1 函数 映射 相等函数的判别

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

关于函数数学知识点归纳1、变量与常量在其中一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在其中一变化过程中有两个变量某与y，如果对于某的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说某是自变量，y是某的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

(2)列表法把自变量某的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)某某某像法用某某某像表示函数关系的方法叫做某某某像法。

4、由函数解析式画其某某某像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

（2）掌握三种表示法，列表法、解析法、某某某象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

（3）如果y=f（u），u=g（某），那么y=f[g（某）]叫做f和g的复合函数，其中g（某）为内函数，f（u）为外函数3、求函数y=f（某）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y=f（某）的解析式求出某=f—1（y）；（3）将某，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（某），并注明定义域注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起②熟悉的应用，求f—1（某0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算（二）、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。

①看定义域是否相同；
②对应法则相同，即经化简两函数为同一形式(即式子或数相同)。

简便算法：任取一个数x。

将x分别带入两式子中看两式是否同时得一个数，得一个数：同一函数，否则不为同一函数。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。

令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

中考数学复习如何理解函数与映射的概念函数与映射是中学数学中重要的概念之一，很多同学在学习数学时往往对这两个概念感到困惑。

为了帮助大家更好地理解函数与映射，本文将从概念定义、特性以及实际应用等方面进行探讨。

一、函数的概念与特性在数学中，函数是指两个数集之间的一种对应关系，其中每个输入都对应唯一的一个输出。

具体地说，对于一个函数 f，输入集合中的每个元素 x，都对应唯一的输出 y。

函数通常用 f(x) 来表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。

函数可以用多种形式来表示，比如集合表示法、符号表示法、图像表示法等。

符号表示法最为常用，通常采用 f(x) = ... 的形式来表示。

函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，值域是指所有可能的因变量的取值。

函数具有以下特性：1. 唯一性：每个自变量的取值只能对应一个输出。

2. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或自然数集等。

3. 单调性：函数可以是递增的或递减的。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数，具有一定的对称性。

5. 周期性：有些函数具有周期性，即在一定的周期内重复。

二、映射的概念与特性映射是函数的一种特殊形式，也是一个集合与集合之间的对应关系。

映射从一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，通常用f: A →B (读作“映射 f 从集合 A 到集合B”) 来表示。

A 称为原集合，B 称为目标集合。

映射的特性包括：1. 确定性：映射中的每个元素在原集合中只能有一个对应元素。

2. 全射性：如果目标集合中的每个元素都有在原集合中的对应元素，则称映射是满射的。

3. 单射性：如果原集合中的每个元素在目标集合中都有唯一的对应元素，则称映射是单射的。

4. 满射性：如果映射同时具有全射性和单射性，则称映射是双射的。

三、函数与映射的实际应用函数与映射在数学中具有广泛的应用，也在实际生活中起到重要作用。

下面以几个实际例子来说明：1. 财务管理中的函数：在企业财务管理中，成本与产量之间的关系可以用函数来表示。

高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。

函数映射知识点总结一、函数映射的定义函数映射是数学中一个重要的概念，它描述了一个集合到另一个集合的元素之间的对应关系。

在数学中，我们通常将集合A中的元素a通过一个函数f映射到集合B中的元素f(a)上。

函数映射的定义可以形式化地表述为：设A、B为两个非空的集合，如果存在一个映射f，对于A中的每一个元素a，都有对应的B中的元素f(a)与之对应，则称函数f为从A 到B的映射，通常记作f:A→B。

我们可以根据函数映射的定义，得出函数映射的几个重要性质：1. 一一对应：如果对于A中的每一个元素a，都有对应的B中唯一的元素f(a)，且对于B中的每一个元素b，也都有对应的A中唯一的元素f^(-1)(b)，则称函数f为A到B的一一对应映射。

2. 到函数：如果对于A中的每一个元素a，都有对应的B中的元素f(a)，则称函数f为从A到B的到函数映射。

3. 满函数：如果对于B中的每一个元素b，都有对应的A中的元素a，使得f(a)=b，则称函数f为A到B的满函数映射。

二、函数映射的性质1.函数的合成和反函数在函数映射中，我们可以将两个函数f:A→B和g:B→C进行合成，构成一个新的函数h:A→C。

这个新函数h被称为函数f和g的合成函数，通常记作h=g∘f，它的定义为h(a)=g(f(a))，其中a∈A。

此外，若函数f是一个一一对应映射，那么我们可以定义一个反函数f^(-1)，使得对于B中的每一个元素b，都有唯一的f^(-1)(b)与之对应，这个反函数被称为函数f的反函数，满足f^(-1)(f(a))=a，f(f^(-1)(b))=b。

2. 函数的性质函数映射具有一些重要的性质，如可加性、齐性、单调性等，这些性质在函数的分析和应用中具有重要作用。

比如，如果一个函数f同时满足f(x+y)=f(x)+f(y)和f(ax)=af(x)，那么我们称这个函数具有可加性和齐性。

另外，如果对于A中的任意两个元素x1和x2，若有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)，则称函数f具有单调性。

高一数学映射及函数的表示方法【本讲主要内容】一. 本周教学内容：映射及函数的表示方法映射的概念、函数的概念、函数的表示方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合})(|{A x x f y y ∈=，叫函数的值域。

2. 两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，例如：x y =与33x y =。

3. 映射的定义：一般地，A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f 对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 和B ，及集合A 到集合B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记做f ：A →B 。

4. 函数的实质：函数是特殊的映射，即要求A 、B 都是非空数集。

5. 函数的表示方法：解析式（分段函数法、图像法、列表法）【解题方法指导】例1. （1）设}8621021{}4210{，，，，，＝，，，B A =下列对应法则能构成A 到B 的映射的是（ ） A. 1:2-→x x f B. 2)1(:-→x x f C. x x f 2:→D. 12:-→x x f点拨：根据映射定义，检验集合A 中每一元素依照对应法则在B 中是否都有唯一元素与之对应。

解析：选C 。

在集合A 中，\10B ∈-→ 在集合B 中，\94B ∈→ 在集合D 中，\42B ∈→（2）下图中可表示函数)(x f y =图象的只可能是（ ）与图像相交，如果只有唯一的交点，则是函数图象，否则不是。

解析：根据函数定义，对任意一个x ，都要有唯一的y 与之对应，故选D 。

高一数学必修一函数概念的知识点高一数学必修一函数概念的知识点在日常过程学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺整理的高一数学必修一函数概念的知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学必修一函数概念的知识点 11、映射的定义2、函数的概念3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则。

4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

5、区间的概念和记号6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。

(1)解析法(2)列表法(3)图像法7、分段函数常见考法本节是段考和高考必不可少的考查部分，多以选择题和填空题的形式出现。

段考中常考查函数的定义域、值域、对应法则、同一函数、函数的解析式和分段函数。

高考中可以和高中数学的大部分章节知识联合考查，但是难度不大，属于容易题。

多考查函数的定义域、函数的表示方法和分段函数。

误区提醒1、映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。

A到B的映射与B到A的映射是不同的。

而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。

2、函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。

无论是简单的函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。

之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。

3、分段函数是一个函数，而不是几个函数。

分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。

高一数学必修一函数概念的知识点 2一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，是对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A。

函数的相等相似与映射关系函数的相等、相似与映射关系函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。

在函数的定义中，我们会遇到函数的相等、相似以及与映射关系的概念。

本文将探讨这些概念，并分析它们在函数理论中的作用。

1. 函数的相等在数学中，函数的相等是指具有相同定义域和相同取值域的两个函数，它们在定义域内的每个元素上的函数值都相等。

简而言之，如果两个函数在定义域内的每个元素上的函数值都相同，那么它们被认为是相等的。

例如，考虑函数f(x) = x^2和g(x) = x^2，这两个函数的定义域都是实数集R，且在定义域内的每个实数x上，它们的函数值都相等，即f(x) = g(x)。

因此，可以说函数f(x)和g(x)是相等的。

函数的相等在函数的性质证明以及函数的运算中起着重要的作用。

当我们需要判断两个函数是否相等时，可以通过比较它们在定义域内的每个元素上的函数值来进行判断。

2. 函数的相似函数的相似是指具有相似形式或结构的两个函数。

在相似的函数中，函数值的变化规律或模式相同，但可能存在尺度上的差异。

例如，考虑函数f(x) = 2x和g(x) = 3x，这两个函数具有相似的形式，它们的函数值的变化规律都是x的倍数，但差异在于g(x)的函数值是f(x)的函数值的1.5倍。

因此，可以说函数f(x)和g(x)是相似的。

函数的相似性在数学建模以及函数图像的研究中具有重要意义。

通过研究和比较相似的函数，我们可以揭示函数的特性和规律，并应用于实际问题的解决。

3. 函数与映射关系函数与映射是等价的概念，它们都描述了一个集合到另一个集合的对应关系。

函数的定义域对应于映射的起始集合，函数的取值域对应于映射的终止集合。

函数可以看作是一种特殊的映射关系，它满足以下两个条件：- 对于定义域内的每个元素，函数必须给出唯一的函数值。

- 对于定义域之外的元素，函数可以不给出函数值。

映射关系作为函数理论的基础，广泛应用于数学、计算机科学和其他领域。

映射和函数的分类与性质一、映射的概念与性质1.映射：从集合A到集合B的一种规则，使得A中任意一个元素x，在B中都有唯一的元素y与之对应。

2.映射的性质：a)单射性（一一对应）：对于A中的任意两个不同元素x1、x2，在B中对应的元素y1、y2也不同，即y1 ≠ y2。

b)满射性（覆盖）：对于B中的任意元素y，存在A中的元素x与之对应。

c)域和值域：映射的定义域为集合A，值域为集合B中所有可能的输出值。

二、函数的分类1.线性函数：形如y = kx + b（k、b为常数）的函数，其中k≠0。

2.非线性函数：不包括线性函数的函数，如二次函数、指数函数、对数函数等。

3.单调函数：a)单调递增函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)。

b)单调递减函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)。

4.奇函数与偶函数：a)奇函数：满足f(-x) = -f(x)的函数。

b)偶函数：满足f(-x) = f(x)的函数。

三、函数的性质1.连续性：函数在每一点上都存在极限，且极限值等于函数值。

2.可导性：函数在某一点可导，意味着在该点处存在切线，且切线斜率等于函数导数值。

3.周期性：函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。

4.奇偶性：根据奇函数和偶函数的定义，函数的奇偶性决定了其在y轴对称或关于原点对称。

四、映射与函数的关系1.函数是特殊的映射：函数是一种映射，具有单射性、满射性和域值域的概念。

2.函数的定义域和值域：函数的定义域为映射的输入集合，值域为映射的输出集合。

五、映射和函数的应用1.数学领域：在数学分析、线性代数、概率论等领域中，映射和函数是基本概念，用于描述变量之间的关系。

2.物理学：在物理学中，函数用于描述物理量随另一物理量的变化规律，如速度与时间的关系。

3.计算机科学：在计算机科学中，函数用于实现算法，映射概念用于哈希表等数据结构的设计。