为水平方向上的分力Ｆｘ和竖直方向上的分力Ｆｙꎬ然后再对风筝线的拉力Ｔ进行分解ꎬ分别分解为水平方向上的分力Ｔｘ和竖直方向上的分力Ｔｙ.如图４所示:由图可知:水平方向ꎬ有图４Ｆｘ＝Ｔｃｏｓ５３ʎＦｘ＝３Ｎ竖直方向ꎬ有Ｆｙ＝Ｔｓｉｎ５３ʎ＋ＧＦｙ＝８Ｎ所以风力Ｆ为Ｆ＝Ｆｘ２＋Ｆｙ２＝７３Ｎ正切值为ｔａｎθ＝ＦｙＦｘ＝８３点评㊀在解答这一题时ꎬ也可以使用相似三角形的方法进行解题ꎬ但是相比于正交分解法难度更大ꎬ更容易出错ꎬ所以掌握正交分解法可以更加高效地解决问题.３正交分解法的使用注意不要固执地认为需要求的力不能够进行正交分解ꎬ要根据物体受力情况具体分析[２].例３㊀如图５所示ꎬ现在要用绳子将一个物体匀速提起来ꎬ该物体的重力为Ｇꎬ在这个阶段ꎬ四条细绳与竖直方向上的夹角都是６０ʎꎬ则每根细绳的拉力为多少(㊀㊀).Ａ.Ｇ４㊀㊀Ｂ.３Ｇ６㊀㊀Ｃ.３Ｇ４㊀㊀Ｄ.Ｇ２图５解析㊀设每根细绳的拉力为Ｆꎬ在竖直方向上有４Ｆｃｏｓ６０ʎ＝Ｇꎬ解得Ｆ＝Ｇ２ꎬ选项Ｄ正确.总结:在高中物理力学的学习阶段ꎬ我们在５７解决共点力问题时ꎬ要注意几个问题:首先是确定物体的运动状态ꎬ是静止的还是滑动的ꎻ然后是理清楚物体的受力情况ꎬ要画出受力分析图ꎬ以便确定是要使用正交分解法还是三角形法ꎻ最后是求得正确答案ꎬ在物理解题时要正确运用数学知识进行运算.４正交分解法的具体运用４.１求合力当物体受到多个力的情况下ꎬ其他求合力方法比较复杂ꎬ且计算起来繁琐ꎬ其运算量大ꎬ此时便可以选择正交分解法.假设一个物体ꎬ受到同一平面上ｎ个不同方向的作用力ꎬ分别为Ｆ１㊁Ｆ２ Ｆｎꎬ就需要建立正交坐标系ｘ轴和ｙ轴ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ得到Ｆｘ＝Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ㊁Ｆｙ＝Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙꎬ而这个作用力的合力为Ｆ＝Ｆ２ｘ＋Ｆ２ｙ.４.２受力平衡当物体受到三个及以上的力作用平衡时ꎬ便可以采用正交分解法进行解题ꎬ快捷且准确.假设一个物体ꎬ受到ｎ个作用力Ｆ１㊁Ｆ２ Ｆｎꎬ处于平衡时ꎬ就要先建立正交坐标系ｘ轴和ｙ轴ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ根据物体处于平衡状态ꎬ合外力为０ꎬ沿着ｘ轴和ｙ轴方向ꎬ分别建立平衡方程为Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ＝０㊁Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙ＝０.４.３受力不平衡当一个物体ꎬ受到ｎ个作用力不平衡时ꎬ建立正交坐标系ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ或者将加速度分解到坐标轴上ꎬ在ｘ轴和ｙ轴两个方向上ꎬ分别根据牛顿第二定律列方程ꎬ有Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ＝ｍａｘ㊁Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙ＝ｍａｙ.例４㊀如图６所示ꎬ电梯与水平夹角为３０ʎꎬ当电梯加速度向上运动ꎬ人对梯面压力为其重力的６/５ꎬ求人与梯面之间的摩擦力是其重力多少倍?㊀解析㊀对人进行的受力进行分析ꎬ其受到的重图６力ｍｇꎬ支持力为ＦＮꎬ摩擦力为Ｆｆꎬ根据图６可知ꎬ取水平向右为ｘ轴正向ꎬ建立正交坐标系ꎬ按照牛顿第二定律得到Ｆｆ＝ｍａｃｏｓ３０ʎＦＮ－ｍｇ＝ｍａｓｉｎ３０ʎ{又ＦＮｍｇ＝６５ꎬ联立解得Ｆｆｍｇ＝３５４.４运动量对于位移㊁速度及加速度等运动矢量的计算ꎬ同样可以运用正交分解法.高中物理中的曲线运动ꎬ可以根据合运动实际的运动效果ꎬ分解为两个简单的相互垂直的分运动ꎬ进行求解.为了使解题更加的简洁ꎬ尽可能将更多的矢量与坐标轴方向在同一直线上ꎬ这样可以减少矢量的分解ꎬ提升学生的物理解题效率与准确性.参考文献:[１]吴艳芳.正交分解法在高中物理解题中的四个应用[Ｊ].山西教育(教学版)ꎬ２０１３(１２):２３. [２]丁岳林.以不变应万变之矢量运算策略:例说正交分解法在高考题解中的应用[Ｊ].物理通报ꎬ２０１７(０３):７８－８１.[３]汪飞.浅谈非正交分解法在曲线运动问题中的应用[Ｊ].物理教师ꎬ２０２３(９):９１－９２. [４]陈建伟.正交分解法在高中物理解题中的应用[Ｊ].魅力中国ꎬ２０１９(２):１３４－１３５.[５]陈泽鲲.浅谈如何运用正交分解法解决力学问题[Ｊ].祖国ꎬ２０１９(１):２.[６]沈卫.莫管方法 老 ꎬ只看 巧 不 巧 :论抛体运动问题中正交分解法的应用[Ｊ].物理教学ꎬ２０２０ꎬ４２(５):３.[责任编辑:李㊀璟] ６７。

祖国2019.1.上|基础教育|浅谈如何运用正交分解法解决力学问题文/陈泽鲲摘要：数理问题是极具逻辑思维的，通过对难题的解答方法分析可以培养我们学生群体的逻辑推理能力，并激发我们不断探索的科学精神。

本文以正交分解法解决高中物理力学问题为例，展现解答方法对解决自然科学问题的重要性、必要性与简易性。

关键词：高中物理正交分解法力学问题一、正交分解法概述所谓正交分解法，主要用于物理上对物体复杂受力的简化、规范化、系统化。

通常就是以勾股定理为基础，以垂直坐标系为基准，将物体所受的各个力集中到物体上的一个点上，这个点所受的力通常是处于同一平面的，以这个点作为垂直坐标系原点，画出该直角坐标系的横轴与竖轴，将每个力分解到x 、y 轴，通常使用向量投影法进行力的分解，将两个方向的所有力求矢量和，最后，由于这两个方向的力相互垂直，则使用勾股定理求出合力，该合力包括方向和大小。

二、正交分解法在力学问题中运用正交分解法在力学问题中的运用，将复杂、多样的力规范化、形象化，通过对力进行分解，求和，能够轻易地将合力的大小、方向表达出来，不但快捷，更容易被人们所接受。

在受力分析问题中，一旦求单个物体的合力的方向和大小时，且所受力呈现多样化，方向的多极化，正交分解法的灵感便会从脑海中浮现出来。

（一）水平木块拖动受力分解例1:如图1所示，在一个具有摩擦系数的水平面上，木块重100N ，此时有一个力F=40N 且朝着右上角与水平面成30度，物体保持静止不动，求：物体受到哪几个力，并求出它们的大小和方向。

解：首先对该木块进行受力分析，发现受力呈现多样性。

于是采用正交分解法解决问题。

以物体重心为原点建立直角坐标系，发现物体受到支持力、摩擦力、重力和F ，将各个力朝着坐标轴进行分解。

分析木块状态为静止，因此沿x 轴和y 轴的合力为零，建立方程组，一部分力可通过三角形的边的关系即F 表示出来。

解出方程组，从而获取力的大小、及方向。

对物体进行受力分析，建立直角坐标系，受力分解，如图2所示。

高中物理：力的正交分解的应用[探究导入] 在很多问题中，常把一个力分解为互相垂直的两个分力，特别是物体受多个力作用时，把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后求两个方向上的力的合力，这样可把复杂问题简化．(1)如图甲所示拉箱子的力产生了哪些作用效果？如何正交分解呢？提示：产生了两个效果：一是水平向前拉箱子的效果，二是竖直向上提箱子的效果；分别以平行于地面和垂直于地面的方向为x 轴和y 轴建立坐标系，把F 分解为沿着两个坐标轴的分力．(2)如图乙所示物体受多个力作用，怎样去建立坐标系进行正交分解呢？提示：坐标系的建立原则上是任意的，如图所示．实际问题中，让尽可能多的力落在两个坐标轴方向上，这样就可以尽可能少分解力．1．力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．2．正交分解法求合力的步骤(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y 轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图所示．(3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即：F x ＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋….(4)求共点力的合力：合力大小F ＝F 2x ＋F 2y ，设合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y F x. [易错提醒]应用正交分解法分解力应首先分析物体的受力，然后建立坐标系，将不在坐标轴上的力分别沿x 轴方向和y 轴方向分解．[典例2] 如图所示，水平地面上的物体重G ＝100 N ，受到与水平方向成37°角的拉力F ＝60 N ，支持力N ＝64 N ，摩擦力f ＝16 N ，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)[解析] 对四个共点力进行正交分解，如图所示．则x 方向的合力：F x ＝F cos 37°－f ＝60×0.8 N －16 N ＝32 Ny 方向的合力：F y ＝F sin 37°＋N －G ＝60×0.6 N ＋64 N －100 N ＝0所以合力大小F 合＝F x ＝32 N ，方向水平向右．物体与地面间的动摩擦因数μ＝f N ＝1664＝0.25. [答案] 32 N ，方向水平向右 0.25[规律总结]正交分解法的优点(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法．(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小．2．两个大人和一个小孩拉一条船沿河岸前进．两个大人对船的拉力分别是F 1和F 2，其大小和方向如图所示．今欲使船沿河中心线行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向．解析：根据题意建立如图所示的直角坐标系．F 1y ＝F 1·sin 60°＝200 3 NF 2y ＝F 2·sin 30°＝160 N所以小孩最小拉力的大小为F ＝F 1y －F 2y ＝(2003－160)N ≈186.4 N ，方向为垂直于河中心线指向F 2一侧．答案：186.4 N 垂直于河中心线指向F 2一侧。

高中物理平行四边形定则及正交分解方法的应用展开全文一、对合力、分力、共点力的理解例1、下列关于合力与分力的叙述，不正确的是（）A. 一个物体受到几个力的作用，同时也受到这几个力的合力的作用B. 几个力的合力总是大于它各个分力中最小的力C. 合力和它相应的分力对物体的作用效果相同D. 力的合成就是把几个力的作用效果用一个力来代替解答：几个力的合力与这几个力的作用效果是相同的，它们是可以相互替代的，合力与分力不能同时作用在物体上，所以A错误，C、D正确；而合力可以大于其中任一个分力，也可以小于任一个分力。

所以B错误。

答案：A、B例2、下面关于共点力的说法中正确的是（）A. 物体受到的外力一定是共点力B. 共点力一定是力的作用点在物体上的同一点上C. 共点力可以是几个力的作用点在物体的同一点上，也可以是几个力的作用线交于同一点D. 以上说法都不对解答：共点力的定义为：几个力如果都作用在物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。

所以C正确，A、B、D错误。

答案：C二、力的合成与平行四边形定则的理解和应用例1、有两个共点力，F1＝2N，F2＝4N，它们的合力F的大小可能是（）A. 1NB. 5NC. 7ND. 9N分析：本题主要考查二力合成的平行四边形定则及二力合成的范围。

要求知道二力合成时合力范围在两力大小之和与两力大小之差之间，即|F1－F2|＜F＜F1＋F2，这样就可以选出正确的选项。

解答：两个共点力F1＝2N、F2＝4N，当力F1、F2方向相同时，合力最大，且F max＝F1＋F2＝2N＋4N＝6N；当力F1、F2方向相反时，合力最小，且F min＝4N－2N＝2N。

所以这两个力F1、F2的合力范围为［2N，4N］，从上述四个选项中可看出，合力在此范围内的力只有B。

答案：B例2、如图所示，AB为半圆的一条直径，P点为圆周上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3，求它们的合力。