2020届山东省高三数学模拟测试(五)数学试题(解析版)

专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

高三数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()121,1,0,1z z ，则12z z 的虚部为（ ）A. 1B. i- C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】求出复平面内12,z z 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．【详解】由题意得11i z =+，2i z =，所以()121i i 1i 1i i i·iz z ++===-，故D 正确.故选：D.2. “sin cos αα=”是“4πα=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos αα=求出α的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由sin cos αα=得tan 1α=，()4k k Z παπ∴=+∈，因此，“sin cos αα=”是“4πα=”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．3. 若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A. [6,)+∞ B. [9,)+∞ C. (]0,6 D. ()0,9【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解..【详解】由题意知,a b 为正数，且3ab a b =++，所以232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，化简得()()24120a b a b +-+-≥，解得6a b +≥，当且仅当3a b ==时取等号，所以[)6,a b +∈+∞，故A 正确.故选：A.4. 具有线性相关关系的变量,x y 的一组数据如下：x 0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为y bx a =+$$$，则回归直线经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限【答案】D 【解析】【分析】根据x ，y 呈正相关，得到0b> ，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x ，y 呈正相关，所以0b > ，又()()110123 1.5,5 4.5 4.2 3.5 4.344x y =+++==----=-，则样本中心为()1.5, 4.3-，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D5. 已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-．所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=．故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6. 在ABC 中，2AB AC AD += ，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+ ，则（ ）A. 2y x = B. 2y x=- C. 2x y= D. 2x y=-【答案】D 【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-，21,,233x y x y∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7. 已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =，则（）A. 233231(log (2)(2)4g g g -->>B. 233231(log (2)(2)4g g g -->>C. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>D. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>【答案】B 【解析】【分析】先利用定义判断出()g x 为偶函数，0x >时单调递增，0x <时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小．【详解】解：由奇函数()f x 是R 上增函数可得，当0x >时，()0f x >，又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331(log )(log 4)4g g =，23(2)g g -=，32(2)g g -=，而3log 41>，23322012-->>>，即3log 43222->>，所以233231(log )(2)(2)4g g g -->>故选：B ．.8. 已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m == ,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为A. 12y x =±B. y x =C. y x=± D. y =【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m == 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =．故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）A. 1R,20x x -∀∈> B. ()2N ,10x x *∀∈->C. 00R,lg 1x x ∃∈< D. 00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为()0,∞+，所以1R,20x x -∀∈>，A 选项正确；当1x =时，()210x -=，所以()2N ,10x x *∀∈->是假命题，B 选项错误；当01x =时，0lg 01x =<，所以00R,lg 1x x ∃∈<，C 选项正确；函数tan y x =值域为R ，所以00R,tan 2x x ∃∈=，D 选项正确.故选：ACD.10. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质（ ）A. 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线3π2x =-对称C. 在3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】由题意可得()ππsin 2sin 2cos 242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A 、C ：因为π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且()()()cos 2cos 2g x x x g x -=--=-=，得()g x 为偶函数，故A 正确，C 错误；对B ：由()cos 2g x x =-得其最大值为1，当3π2x =-时，()3πcos 3π12g ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，为最大值，所以3π2x =-为对称轴，故B 正确；对D ：周期2ππ2T ==，3π3π3πcos 2cos0442g ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：ABD.11. 已知m n 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A. 若//,//m n αβ且//,αβ则//m n B. 若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC. 若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD. 若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β【答案】BC 【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α 或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A. 20192020S S <B. 2019202010S S -<C. 2020T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值【答案】A 【解析】【分析】根据11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，可判断数列{}n a 的01q <<，进而可知数列{}n a 是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，201920201a a >，则有20192020201920191a a a a q ⋅>=，有0q >，又由2019202011a a --＜0，即()()20192020110a a -<- ，必有202020191a a <<，01q << 由此分析选项：对于A ，2020201920200S S a -=> ，故20192020S S < ，A 正确；对于B ，等比数列{}n a 中，11a >，01q <<，则202120191S S >> ，则201920211S S > ，即2019202110S S -> ，B 错误；对于C ，202020191a a << ，则2019T 是数列{}n T 中的最大项，C 错误；对于D ，由C 的结论，D 错误；故选：A.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14. 已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】【分析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a +，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ．【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．573002(t N N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)【答案】 ①.12②. 6876【解析】【分析】为把5730t =代入573002t N N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围．【详解】∵573002tN N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，由题意可知：5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-，6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg 3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.16. 已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为_____【解析】【分析】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ，计算出AOC S ∆=B AOC V -，所求四面体的体积为它的2倍.【详解】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ， ∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，AO CO ===，∵AO CO O = ，∴BD ⊥平面AOC ，又OEAC ⊥，∴182AOC S ∆=⨯=，152232A BCD B AOC V V --==⨯⨯⨯=【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复 这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a C A c=由正弦定理得4sin 3cos A A =所以3tan 4A =，∴ABC ∆中，4cos 5A =．(2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+=解得3b =或5b =∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,N n n a S S n *+=-=∈．（1）证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（2）若n nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，12n n a -= （2）1242n n n T -+=-【解析】【分析】（1）根据121n n S S +-=可推出()1121n n S S ++=+，即得1121n n S S ++=+，即可证明{}1n S +为等比数列，由此可求得n S 表达式，继而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）的结果可得n nn b a =的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.【小问1详解】的∵121n n S S +-= ∴()*1121,N n n S S n ++=+∈，∴1121n n S S ++=+，∴{}1n S +为等比数列；∵11a =，故{}1n S +的首项为112S +=，公比为2，∴12n n S +=，则21n n S =-，当2n ≥时，1121n n S --=-，则112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；【小问2详解】由（1）可得12n n n n n b a -==，则01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+，故121122222n nn T =++⋅⋅⋅+，两式相减得：0111111112221222222212n n n n n n n n n T --+=++⋅⋅⋅+-=-=--，故1242n n n T -+=-.19. 如图所示的多面体中，底面ABCD 为矩形，BE ⊥平面ABCD ，1CC ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，1//AF EC ，且AB =4，BC =2，13CC =，BE =1．（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求直线1CC 与平面1AEC F成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ.【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得F 点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（Ⅱ）求出平面1AEC F 的一个法向量，由直线1CC 的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A ，(0,4,0)C ，(2,4,1)E ，1(0,4,3)C ，设(0,0,)F z ．∵1AF EC ，由1AF EC ∥得(2,0,)(2,0,2)z λ-=-，解得2z =，∴(0,0,2)F ．∴(2,4,2)BF =-- ，于是||BF = ，即BF的长为．（Ⅱ）设1n u r 为平面1AEC F 的法向量，设1(,,)n x y z = ，由1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0402020x y z x y z ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩，即40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．又1(0,0,3)CC = ，设1CC 与1n u r 的夹角为α，则1111cos CC n CC n α⋅===⋅ ．所以，直线1CC 与平面1AEC F．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解．这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便．20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为y （单位：元），每天需要用药的猪的数量为n N ∈，试写出两种方案中y 与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22⨯列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；（2）根据22⨯列联表，代入公式计算2K ，比较临界值得出结论即可；（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.【详解】（1）方案一，402,y n n N =+∈，方案二，120,45,8240,45,n n N y n n n N≤∈⎧=⎨->∈⎩（2）22210(40206585)105105140.0210.8282585K ⨯⨯-⨯=⨯≈>⨯⨯，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）若采用方案一，则这100天的总费用为40×100+2×(42×20+44×40+46×20+48×10+50×10)=13000元，若采用方案二，则这100天的总费用为120×100+(46-45)×20×8+(48-45)×10×8+(50-45)×10×8=12800元，所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.21. 已知函数()()ln 0a f x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数．【答案】（1）1a =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由()0f x '=，求得x a =，分类讨论x a =与()1,e 的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数.【小问1详解】由题意得()()ln 0a f x x a a x=-+>定义域为(0,)+∞，()221a x a f x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =．所以()110f a '=-=，解得1a =．经检验1a =符合题意．【小问2详解】由（1）知()2x a f x x-'=，令()0f x '=，得x a =，当x a <时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，（i ）当01a <≤时，()1,e x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增．所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1e a <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若e a x <<，则()0f x ¢>．函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),e a 上单调递增．且()10f =，则()(1)0f a f <<，而()e 1e a f a =-+．当()e 10ea f a =-+>，即e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()e 10ea f a =-+≤时，印当e e e 1a ≤<-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当e a ≥时，()1,e x ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减．所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点．综上：当01a <≤或e e 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点．【点睛】方法点睛：求解函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.22. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“卫星圆”，若椭圆C ，点(在C 上.（1）求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l 、2l 使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l 、2l 分别交其“卫星圆”于点M 、N ，证明：弦长MN 为定值.【答案】（1）22184x y +=，2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出c e a ==22421a b +=，然后通过计算得出a 、b 的值以及椭圆方程，最后根据r =即可求出卫星圆的方程；（2）本题可先讨论1l 、2l 中有一条无斜率的情况，通过求出1l 与2l 的方程即可求出MN 的值，然后讨论1l 、2l 都有斜率的情况，设点()00,P x y 以及经过点P 且与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线1l 、2l 垂直，判断出此时线段MN 应为“卫星圆”的直径以及MN 的值，最后综合两种情况即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆C，点(在C 上，所以22421c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =2b =，椭圆方程为22184x y +=，因为r ==，圆心为原点O ，所以卫星圆方程为2212x y +=.（2）①当1l 、2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =x =-当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()或()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或=2y -，即2l 为2y =或=2y -，此时12l l ⊥，线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =②当1l 、2l 都有斜率时，设点()00,Px y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y=-+，联立方程()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，则()2220000648163280x t x y t y D=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---×===---，满足条件的两直线1l 、2l 垂直，此时线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =综合①②可知，MN为定值，MN =【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.的。

2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B【解析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】计算31cossin 332πππ=+=i e i ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.4．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12BC ．12-D． 【答案】A 【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.5．已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈- ∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>. 选B .【考点】利用函数图像比较大小. 6．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D【解析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 7．函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()xxg x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．23C 5D 5【答案】A【解析】先求出,B C 的坐标，再求出12,A B A C 的斜率，最后根据12A B A C ⊥得到,,a b c满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c ，令x c =，则2by a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A BA C b b b b a a kk a c a a c a c a a c +-==-==---+--， 因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b =，故离心率e ==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建,,a b c 的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.二、多选题9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 【答案】BC【解析】根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+Q ，0.34ln 0.34z x y x =+∴=+Q ，从而40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；y a bx =+Q 过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=Q ，即C 正确；因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8⨯，即D 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确； 故选BD .【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B C ．2e D【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：Q 令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x „时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．Q 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-…，∴得00()(1)T x T x -…，001x x -„，即012x „，()x g x e a =-Q ；1()2x „， 0x Q 为函数()y g x =的一个零点； Q当12x „时，()0x g x e '=-„， ∴函数()g x 在12x „时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝Q ，∴要使()g x 在12x „时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭„，解得a ，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题． 12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】计算得到2211ln 2a b a b -=--，A 错误，化简()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，B 正确，1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确，1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，D 正确，得到答案. 【详解】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确. 故选：BCD . 【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.三、填空题13．已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2log 3f =________．【答案】34【解析】根据分段函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，和2log 30>，利用()()2f x f x =-转化为()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求解. 【详解】因为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，2log 30>，所以()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又223log log 104<=，所以()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 故答案为：34. 【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.14．已知向量(1,1)a x =+v，(,2)b x =v ，若满足a b v v P ，且方向相同，则x =__________．【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b r rP ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==r r满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-r r，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________． 【答案】12【解析】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a ，按二项式定理展开，根据题意可得()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12．【详解】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a()()()()()1232011201202012120112201032009201112012201220122012201220122012525215215215211C C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-+L a ，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得 ()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12，故答案为12． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．16．已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，PA =2AB =，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，有222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q 的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.【详解】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥， 同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P-ABC 可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P-ABC 外接球的球心， 记外接球半径为R ，则1622222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==； 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时， 截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min S r ππ==．因此，过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：(1). 6(2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.四、解答题17．在①()2223163c S b a+=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2） 【解析】（1）若选择条件①．()2223163c S b a+=-，由正弦定理得()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-，再利用余弦定理有3cos 4sin 4sin B B B -=求解.若选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，根据正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，即sin (45cos )0C B -=求解.（2）由（1）知3tan 4B =，再根据42,S =10a =，利用正弦定理1acsin 2S B =解得14c =，再将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-求解.【详解】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=， 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =， 则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =. 将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++L ，证明：34n T <. 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】【详解】分析：（1）由题意可求得等差数列{}n a 的公差123d a ==，，从而可得21n a n =+．（2）由（1）可得()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后根据裂项相消法得到31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由此可得结论成立． 详解：（Ⅰ）∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+，又0,d ≠ ∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈. （2）证明：由（1）得()()122n n n a a S n n +==+， ∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n nT S S S =+++L 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭． ∴34n T <． 点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点： （1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.【答案】(1)5；(2)32929. 【解析】试题分析：（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ， 则BOC ∆∽DOA ∆，由相似三角形的性质计算可得5GH =【法二】由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ， 则BOC ∆∽DOA ∆，由题意结合余弦定理可得5GH =.（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面BFH 的法向量为31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v则二面角B FH E --的余弦值329,m n cosm n m n v vv v v v ⋅==.试题解析：（1）【法一】（Ⅰ）因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC ∆∽DOA ∆，且12BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====， 同理13CH EH CO PC PB CA ===， 连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以123EH PB ==223FG PA ==， 过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则225GH HN GN =+【法二】因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈, 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∆∆∽，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE ∆∽AOF ∆，AF BE =,所以2BE EC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,2,233EF AB EH PB FG AP ======如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ⋂=⋂=, 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =,在PMN ∆中,所以81222455MN cos ︒=+-⨯⨯=5GH =. （2）建立如图所示空间直角坐标系()()()()3,0,0,0,2,0,3,2,0,2,2,1B F E H ,()()1,2,1,2,0,1BH FH u u u v u u u v =-=,设平面BFH 的法向量为(),,n x y z =v, 2020n BH x y z n FH x z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,令2z =-，得31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v33292,9144m n cosm n m n⋅===++v vv v v v ，二面角B FH E --329 20．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥； （Ⅱ）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ．【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（Ⅲ）59.4.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示T 与x 的关系．（Ⅲ）先确定T 的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望． 详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤0.030100.025100.01510=⨯+⨯+⨯ 0.7=．（Ⅱ）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=． 所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=； 当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=； 当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=； 当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=．所以T 的分布列为：∴()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB ； 当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D D km m x y k k-==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++ ()121222212m y y k x x m k+=++=+AB =点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D Dkm mx y k k -==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d === 由22122k m +=得OADB S 故四边形OADB． 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 22．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-. （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数()h x 在()0,+∞上的单调性，然后可得当13x =时，()h x 有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设120x x <<，由题意可得()()()()2212121212ln ln 02a h x h x x x x xb x x -=-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-，又由条件得()1201222x x h x a b x x +⎛⎫=-+ +⎝'⎪⎭，构造()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭-=---=- ⎪+⎝⎭+'，令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+，利用导数可得()()10r t r >=，故得()()1200x x h x '->，又120x x -<，所以()00h x '<． 详解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x Q =--∈+∞， ()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=， 由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值． （Ⅱ）Q 函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx ∴-=----- ()()22121212ln ln 02a x x x xb x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭， ()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭' ()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦ ()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+． 令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+ ()()()()222141011t r t t t t t --∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->，又120x x -<，()00h x ∴'<．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．。

专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x =R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数ln y x=的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞） 【答案】A 【解析】2340ln ln 0,0x x x y x x x ⎧-++≥-=⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ）A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞【答案】B【解析】函数ln ()1xf x x =-，∴010x x >⎧⎨-≠⎩， 解得x ＞0且x≠1，∴f （x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，【答案】D【解析】因为函数()f x =R ，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22a a ∆=-≤-≤≤，即实数a 的取值范围为[]22﹣，，故选D. 【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <. 若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞ B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞ 【答案】B【解析】使函数有意义的x 满足1010x x ->⎧⎨+≥⎩解得11x -≤<即函数()()2log 1f x x =-+[)1,1-.故选B.【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+【答案】C【解析】由指数函数性质知：()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为()0,∞+.对于A ，定义域为()0,∞+，与()f x 不同，A 错误； 对于B ，值域为[)0,+∞，与()f x 不同，B 错误；对于C ，定义域为R ，值域为()0,∞+，与()f x 相同，C 正确； 对于D ，定义域为{}0x x ≠，与()f x 不同，D 错误. 故选：C .【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9 B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =， 即3112x ≤<，令4()2g x x x =+，(112x ≤<)， 则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x'=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又1()1892g =+=，(1)246g =+=，所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 【答案】B【解析】∵1cos21x -≤≤，∴0cos212x ≤+≤， 即函数()cos21f x x =+的值域为[]0,2，值域跨度为2； ∵()2221122x x x -++=--+≤， ∴()f x =⎡⎣；∵1,0()121,011,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪≥⎩，∴函数()1f x x x =--的值域为[]1,1-，值域跨度为2；∵323222222()11(1,1)323232312x x x x x xxx x x x x x f x -+-⋅⋅===-=-∈-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域跨度为2；故选：B.【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）.A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣【答案】A【解析】因为y x = 由240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==．令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单调递增，(2)0x -=，解得2x =即()f x在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】C【解析】因为函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()2cos 2cos 44x x x xx x a a---=++，化简可得：()4141x xa -=-， 解得：1a =，即()2cos cos =4122x x xxx xf x -=++. 又因为c o s 1x ≤，222x x -+≥，所以()12f x ≤（当且仅当0x =时两个“=”同时成立）. 故选：C.【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}【答案】A【解析】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D.【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2， 所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________【答案】()(),11,1-∞--【解析】()2134lg x y x x -=--∴210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--，故答案为：()(),11,1-∞--【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】函数()f x ，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥， ∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．【答案】1(,]4-∞【解析】令221ty x x =+-， 当0t <时，22211,(0)t t y x m m x x m =+-=+-=>，因为1t y m m=+-在(0,)+∞上单调递增，因此221ty x x=+-值域为[),0,R +∞为R 的子集，所以0t <；当0t =时，222111t y x x x=+-=-≥-， [)0,+∞为[1,)-+∞的子集，所以0t =；当0t >时，22111,t y x x =+-≥=，当且仅当||x =[)0,+∞为1,)+∞的子集，所以11004t ≤∴<≤； 综上，14t ≤故答案为：1(,]4-∞【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】01a ≤≤【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤， 所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立， 故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2]2x ∈， 当0a =时，()0g x =，符合题意； 当0a ≠时，函数()g x在,2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤， 综上，实数a 的取值范围是[0,1]． 故答案为：[0,1]【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．。

专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 例1、【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．1-1、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.1-2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D 1-3、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()10a b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 则()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->（比如：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义） 则()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 故选：A.1-4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m 为非零实数，则“11m＜-”是“1m ＞-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-”是“1m >-”的充分不必要条件.故选A.例2、【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.2-1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.例3、【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．3-1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数， 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要例4、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.4-1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B例5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知,R a b ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直， 则()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =”可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”，由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”不能推出“1a =”，故“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的充分不必要条件， 故选：A.5-1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ．例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C.6-1、（2020·浙江高三）等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。

专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。

绝密★启用前山东省济南市普通高中2020届高三毕业班下学期针对性训练(高考三模)数学试题(解析版)2020年6月本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ） A. {}1x x >- B. {}02x x ≤< C. {}02x x << D. {}12x x ≤< 【答案】D【解析】【分析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{{}|1N x y x x ===≥,{}12M x x =-<<所以[)1,2MN =故选：D 【点睛】考查描述法的定义,以及交集的运算,是基础题.2.函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,0B. 0,1C. 1,2D. ()2,3【答案】C【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】3()4f x x x =+-,易知函数单调递增,(0)40f =-<,(1)20f =-<,(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点. 故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知命题p ,x ∀∈R ,12x x e e +≥,则p ⌝为（ ） A. x ∃∈R ,12x xe e +≥ B. x ∃∈R ,12x x e e +< C. x ∃∈R ,12x x e e +≤ D. x ∀∈R ,12x x e e +≤ 【答案】B【解析】【分析】全称命题:x A ∀∈,()P x 否定,是特称命题:x A ∃∈,()P x ⌝,结合已知中原命题x ∀∈R ,12x x e e+≥,可得到答案． 【详解】 原命题x R ∀∈,12xx e e +≥ ,∴ 命题x ∀∈R ,12x x e e+≥的否定是:x ∃∈R ,12x xe e +<． 故选:B ．。

专题2 相等关系与不等关系高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,23．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．1634．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D．0a ≤5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1ba<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<<C ．{21}x x -<<D ．{2x <-或1}x >9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．1810．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9211．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．913．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．614．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．815．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥ C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题21．（20201x x +x =______. 22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 26．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义． 30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6242．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10D ．53．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．606．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3208．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．112二、多选题 三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.14．（2020·全国高三专题练习（理））在()8x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.。

2020年新高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜14．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．178．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）二、多项选择题（共4小题）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a ＝．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（结果用区间表示）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]【分析】先求集合B，再求并集．解：∵B＝{x|x2﹣3x≤0}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝[﹣2，3]，故选：A．2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x＜1，故选：C．4．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：1【分析】如图所示，由＝+，可得＝．即可得出△ABP的面积与△ABC的面积之比．解：如图所示，∵＝+，＝．∴△ABP的面积与△ABC的面积之比＝＝．故选：C．5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】求出B的坐标，利用已知条件列出a、c关系，然后求解离心率即可．解：由题意可得A（a，0），双曲线的渐近线方程为：ay±bx＝0，不妨设B点为直线x ＝a与y＝的交点，则B点的坐标（a，b），因为AB⊥FB，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝，解得e＝2．故选：C．6．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则：SD＝，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R＝所以：S＝4π•R2＝4．故选：D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．17【分析】化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．解：f（x）＝sin2x+cos x+1，由，得a n＝2na﹣a+b，{a n}为等差数列，a1+a17＝2a9＝π，y1+y17＝f（a1）+f（a17）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a17+cos a17+1＝sin2a1+cos a1+1+sin（2π﹣2a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，数列{y n}的前17项和为2×8+1＝17．故选：D．8．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）【分析】根据所给函数f（x），画出函数图象，根据g（x）＝mx及y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围．解：由题意，画出函数f（x）＝的图象如下图所示：f（x）﹣2g（x）恰有三个零点即f（x）＝2g（x）有三个不同交点，即f（x）＝2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在k OA，k OB之间时，有三个交点即k OA＜2m＜k OB所以﹣可得故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数g（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f（x）＝2sin （x+）的图象．或者先将g（x）＝2sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（x﹣）的图象，再向左平移个单位，可得可得函数f（x）＝2sin（x+）的图象．故选：AD．10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多【分析】根据扇形统计图，逐一判断选项，得出答案．解：设整个行业人数为1，A，因为互联网行业从业人员中“90后“占56%，故正确；B，互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数为1×0.56×0.396≈0.22＝22%，故正确；C，互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数为1×0.56×0.17≈0.1＞0.03，故错误；D，互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数0.1＜0.41，故错误，故选：AB．11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为【分析】由图象结合最值可求A，结合周期可求ω，然后代入f（）＝2，及|φ|＜，可求φ，从而可求f（x），进而可求g（x），结合正弦函数，余弦函数的性质分别进行判断解：由图象可知，A＝2，＝，∴T＝2π，ω＝1，∴f（x）＝2cos（x+φ），∵f（）＝2cos（+φ）＝2，且|φ|＜，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（x﹣），∵g（x）＝f（x）+f'（x）＝2cos（x﹣）﹣2sin（x﹣）＝2cos（x+），A：由h（x）＝g（x）+2＝0可得cos（x+）＝﹣，则|x1﹣x2|的最小值为＝，故A正确；B：结合余弦函数的性质可知，f（x）的最大值2，故B错误；C：根据导数的几何意义可知，过点P的切线斜率k＝f′（x）＝﹣2sin（x+），不存在斜率为﹣3的切线方程，故C错误；D：令x+＝kπ可得，x＝k，k∈z，故D错误．故选：A．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，当点F移动到BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝＜，最大角大于60°，所以A错误；对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，如图2，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，所以C正确；对于D，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＝＞，最小角大于30°，所以D错误．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝﹣1．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，分析可得直线l经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得1+2a+1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心C（1，2），半径r ＝2；又由弦AB的长为4，则直线l经过圆心，则有1+2a+1＝0，解可得a＝﹣1；故答案为：﹣1．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤＝＝＝4，当且仅当a＝2b＝4时，取等号，即当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（0，e）（结果用区间表示）．【分析】由题目要求解的不等式是ef（lnx）﹣xf（1）＜0，由此想到构造函数g（x）＝，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（lnx）＜xf（1），得：＜，即g（lnx）＜g（1），因为函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以lnx＜1．所以不等式的解集是（0，e）．故答案为（0，e）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝12．【分析】根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解：由题意l1＝，l2＝，l3＝，所以l1+l2+l3＝4π；l8＝8π，即，解得n＝12；故答案为：4π；12．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可．（2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．解：（1），…………………………在△ABC中，由正弦定理得，∴．…………………………（2）在△BCM中，由余弦定理得＝，∴12＝4+BC2﹣2BC，解得BC＝4（负值舍去），…………………………∴，…………………………18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足N（60，122），结合正态分布的对称性即可求得（72，84）内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[61，80]内的概率为，由二项分布即可求得X的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解【解答】解（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，，求得x≈82.64．小明转换后的物理成绩为8；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布N（60，122），所以P（72＜ξ＜84）＝P（60＜ξ＜84）﹣P（60＜ξ＜72）＝P（36＜ξ＜84）＝P（48＜ξ＜72）＝（0.954﹣0.682）＝0.136．所以物理原始分在区间（72，84）的人数为2000×0.136＝272（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61，80]内的概率为，随机抽取4人，则X～B（4，）．P（X＝0）＝（）4＝，P（X＝1）＝C（）3＝，P（X＝2）＝C（）2（）2＝，P（X＝3）＝C（）3（）1＝，P（X＝4）＝（）4＝．X的分布列为X01234P数学期望E（X）＝4×＝．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．【分析】（1）利用面面垂直的性质能证明BV⊥CV．（2）过V作VO⊥AC于O，推导出VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，由此能求出当DV 的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值．解：（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵侧面ACV⊥底面ABC，侧面ACV∩底面ABC＝AC，∴BE⊥面ACV，∵VC⊂面ACV，∴BE⊥CV．（2）解：过V作VO⊥AC于O，∵侧面ACV⊥底面ABC，∠ACV＝45°，∴VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴OH＝OC sin45°•sin45°＝，∴当DV的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值：cos∠VHO＝＝＝．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，解得b2＝1，a2＝4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1＝m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，∴b2＝1，a2＝4，∴椭圆C的方程为+y2＝1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵直线l与椭圆相切，∴△＝16（4k2+1﹣m2）＝0，即4k2+1＝m2，设P（x1，y1），可得x1＝＝﹣，则y1＝＝，∴|OP|2＝+＝＝＝4﹣又直线l与圆O相切，可得|OQ|＝，则|OQ|2＝＝＝4﹣∴|PQ|＝＝＝，∴S△OPQ＝|PQ|•|OQ|＝•＝•＝•≤，当且仅当k＝1时取等号，此时m2＝1+4＝5，则m＝±，故直线l的方程为y＝x+或y＝x﹣．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．【分析】（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点等价于﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，等价于在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），利用导数得到φ（x）min﹣，所以，从而求得m的取值范围；（2）先求出导函数F'（x）＝lnx﹣mx+1，由题意可得，进而得到＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），利用导数得到h（t）＜h（1）＝0，即．解：（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，即﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，即﹣＝xlnx在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），则φ'（x）＝，∴当x∈（0，e）时，φ（x）为减函数，当x∈（e，+∞）时，φ（x）为增函数，∴φ（x）min＝φ（e）＝﹣，∴，∴m；（2）证明：由已知可得F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xlnx﹣，则F'（x）＝lnx﹣mx+1，∵F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，解得：m＝，且m＝，∴＝，即lnx1+lnx2+2＝＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞ln1，即证lnx1+lnx2＞0，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），则h'（t）＝＞0，∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）＝0，即得证，∴x1x2＞1．。