2017_2018学年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_2

3.3 导数在研究函数中的应用第1课时 函数的单调性与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 89～P 93的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 89图3.3－1，回答下列问题：①函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间(0，a )上的单调性是什么？h ′(t )的符号是正还是负？提示：h (t )在_(0，a )上为增函数，h ′(t )>0．②函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间(a ，b )上的单调性是什么？h ′(t )的符号是正还是负？提示：h (t )在(a ，b )上为减函数，h ′(t )<0． (2)观察教材P 90图3.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y ′(x )＝1>0，y (x )是增函数； ②在区间(－∞，0)内，y ′(x )＝2x <0，y (x )是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y ′(x )＝2x >0，y (x )是增函数； ③在区间(－∞，＋∞)内，y ′(x )＝3x 2≥0，y (x )是增函数； ④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y ′(x )＝－1x2<0，y (x )是减函数．(3)观察教材P 93图3.3－7，函数f (x )在(0，a )和(a ，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a )内的图象“陡峭”，在(a ，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f (x )在(0，a )和(a ，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a )上的导数值大于在(a ，＋∞)上的导数值．(4)观察函数f (x )＝1x，x ∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0，1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f ′(x )在(0，1)和 (1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f ′(x )在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．2．归纳总结，核心必记(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：(2)(1)提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．[课前反思](1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？；(2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系？．讲一讲1．(1)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )[尝试解答] (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．[答案] (1)D (2)D研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．练一练1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )解析：选D 因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f′(x)<0.(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是________．解析：由图象可知，f′(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，故f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．答案：(－∞，0)，(2，＋∞)[思考1] 若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．[思考2] 若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？名师指津：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．[思考3] 如何判断(证明)可导函数f(x)在(a，b)上的单调性？名师指津：利用f′(x)的符号，规律方法同[思考2]．讲一讲2．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[尝试解答] 由于f (x )＝e x－x －1， 所以f ′(x )＝e x－1，当x ∈(0，＋∞)时，e x＞1，即f ′(x )＝e x－1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x<1，即f ′(x )＝e x－1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．利用导数判断函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)得出结论． 练一练2．试证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数．证明：由于f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2. 由于0<x <2， 所以ln x <ln 2<1， 故f ′(x )＝1－ln x x2>0， 即函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数．[思考] f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集与函数f (x )的单调区间有什么关系？名师指津：f ′(x )>0的解集对应函数f (x )的单调递增区间；f ′(x )<0的解集对应函数f (x )的单调递减区间．讲一讲3．(链接教材P 91－例2)求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . [尝试解答] (1)f ′(x )＝1－3x 2，令1－3x 2>0，解得－33<x <33. 因此，函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3．3，33.令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝（2x －1）（2x ＋1）x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)； (3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 练一练3．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x （x －2）－e x （x －2）2＝e x（x －3）（x －2）2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).讲一讲4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.讨论f (x )的单调区间．[思路点拨] 由题意，可先求f ′(x )，然后根据a 的取值情况，讨论f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集即可．[尝试解答] f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3. 当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数． 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．练一练4．(1)本例中f (x )不变，若f (x )为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．解：因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1，1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)本例中f(x)不变，若f(x)，求a的取值范围．解：由例题可知，f(x)，(－1，1)上不单调，求a的取值范围．，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0，3)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．课时达标训练（十六）[即时达标对点练]题组1 函数与导函数图象间的关系1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选A 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y ＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2，5]上函数f (x )的递增区间为________．解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝e x(x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，＝x cos x －sin x x2. 故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1.∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋a x<0，得0<x <－a ， 所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增．2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，f ′(x )g (x )>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，327．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.第2课时 函数的极值与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 93～P 96的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 94图3.3－8，函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y ＝h (t )在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y ＝h (t )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝h (t )在t ＝a 处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h ′(t )>0，右侧h ′(t )<0．(2)观察教材P 94图3.3－10和图3.3－11，函数y ＝f (x )在a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y ＝f (x )在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？提示：函数y ＝f (x )在a ，c ，e ，g 的函数值比它附近的函数值都小，在b ，d ，f ，h 处的函数值比它附近的函数值都大；y ＝f (x )在这些点的导数值都是0；在a ，c ，e ，g 点的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0；在b，d，f，h点的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．2．归纳总结，核心必记(1)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[问题思考](1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P94图3.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．_x1、x3是极大值点．(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．[课前反思]讲一讲1．((1)fx.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e2 .(2)函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－ln x x 2.令y ′＝0，即1－ln xx2＝0，得x ＝e. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由表可知，当x ＝e 时，函数有极大值e.求可导函数f (x )的极值的步骤为： (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f ′(x )；(3)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(4)列表：方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．练一练1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x 当x ＝12．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [尝试解答] ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．练一练2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0， ①c 3a ＝－1，②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，② 又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．讲一讲3．求函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)的极值．[思路点拨] 分类讨论a 取不同值时，函数的单调性，进而求极值． [尝试解答] f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a . 当xb ，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨练一练3．设函数x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)，递增区间为(1－m ，1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m ) ＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求函数的极值，见讲1； (2)已知函数的极值求参数，见讲2； (3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反，这是本节课的易错点．课时达标训练（十七） [即时达标对点练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；2)时，f ′(x )<0，(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 而在x ＝－2的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－3 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3. 8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝11，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内C ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，(1，＋∞)内D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内解析：选A 利用导数法易得函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内．2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，排除A.取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________． 解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0.解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．第3课时 函数的最大(小)值与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 96～P 98的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 96图3.3－13，回答下列问题：①你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的极大值和极小值吗？提示： 极大值有f (x 2)，f (x 4)，f (x 6)；极小值有f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)．②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．(2)观察教材P97图3.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)观察教材P97图3.3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值．(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．2．归纳总结，核心必记(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[问题思考]在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．[课前反思](1)如何求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值？(2)函数f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？讲一讲1．(链接教材P 97－例5)求下列各函数的最值． (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x(x <0)．[尝试解答] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点， 且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18.所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 练一练1．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1，1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12，x ＝1时，f (x )取最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.＝0； )＝π.讲一讲2．设＋b 在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式．＝3x (x －a )＝0， 得x ＝0或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，x ＝a 时取得极小值－a 32＋b .而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)， 又因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以y ＝f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.y ＝f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－62. 所以－32a ＝－62，a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．练一练2．已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.。

3.1.3导数的几何意义学习目标：1通过函数图象直观地理解导数的几何意义2 会利用导数求切线的方程德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：理解函数()x f y =在点（00,y x ）处的导数与函数()x f y =图象在点（00,y x ）处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义难点：已知函数解析式，会求函数在点（00,y x ）处切线的斜率，能求过点（00,y x ）的切线方程活动一：自主预习，知识梳理一．曲线割线的斜率已知函数()x f y =图象上两点A ()()x x f x x B x f x ∆+∆+0000,(),,(，过A,B 两点割线的斜率是 ，即曲线割线的斜率就是二、函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义曲线()x f y =在点()),(00x f x 处的导数)(0/x f 的几何意义为活动二：问题探究1. 是否任何曲线割线均有斜率？2.与曲线只有一个公共点的直线一定式曲线的切线吗？3.曲线的切线与曲线只有一个交点吗？活动三：要点导学，合作探究要点一：求曲线的切线方程例1： 求抛物线2x y =在点（1,1）切线的斜率例2：求双曲线x y 1=在点（2，21）的切线方程练习：（1）曲线2212-=x y 在点⎪⎭⎫⎝⎛-23,1处的切线方程为（2）已知曲线331x y =上一点P )38,2(求：1.点P 处的切线的斜率2.点P 处的切线方程练习：求曲线2x y =过P )0,1(的切线方程要点二：求切点坐标例4：曲线2x y =的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标 （1） 平行于直线54-=x y（2） 垂直于直线0562=+-y x（3）与x 轴成 135的倾斜角作业：P85习题A,B小结:1.求切线方程的步骤 2.求切点坐标的步骤反思。

第三章导数及其应用章末复习提升戸知识网络系统盘点，提炼主干是函数的增量△ y 与自变量的增量△ x 的比兰的极限,函数y = f (X )在点X o 处的导数的几何意义，就是曲线 y = f (X )在点P (x o , f (x o ))处的切线的斜率.2 •曲线的切线方程利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1) 判断P 点是否在曲线上；(2) 如果曲线y = f (x )在P (x o , f (x o ))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x =X o ； P 点坐标适合切线方程， P 点处的切线斜率为f '(X o ).3•利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法导数段U应用基本初零旃数的导数公式昴数的计算--导数的运 算医则戸要点归纳聾1.对于导数的定义,必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量△ X f0的方式，导数即 iim =limX —0 △ x △ X fX o + △ X — f X o△ X 整合要点.许释疑点若 Wfl y=/(x)递増；①求导数r (x )；②解方程 r (x )=fti ③列撕前恻符号①求极值：②极值与端点处歯蜜值比校对式子进行适当则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便•因此观察式子的特点,的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性⑴在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；⑵注意在某一区间内f '(x) > 0(或f '(x) v 0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.5. 利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.⑵连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.⑶可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.6. 求函数的最大值与最小值(1) 函数的最大值与最小值：在闭区间［a, b］上连续的函数f(x)，在［a, b］上必有最大值与最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值，例如： f (x) = x3, x€ ( —1,1).(2) 求函数最值的步骤一般地，求函数y=f(x)在［a, b］上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y=f(x)在(a, b)内的极值及端点处的函数值 f (a), f(b);②将函数y= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a) , f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x o，则f(x o)是函数的最值•戸题型研修全突破鱼点，提升能力________________________________ 题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题.例 1 已知函数f (x) = x—a ln x(a€ R).(1) 当a= 2时，求曲线y = f(x)在点A(1 , f(i))处的切线方程；⑵求函数f(x)的极值.a解函数f(x)的定义域为(0 ,+^) , f'(x) = 1 —-.x2(1)当a= 2 时，f (x) = x—21 n x, f'(x) = 1 —一(x>0),x••• f(1) = 1, f' (1) =—1,••• y = f (x)在点A(1 , f(1))处的切线方程为y —1 = —(x —1),即x+ y —2 = 0.a x —a “⑵由f (x) = 1 —厂=,x>0 知：①当a W0时，f '(x)>0，函数f (x)为(0 ,+s)上的增函数，函数f (x)无极值；②当a>0时，由f'(x) = 0，解得x= a;■/x € (0 , a)时，f'(x)<0 , x€(a,+s)时，f'( x)>0• f (x)在x= a处取得极小值，且极小值为 f ( a) = a—a ln a,无极大值.综上，当a w0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f (x)在x = a处取得极小值a—a ln a, 无极大值. 跟踪演练1点P(2,0)是函数f(x) = x3+ ax与g(x)= bx2+ c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a, b, c的值.解因为点P(2,0)是函数f (x) = x3+ ax与g(x) = bx2+ c的图象的一个公共点，所以23+ 2a=0①4b+ c= 0 ②由①得a= — 4.所以f (x) = x3—4x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，所以f'⑵=g'⑵，而由f ' (x) = 3x2— 4 得到f ' (2) = 8,由g'(x)= 2bx得到g' (2) = 4b,所以8= 4b,即卩b= 2,代入②得到c=—8.综上所述，a=—4, b= 2, c = —8.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内，如果f'(x)>0，那么函数y= f (x)在区间(a, b)内单调递增；在区间(a, b)内，如果f'(x)<0，那么函数y = f(x)在区间(a, b)内单调递减.2例2 已知函数f (x) = x— - + a(2 —ln x), a> 0.讨论f (x)的单调性.xf (X )的定义域是(0 ,22 a x - ax + 2—2— _ = 2 .X XX设 g (x ) = x 2— ax + 2, 二次方程 g (x ) = 0 的判别式 △ = a 2— 8.①当△< 0即0 v a v 2 2时，对一切x > 0都有f '(x ) > 0.此时f (x )是(0,+^)上的增函 数.②当△ = 0即a = 2 2时，仅对x = 2，有f '(x ) = 0,对其余的x >0都有f '(x ) >0.此 时f (x )也是(0 ,+^)上的增函数. ③当△>0即a >2,㊁时，方程g (x ) = 0有两个不同的实根解由题知， f ，(x ) = 1 ++m),x ia — a — 82X 2 =a + . a 2— 820 v X i v X 2.X (0 , X i ) X i(X i , X 2) X 2(X 2,+^) f'(x ) + 0—0 + f (x )/极大值极小值/此时f (x )在10， a — p a - 8 a + - :2，— a + . a 2— 8 ---- a ------ +m2上单调递增.单调递减,跟踪演练2求下列函数的单调区间： (1) f (x ) = (x — 3)e x , x € (0,+s ); 2(2) f (x ) = x (x — a ).解 (1) f ' (x) = (x — 3) ' e x + (x — 3)(e x ) ' = (x — 2)e x , 令 f '(x ) > 0，解得 x > 2，又 x € (0,+s ), 所以函数的单调增区间(2 ,+R ), 函数的单调减区间(0,2),⑵ 函数 f (x ) = x (x — a ) 2= x 3— 2ax 2 + a 2x 的定义域为 R ,由 f '(x ) = 3x 2 — 4ax + a 2= 0, 得 x i = 3, X 2= a.3①当 a >0 时，x i <X 2.•••函数f (x )的单调递增区间当x 变化时，f '( x )、f (X )的变化情况如下表:2 上单调递增,(a ,+^),② 当 a <0 时，x i >X 2, •••函数f (x )的单调递增区间为(—g, a ) , '3，+m , a ］ 3 - ③ 当a = 0时，f '(x ) = 3x 2>0,「.函数f (x )的单调区间为(一g,+g )，即f (x )在R 上是递增的.综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为J —m , 3 , (a ,),单调递减区间为'3a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(一g, a ) , j|,+m ,单调递减区间为；a , 3 a = 0时，函数f (x )的单调递增区间为(—g,+g ).题型三利用导数求函数的极值和最值 1.利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域；⑵解方程f '( X ) = 0的根；⑶检验f '( X )= 0的根的两侧f '( X )的符号.若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点. 2.求函数f (x )在闭区间［a , b ］上的最大值、最小值的方法与步骤(1) 求f (x )在(a , b )内的极值；(2) 将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为 最小值.特别地，①当f (x )在［a , b ］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ,b )内只有一个极值点时，若在这一点处 f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处 取得最大(最小)值，这里(a , b )也可以是(—g,+g ).1 2例 3 已知函数 f (x ) = ?x — a ln x (a € R) (1)若f (x )在x = 2时取得极值，求a 的值;(2) 求f (x )的单调区间;单调递减区间⑶求证：当x>1时,夕+ ln x <3x3单调递减区间aa(1)解f '(x ) = x — 一，因为x = 2是一个极值点，所以2-2 = 0,贝U a = 4.此时f '(x ) = xX 2,因为f (x )的定义域是(0 , +8),所以当x € (0,2)时，f '(x ) v 0;当x € (2 , +8) , f '(X )>0,所以当a = 4时，x = 2是一个极小值点，则 a = 4.2a x — a⑵解因为 f (x) = x — =—, x € (0 ,+8),x x所以当a W0时，f (x )的单调递增区间为(0 ,+8). 当a > 0时，f '(x ) = x — a =、匚空=一，所以函数f (x )的单调递增区间 Z\. Z\. ZY(.a ,+8)；递减区间为(0 , a ).2 3 1 2 2 1⑶ 证明 设 g (x ) = 3x — 2X - In x ,贝U g '(x ) = 2x — x -一，因为当 x > 1 时，g '(x )=3 2X跟踪演练3已知函数f (x ) = x 3+ ax 2+ b 的图象上一点 P (1,0)，且在点P 处的切线与直线 3x + y = 0 平行.(1)求函数f (x )的解析式；⑵求函数f (x )在区间［0 , t ］(0< t <3)上的最大值和最小值；⑶ 在(1)的结论下，关于x 的方程f (x ) = c 在区间［1,3］上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围.解 ⑴ 因为f '(x ) = 3x 2+ 2ax ,曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ' (1) = 3+ 2a,即3+ 2a =—3, a = — 3.又函数过(1,0)点，即一 2 + b = 0, b = 2.所以 a =— 3, b = 2, f (x ) = x — 3x + 2.322⑵由 f (x ) = x — 3x + 2得，f '(x ) = 3x — 6x .由 f '(x ) = 0 得，x = 0 或 x = 2.①当0<t W2时，在区间(0 , t )上f ' (X)<0 , f (X )在［0 , t ］上是减函数，所以f ( X ) max = f (0) =2,32f (X ) min = f (t ) = t — 3t + 2.X+2 X —?x2x 2+ x +1 X>0，所以g (x ) 1所以 g(x) > g(1) = 6 >0,所以当x > 1时,1 22 3* + In x v 3X .f ( X min= f (2) =—2 , f ( x) max为f (0)与f ( t )中较大的一个.又f(t) —f(0) = t3—3t2= t2(t —3)<0.所以f ( X) max= f (0) = 2.综上可知，在区间［0, t］(0< t<3)上f (X) max= 2,t3—3t2+ 2, 0<t w2,f (x)min =—2, 2<t<3.3 2(3) 令g(x) = f(x) —c = x —3x + 2—c,2g'(x) = 3x —6x = 3x(x —2).在x€ ［1,2) 上, g' (x)<0 ;在x€ (2,3］上, g'(x)>0.g(x) = 0在［1,3］上恰有两个相异的实根，g ,则g 2 <('i,g解得一2<c w 0.即c的取值范围为(一2,0］.题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.1 32 2例 4 设函数f (x) = —+ 2ax —3a x + b(0< a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；⑵若当x€［a+ 1, a+ 2］时，恒有|f'(x)| w a,试确定a的取值范围；2⑶当a= 3时，关于x的方程f (x) = 0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围. 解(1)f'(x) = —x + 4ax—3a=—(x —a)( x—3a).令f'( x) = 0，得x= a 或x= 3a.当x变化时，f '( x)、f (x)的变化情况如下表：f (x ) 极小值 / 极大值•••f(x )在(—g, a )和(3a ,+^)上是减函数，在(a, 3a )上是增函数. 当x = a 时，f (x )取得极小值，4 3f (x )极小值=f (a ) = b — 3a ； 3当x = 3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值=f (3a ) = b.2 2⑵ f '(x ) = — x + 4ax — 3a ，其对称轴为 x = 2a .因为 0<a <1，所以 2a <a + 1.所以f '(x )在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当 x = a + 1 时，f '(x )取得最大值，f '(a + 1) = 2a — 1 ； 当 x = a + 2 时，f '(x )取得最小值，f '(a + 2) = 4a — 4.2a — 1 w a ,4 于是有*即a w 1. 4a — 4>— a ,5 又因为0<a <1,4所以-w a <1. 52 134 2 4(3) 当 a = 3时,f (x ) = — §x + §x — §x + b .上， 28 4f (x) = — x + 3x —3, 2 84 由 f '(x ) = 0，即一x +— 3= 0, 解得 X 1 = I ，X 2 = 2,f (x ) = 0在［1,3］上恒有两个相异实根,即f (x )在(1,2) , (2,3)上各有一个实根, 71 01, 于是有^2 >0, 解得0<b w g 3跟踪演练4 证明：当x € ［ — 2,1］时，一^w*x 3 — 4x w 罟.1 3证明令 f (x ) = 3x — 4x , x € [ — 2,1],r 1—3+ b w 0, b >0,I —1 + b w 0,可知f (x )在3上是减函数, 在，在(2 ,+g )上是减函数.2则f '(x) = x - 4.因为x€ ［—2,1］，所以f'(x) w0,即函数f (x)在区间［—2,1］上单调递减.16故函数f (x)在区间［—2,1］上的最大值为f ( —2)=§，11最小值为f (1)=——.11 16所以，当x€ ［—2,1］时，3w f (x) w 3,11 1 3 16 、即一—w 3X —4x w-3 成立.「课堂小结---------------------------------- 11.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围. 这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2•在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f'(x) > 0(或f'(x) w 0)，且f '(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.。

3．3.1 利用导数判断函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系 思考1 观察下列各图，完成表格内容．思考 梳理知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．类型一 利用导数判断函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )单调递增(或递减)；但要特别注意，f (x )单调递增(或递减)，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练1 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域．(2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数． 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间．命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性．反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练3 已知函数f (x )＝12x 2－(a ＋m )x ＋a ln x ，且f ′(1)＝0，其中a ，m ∈R .(1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．类型三 含参数函数的单调性 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间．例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max . ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．(0，a )4．若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥43B ．m >43C ．m ≤43D ．m <435．求函数f (x )＝(x －k )e x的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0. (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．答案精析问题导学 知识点一思考1 正 递增 正 正 递增 负 递减 负 负 递减 负 负 递减 思考2 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上： (1)如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上单调递增． (2)如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上单调递减． 梳理 > 锐 上升 递增 < 钝 下降 递减 知识点二思考 如图所示，函数y ＝f (x )在区间(0，b )或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b ，＋∞)或(－∞，a )内导数的绝对值较小，图象“平缓”．题型探究例1 证明 ∵f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，sin x >0， ∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．跟踪训练1 证明 ∵f (x )＝ln xx，∴f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln xx 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0， 故f (x )在区间(0，e)上是增函数．例2 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝6x －2x＝x 2－x＝3x －3x ＋x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33， 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． 跟踪训练2 解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3，又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)． 例3 解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ， 由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由g (x )＝0， 得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)． 当x ∈(0，2a2)时，g (x )<0， 即f ′(x )<0， 当x ∈(2a2，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0.所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上单调递减，在区间(2a 2，＋∞)上单调递增． 综上，当a ＝0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，函数f (x )在(2a 2，＋∞)上单调递增，在(0，2a2)上单调递减． 跟踪训练3 解 (1)由题设知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －(a ＋m )＋ax.由f ′(1)＝0，得1－(a ＋m )＋a ＝0， 解得m ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －ax －x.当a >1时，由f ′(x )>0， 得x >a 或0<x <1，此时f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，(0,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当0<a <1时，由f ′(x )>0， 得x >1或0<x <a ，此时f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a )；当a ≤0时，由f ′(x )>0，得x >1，此时f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． 综上，当a >1时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，(0,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a )； 当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． 例4 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k)．跟踪训练4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(2x 3)min .设y ＝2x 3，∵y ＝2x 3在[2，＋∞)上单调递增， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]． 当堂训练1．A [∵x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．]2．C [原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增， 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增．故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.] 3．A [f (x )的定义域为{x |x >0}， 且a >0，由f ′(x )＝1x－a >0，得0<x <1a.]4．A [∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.]5．解 f ′(x )＝e x＋(x －k )e x＝(x －k ＋1)e x，当x <k －1时，f ′(x )<0；当x>k－1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞)．。

导数应用小结与复习一、教学目标：1、知识与技能:①利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。

2、过程与方法:①通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；②通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。

3、情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。

二、教学重难点：通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、知识点1、导数应用的知识网络结构图：（二）重点导析：1、本课主要内容是小结导数和微分在研究函数性质方面的应用，即函数的单调性、极大(小)值、最大(小)值，以及运用导数和微分来解决实际问题．其知识要点如下表所示．f(x)在(a，b)内递增f(x)在(a，b)内，f(x)min＝f(x0)2、对于函数单调性的判定，强调：(1)判别法的依据是导数的几何意义；(2)在(a，b)内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是使f(x)在(a，b)内递增或递减的充分条件而非必要条件，例f(x)＝x3在(－∞，＋∞)内递增，并不要求在(－∞，＋∞)内f′(x)＞0．3、关于极值问题，仍然要注意以下问题：(1)极值点未必可导点；(2)f′(x0)＝0时，f(x0)未必是极值；(3)极大值未必大于极小值．4．关于函数的最值：切实掌握求最值的步骤和方法外，应说明极值和最值的关系，以及f(x)在[a，b]内连续是使f(x)在[a，b]内有最大值和最小值的充分条件而非必要条件．（三）、例题探析例1、求函数y＝x4－2x2＋5在闭区间[－2，2]上的极值、最值，讨论其在[－2，2]上的各个单调区间．(可叫学生演板)x－2(－2，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，2)2y′－0＋0－0＋y1345413例2、已知函数f(x)＝alg(2-ax)(a＞0，且a≠1)在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值范围．分析：因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)＜0．由f′(x)＜0得不等式，可由不等式求出a的取值范围．解：∵′＝·＜由＞得y a lga0a0lg(2ax)lg(2ax)---12xalga0x0lga0x00x1a1x1a2＜－＞①或＞－＜②∵＜＜不等式①无解．由此知＞，又由＜＜＜．222a aa⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪⇒例3、如图，两个工厂A、B相距0.6km，A、 B距电站C都是0.5 km．计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连．D点选在何处时，动力线总长最短？分析：据题意应知三角形ADB是等腰三角形，DE是其高线．故可设DE为x km．由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3．CE0.4 CD0.4x＝＝，＝－．050322..-AD BD＝＝．x2203+(.)动力线总长ll l ＝＋－．令′＝＋－＝·2x 0.4x [2x 0.4x]22++'+-(.)(.).03032220091222x x＝＝．200900922x x x -++..0即－＝，求得唯一极值点，＝≈．2x 0x 0.17x 2009310+.故D 点选在距AB 0.17千米处时，动力线最短． （四）、课堂练习：复习参考题三A 组1(1)题、（2）题（五）、课堂内容小结：(1)本节知识要点；(2)例题涉及的知识点、难点；(3)三道例题解答所重用的工具．（六）、布置作业：课本复习参考题三A 组第1 (3)、（5）、2（2）、3 五、教学反思：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第三单元 导数及其应用学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．知识点一 在x ＝x 0处的导数1．定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0 ΔyΔx ＝________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线________． 知识点二 导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的__________(简称________)，f ′(x )＝y ′＝____________.知识点三 基本初等函数的导数公式原函数导函数y ＝C (C 为常数) y ′＝________ y ＝x u (u ∈Q *) y ′＝________ y ＝sin x y ′＝________ y ＝cos x y ′＝________ y ＝a x y ′＝________(a >0，a ≠1)y ＝e x y ′＝________y ＝log a x y ′＝________(a >0且a ≠1，x >0)y ＝ln xy ′＝________知识点四 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝________ 积的导数[f (x )·g (x )]′＝____________商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝________________(g (x )≠0)知识点五1．函数的单调性与导数如果在(a ，b )内，________，则f (x )在此区间内单调递增；________，则f (x )在此区间内单调递减．2．函数的极值与导数已知函数y ＝f (x )及其定义域内一点x 0，对于存在一个包含x 0的开区间内的所有点x ，如果都有________，则称函数f (x )在点x 0处取____________，记作y 极大值＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个极大值点；如果都有________，则称函数f (x )在点x 0处取____________，记作y 极小值＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个极小值点． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．知识点六 求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 1．求f (x )在开区间(a ，b )内所有____________．2．计算函数f (x )在极值点和________________，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．类型一 导数几何意义的应用例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一类类型．跟踪训练1 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0. (1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．类型二 函数的单调性与导数 例2 已知函数f (x )＝ax －1ex.(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，求实数a 的取值范围．反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．类型三 函数的极值、最值与导数例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，y ＝f (x )在x ＝－2时有极值． (1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的单调区间和最大值．反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．类型四 分类讨论思想 例4 已知函数f (x )＝ln xx－1.(1)试判断函数f (x )的单调性；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值； (3)试证明：对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋n n.反思与感悟 (1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类． (3)分类讨论的基本原则是不重不漏．跟踪训练4 设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 3－ax (a 为实数)．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >3，试判断f (x )在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1]时，f (x )有最大值1?1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22.2．如果函数f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )3．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．4．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．答案精析知识梳理 知识点一 1． lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx2．斜率 知识点二导函数 导数 li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx知识点三 0 ux u －1cos x －sin x a xln ae x1x ln a 1x知识点四f ′(x )±g ′(x ) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) f ′x g x －f x g ′xg 2x知识点五1．f ′(x )>0 f ′(x )<02．f (x )<f (x 0) 极大值 f (x )>f (x 0) 极小值 知识点六 1．极值点 2．端点的函数值 题型探究例1 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．跟踪训练1 解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．例2 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1ex，∴f ′(x )＝－x ＋2e x. 由f ′(x )>0，得x <2， 由f ′(x )<0，得x >2.故f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，则当x ∈[12，2]时，ax －1e x >x 恒成立，即当x ∈[12，2]时，a >e x＋1x 恒成立．设g (x )＝e x＋1x ，x ∈[12，2]，则g ′(x )＝e x－1x 2，x ∈[12，2]．设h (x )＝e x－1x2，∵h ′(x )＝e x＋2x 3>0在x ∈[12，2]上恒成立，∴h (x )在[12，2]上单调递增，即g ′(x )＝e x－1x 2在[12，2]上单调递增．∵g ′(12)＝e 12－4<0，g ′(2)＝e 2－14>0，∴g ′(x )＝e x－1x 2在[12，2]上有零点m ，∴g (x )＝e x＋1x 在[12，m ]上单调递减，在[m,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >g 12，a >g 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >e ＋2，a >e 2＋12，∴a >e 2＋12.即实数a 的取值范围为(e 2＋12，＋∞)．跟踪训练2 解 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在R 上是增函数， 所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立， 即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0.当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减， 则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3， 所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 即a ＝3符合题意．所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)． 例3 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 故过曲线上P 点的切线方程为y －f (1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)， 已知该切线方程为y ＝3x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，c －a －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，因为y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0， 即－4a ＋b ＝－12， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，－4a ＋b ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝5，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5. (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23. 当x ∈[－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，23)时，f ′(x )<0； 当x ∈(23，1]时，f ′(x )>0. 所以f (x )的单调递增区间为[－3，－2)和(23，1]，单调递减区间为(－2，23)． 又f (－2)＝13，f (23)＝9527，f (－3)＝8，f (1)＝4， 所以f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13.跟踪训练3 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2， 解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.例4 (1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)．由已知f ′(x )＝1－ln x x 2， 令f ′(x )＝0，得1－ln x ＝0，所以x ＝e.因为当0<x <e 时，f ′(x )＝1－ln x x 2>0， 当x >e 时，f ′(x )＝1－ln x x 2<0， 所以函数f (x )在(0，e]上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．(2)解 由(1)知函数f (x )在(0，e]上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，①当0<2m ≤e，即0<m ≤e 2时， f (x )在[m,2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m 2m－1； ②当m ≥e 时，f (x )在[m,2m ]上单调递减．所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1； ③当m <e<2m ，即e 2<m <e 时， 当m ≤x <e 时，f ′(x )>0，当e<x ≤2m 时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (e)＝1e－1. (3)证明 由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f (e)＝1e－1，所以在(0，＋∞)上恒有f (x )＝ln x x －1≤1e－1， 即ln x x ≤1e ，当且仅当x ＝e 时“＝”成立， 所以对∀x ∈(0，＋∞)恒有ln x ≤1ex . 因为1＋n n >0，1＋n n≠e， 所以ln 1＋n n <1e ·1＋n n ⇒ln(1＋n n )e <1＋n n， 即对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋n n恒成立． 跟踪训练4 解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)．∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3＋ax ，即当x ∈(0,1]时，f (x )＝－x 3＋ax .(2)f (x )在(0,1]上单调递增，证明如下： f ′(x )＝－3x 2＋a ，x ∈(0,1]，∴－3x 2∈[－3,0)．又a >3，∴a －3x 2>0，即f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1]上单调递增．(3)当a >3时，f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1＝1.∴a ＝2与a >3矛盾．当0≤a ≤3时，令f ′(x )＝a －3x 2＝0，得x ＝a 3或x ＝－a 3(舍去)． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1上单调递减． 又函数f (x )在x ＝a3处连续，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 33＋a a 3＝1.解得a ＝3274. 当a <0时，f ′(x )＝a －3x 2<0，∴f (x )在(0,1]上单调递减，f (x )在(0,1]上无最大值．综上，存在a ＝3274，使f (x )在(0,1]上有最大值1. 当堂训练1．B [y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x2 ＝1sin x ＋cos x 2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 2．A [由f (x )与f ′(x )的关系可知选A.]3．2解析 设圆柱底面半径为r ，母线长为l .∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r 2， 则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr， 由S ′＝4πr －32πr2＝0，得r ＝2. ∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小．4．3解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，∴a 的最大值为3. 5．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， 则f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝3x ＋1x －12x2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．。

3.1.3 导数的几何意义[学习目标] 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答：设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx. 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx. [预习导引]导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．要点一 已知过曲线上一点求切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3＋3a x ＋Δx －x 3－3ax Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx 3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－322，x 0＝－342∴a ＝1－322. 规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝li m Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程． 解 因为lim Δx →0f ＋Δx －f Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0－1＋Δx ＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0[2x ＋Δx 2－7]－x 2－Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程． 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由y ′|x ＝x 0＝lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)． 由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)倾斜角为135°. 解 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点． 规律方法 解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx . lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0， 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该切点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该切点为(2,9).1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f ＋Δx －f Δx ＝lim Δx →0＋Δx 2－8Δx ＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0＋Δx 2＋a ＋Δx ＋b －b Δx＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30°B．45°C．135°D．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012Δx 2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx 2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P(3,30)．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)． 2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个具体数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．。