【推荐】高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第1章 1.1 1.1.1 四种命题含解析

章末分层突破
[自我校对]
①逆否命题
②必要条件
③p⇔q
④且q
⑤或
⑥全称命题
⑦存在量词
p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
已知a，b，c∈R，写出命题“若ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．【精彩点拨】按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．【规范解答】逆命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0”，是假命题．
如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．
逆否命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．
因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．
[再练一题]。

3．1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为AC ＝11A C ，三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ，AC ，1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51][例1]给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝x OA＋y OB，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为OP、OA、OB共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]③[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB、1AA、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB＋1AA＋AD；③若OP＝12(PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b ＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5，∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可． [精解详析] ∵1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋231AA＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋231AA )＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF ，∴1AC 与AE 、AF 共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC ＝x AE ＋y AF 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示1AC .3．如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B ，1B C ，EF 是共面向量．证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F ＝121B B －1A B ＋1211A D ＝12(1B B ＋BC －1A B＝121B C －1A B . 由向量共面的充要条件知，1A B ，1B C ，EF 是共面向量．法二：连接A1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴1A B ，1B C ，EF 都与平面A 1BD 平行． ∴1A B ，1B C ，EF 是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝k 1AC ，BN ＝k BC (0≤k ≤1)．求证：MN 与向量AB ，1AA 共面．证明： 如图，在封闭四边形MABN 中，MN ＝MA ＋AB ＋BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中，MN ＝1MC ＋1C C ＋CN ②∵AM ＝k 1AC ， ∴AM ＝k (AM ＋1MC )∴(1－k )AM ＝k 1MC ，即(1－k )MA ＋k 1MC ＝0， 同理(1－k )BN ＋k CN ＝0.①×(1－k )＋②×k 得MN ＝(1－k )AB ＋k 1C C ， ∵1C C ＝－1AA ，∴MN ＝(1－k )AB －k 1AA ， 故向量MN 与向量AB ，1AA 共面.[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG ＝x EF ＋y EH 即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可． [精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH . 由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则BD ＝AD －AB ＝c －a .EG ＝EA ＋AG ＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ， HF ＝HA ＋AF ＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD ＝x EG ＋y HF . 即c －a ＝x ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －12c ＝⎝⎛⎭⎫y 2－x 2a ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2b ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2c . ∵a ，b ，c 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD ＝EG －HF .∴BD 、EG 、HF 是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP ＝x MA ＋y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设11C B ＝a ，11C D ＝b ，1C C ＝c ，则1B C ＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以1OD ＝1211B D ＝12(b －a )．因为D 1D 綊C 1C ，所以1D D ＝c ，OD ＝1OD ＋1D D ＝12(b －a )＋c .1OC ＝－12(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，使1B C ＝x OD ＋y 1OC ，所以c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c －y ·12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋x c ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线， 所以x ＝1，12(x ＋y )＝1，且x －y 2＝0，即x ＝1，y ＝1.所以1B C ＝OD ＋1OC ，所以1B C ，OD ，1OC 是共面向量，又因为1B C 不在OD ，1OC 所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE ＝23PM ，PF ＝23PN ，PG ＝23PQ ，PH ＝23PR .∵MNQR 为平行四边形，∴EG ＝PG －PE ＝23PQ －23PM ＝23MQ＝23(MN ＋MR ) ＝23(PN －PM )＋23(PR －PM ) ＝23·⎝⎛⎭⎫32 PF －32 PF ＋23⎝⎛⎭⎫32 PH －32 PF ＝EF ＋EH .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0. 若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP ＝x MA ＋y MB .[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP ＝15OA ＋23OB ＋λOC 确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面， ∴AP ＝αAB ＋βAC ，∴AP ＝α(OB －OA )＋β(OC －OA )， 即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA ＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC ， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF ＝x AB ＋y AD ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.解析：EF ＝AF －AE＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋231DD －AB －131BB＝AD －AB ＋131AA∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB ＝i －2j ＋2k ，BC ＝2i ＋j －3k ，CD ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB 、BC 、CD 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a AB ＋b BC ＋c CD ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：AM ＝OM －OA ＝－23OA ＋13OB ＋13OC＝13(OB －OA )＋13(OC －OA )＝13(AB ＋AC )． 令BC 中点为D ，则AM ＝23AD ，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC .判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面．解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )， 即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ， ∴MA ，MB ，MC 共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，x ＋3y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝7，z ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以FH ＝12(FB ＋FC )＝12(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋DC )＝12(2FE ＋EB ＋ED ＋DC )．因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ， 所以2FE ＋DC ＝0，所以FH ＝12(EB ＋ED )＝12EB ＋12ED .又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED 共面．由于FH 不在平面EDB 内， 所以FH ∥平面EDB。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝12时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

[对应学生用书P72]一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．二、空间向量的数量积由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈a，b〉的大小确定．三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：(1)线线平行．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．(4)线面垂直．用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行．①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直．①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．(1)求两异面直线所成的角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2 ，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]． 故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. (2)求线面角．求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.(3)求二面角．基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n 1，n 2，利用cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|结合图形求得．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 解析：a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5. 答案：52．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u ur ＝0，则△BCD 的形状是________．解析：△BCD 中，BC u u u r ·BD u u u r ＝(AC u u u r －AB u u u r )·(AD u u u r －AB u u u r )＝AB u u u r2＞0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形． 答案：锐角三角形3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵平面α的法向量u ＝(1,3，z )，v 与平面α平行，∴u ⊥v ， ∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0， ∴z ＝3. 答案：34．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB u u u r ，ACu u u r 垂直，则向量a 为__________．解析：设a ＝(x ，y ，z )，AB u u u r＝(－2，－1,3)，AC u u u r ＝(1，－3,2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1)5．已知A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (x,3，y ＋2)，且A 、B 、C 三点共线，则实数x ，y 的值分别为________、________.解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB u u u r ，BC u u ur 也共线．AB u u u r＝(1，－1,3)，BC u u u r ＝(x －2，－1，y ＋1)，∴1x －2＝1＝3y ＋1.∴x ＝3，y ＝2. 答案：3 26．已知向量p 关于基底{a ，b ，c }的坐标为(3,2，－1)，则p 关于基底{2a ，－b ，12c }的坐标是________．解析：由已知得p ＝3a ＋2b －c ， 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c .故p 关于基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 7．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0. ∴m ＝2. 答案：28．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：90°9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ，1)，b ＝(3，－1,2)，则|2a －b |的最大值是________． 解析：因为2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1,0)， 所以|2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8sin (θ－π3)≤4.答案：410．平面α的法向量为u ＝(－1，－2，－1)，平面β的法向量为v ＝(2,4,2)，则不重合的平面α与平面β的位置关系为________．解析：∵v ＝－2(－1，－2，－1)＝－2u ， ∴v ∥u ，∴α∥β. 答案：平行11．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝ 13，则二面角A －CD －B 的大小为________．解析：如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13.且〈EA u u u r ，FB u u u r〉为二面角的平面角，由AB u u u r 2＝(AE u u u r ＋EF u u u r ＋FB u u u r )2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE u u u r ，FB u u u r〉， ∴cos 〈EA u u u r ，FB u u u r 〉＝－12，∴〈EA u u u r ，FB u u u r〉＝120°.即所求的二面角为120°. 答案：120°12.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB u u u r ，AC u u ur ，AD u u u r }为基底，则GE u u u r＝________.解析：GE u u u r ＝AE u u u r －AG u u u r＝AD u u u r ＋DE u u u r －23AM u u u u r＝AD u u u r ＋14DB u u u r －13(AB u u u r ＋AC u u ur )＝AD u u u r ＋14AB u u u r －14AD u u u r －13AB u u u r －13AC u u ur＝－112AB u u ur －13AC u u u r ＋34AD u u u r .答案：－112AB u u ur －13AC u u u r ＋34AD u u u r13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 解析：以D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，则1BB u u u u r＝(0,0,1)．∵B 1D ⊥平面ACD 1，∴1DB u u u u r＝(1,1,1)为平面ACD 1的法向量．设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|1BB u u u u r ·DB u u u r 1||1BB u u u u r ||1B D u u u u r |＝13＝33， ∴cos θ＝63. 答案：6314．已知OA u u u r ＝(1,2,3)，OB u u u r ＝(2,1,2)，OP u u u r＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA u u u r ·QB u u u r 取得最小值时，点Q 的坐标为________．解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA u u u r＝(1－x,2－x,3－2x )， QB u u u r＝(2－x,1－x,2－2x )． ∴QA u u u r ·QB u u u r＝6x 2－16x ＋10， ∴x ＝43时，QA u u u r ·QB u u u r 最小，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA 'u u ur ＋BC u u u r ＋23AB u u u r ，并在图中标出其结果；(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN u u u u r ＝αAB u u u r ＋βAD u u u r ＋γAA 'u u u r，试求α、β、γ的值．解：(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ， 使GH ＝23DC ，连接AH ，则AH u u u r ＝12AA 'u u u r ＋BC u u u r ＋23AB u u u r.AH u u u r如图所示．(2)MN u u u u r ＝MB u u u r ＋BN u u u r ＝12DB u u ur ＋34BC 'u u u u r ＝12(AB u u ur －AD u u u r )＋34(AA 'u u u r ＋AD u u u r ) ＝12AB u u ur ＋14AD u u u r ＋34AA 'u u u r . ∴α＝12，β＝14，γ＝34.16．(本小题满分14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB u u u r ，b ＝AC u u u r .(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB u u u r＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC u u u r＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.17．(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1；(2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于1BC u u u u r ＝(0，－2，－2)，1AB u u u u r＝(－2,2，－2)， ∴1BC u u u u r ·1AB u u u u r＝0－4＋4＝0， 即1BC u u u u r ⊥1AB u u u u r，故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED u u u r＝(0,1,1)，又1BC u u u u r ＝(0，－2，－2)， ∴ED u u u r ＝－121BC uu u u r ，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .18．(本小题满分16分)正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点， 得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF u u u r＝(1，3，0)，DE u u u r ＝(0，3，1)，DA u u u r＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA u u u r＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF u u u r ·n ＝0， DE u u u r·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0， 取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA u u u r ，n 〉＝DA u u u r·n | DA u u u r ||n |＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，则AP u u u r ·DE u u ur ＝3t －2＝0，∴t ＝233，又BP u u u r＝(s －2，t,0)，PC u u u r ＝(－s,23－t,0)，∵BP u u u r ∥PC u u ur ，∴(s －2)(23－t )＝－st ，∴3s ＋t ＝2 3.把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP u u u r ＝13·BC u u u r ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时BP BC ＝13.19．(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，且CD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BCDE . (2)如图，以C 为坐标原点， CB 、CD 、CA 1为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)， M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·1A B u u u u r ＝0，n ·BE u u u r ＝0. 又1A B u u u u r＝(3，0，－23)，BE ＝(－1,2,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3.所以n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM u u u r＝(0,1，3)所以sin θ＝|cos 〈n ，CM u u u r 〉|＝|n ·CM u u u r |n ||CM u u u r ||＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·1A D u u u u r ＝0，m ·DP u u u r ＝0.又1A D u u u u r ＝(0，2，－23)，DP u u u r ＝(p ，－2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0. 令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3.所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．20．(山东高考)(本小题满分16分) 如图所示，在三棱锥P －ABQ中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ u u u r ＝(－1,2，－1)，FQ u u u r ＝(0,2，－1)，DP u u u r ＝(－1，－1，2)，CP u u u r ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ u u u r ＝0，m ·FQ u u u r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP u u u r ＝0，n ·CP u u u r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45. 因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.。

1 p q r1pq2pq 口IBp qp qp q pq p1p qpq2p qpq3pp新抽t 碑w///1.2甲高中数学p , q 联结起来，就得到新命题，“p 或q ”、“ p 且q ”、"非p ”.“ p 或 q ” 记作"p V q ” ; “ p 且q ”记作"p 人q ”； “非p ”记作“綈p ”.2. 一般地，“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示: ⑴命题p 且q 的真假性：⑵命题p 或q 的真假性:(3)p 与綈p 的真假性:［归纳-升华*领悟1命题“ p A q ”的真假，概括为同真为真，有假为假；命题“ p V q ”的真假，概括为同假为假，有真为真；命题 p 与“綈p ”的真假相反.第一课时 “且” “或” “非”［对应学生用书P8］45P(x y)1 (1) 2⑵ ⑶ ⑷2(5)2x x1 0(1)p qp 2 q 2⑵ p q p q⑶ p q pq⑷ pqpq⑸pp22x x 12(1)2(2)x 3x4 o 4 1⑶ a?A.[1](1)x 2 3 0 xy<0P(x y)q.45](1) 45xy<0P(x y)xy<045(1)p q p q⑵p q p x2 3x 4 0 4 qX2—3x—4= 0的一个根是1.⑶这个命题是“綈p”的形式，其中p: a€ A.［例2］写出由下列各组命题构成的“ p且q” “ p或q”和“非p”形式的命题：(1) p：6是自然数；q : 6是偶数；(2) p：?? {0} ；q：?= {0}；(3) p：甲是运动员；q：甲是教练员.［思路点拨］根据p, q语句上的要求，正确使用联结词，写成三种形式.［精解详析］(1)p且q：6是自然数且是偶数.p或q：6是自然数或是偶数.非p: 6不是自然数.(2) p 且q : ?? {0}且？= {0}.p 或q：?? {0}或？= {0}.非p: ?也{0}.(3) p且q :甲是运动员且是教练员.p或q：甲是运动员或是教练员.非p :甲不是运动员.［一点通］用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别，选择合适的联结词. 有时，为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形.勿％捷値*制""3. 分别写出由下列命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的命题.(1) p:梯形有一组对边平行，q :梯形有一组对边相等；(2) p：—1 是方程x2+ 4x+ 3= 0 的解，q：—3是方程x2+ 4x+ 3 = 0 的解.解：(1)p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等. p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.非p :梯形没有一组对边平行.(2)p且q :—1与—3是方程x2+ 4x+ 3 = 0的解.p或q：—1或—3是方程x2+ 4x+ 3= 0的解.非p: —1不是方程x2+ 4x+ 3 = 0的解.4. 写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命题：(1) p：2 014是正数，q：2 014是负整数；(2) p：1是方程x2+ 2x—3= 0的根，q : 1是质数. 高中数学(1) p q2 0142 014p q2 0142 014p2 014⑵Pq1 x2 2x3 0p q1x 2 2x 3 0 p1 x2 2x 3[3](1)p ycos x(2)p 2 3⑶P 8>7.[][] (1)p y cosxpp⑵ p23pp⑶ p 8 7.pp [ ]()高中数学5 •写出下列命题的否定，并判断真假： (1) p ： y = tan x 的定义域是R ; (2) p ： 1,2,3至少有一个是奇数； (3) p ： 1,2,3至多有一个是奇数. 解：⑴綈p ： y = tan x 的定义域不是 R . 由于命题p 是假命题，所以 綈p 是真命题.⑵綈p : 1,2,3都不是奇数.由于命题p 是真命题，所以 綈p 是假命题. (3)綈p : 1,2,3至少有两个是奇数.由于命题p 是假命题，所以 綈p 是真命题. 6.写出下列命题的否定：(1) △ ABC 是直角三角形或等腰三角形； (2) 4,5都是方程x 2— 5x + 4= 0的根； (3) 他是数学家或物理学家； (4) 他既是班干部又是学生会干部.解：(1) △ ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形. (2) 4,5不都是方程x 2— 5x + 4= 0的根. (3) 他既不是数学家也不是物理学家. (4) 他不是班干部或他不是学生会干部.［方法*规律■小结］ ---------------------------- '1. 正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能 都选，而逻辑联结词中的“或”表示两个中至少选一个.2. 命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论，要注意区别.1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是 —课下训练经典化.贵在匏类旁通YINGYONG［对应课时跟踪训练(三)］解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式.p q2p qp q3p 6 12q 624p q __________p ____________6 12 24 6 124 1 3 883 81 3 85 (1)p qApBq pA B(2)A B A B(3)?u A u A(1)A B A Bp q⑵A B p q (3)A p.(1)p q(2)p q (3)p6(1)1234(2)31215(1)p q p123q 124(2)p q p 312q 3 157p 2 x40q x240p q p q pp q 2 x4op q 2x40p x2 4 0&写出下列各命题的否定形式及否命题：24 6 12高中数学(1) 面积相等的三角形是全等三角形；(2) 若m2+ n2+ a2+ b2= 0，则实数m, n, a, b 全为零；(3) 若xy= 0,则x= 0 或y= 0.解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形.⑵否定形式：若m2+ n2+ a2+ b2= 0,则实数m, n, a, b不全为零；否命题：若m2+ n2+ a2+ b2^ 0,则实数m, n, a, b不全为零.(3)否定形式：若xy= 0,贝U X M 0且y丰0；否命题：若xy M 0,贝y x M 0且y M 0.。

第二课时含逻辑联结词的命题的真假判断[对应学生用书P10]含逻辑联结词的命题的真假判断[例1]分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．q：不等式x2＋x＋2<0无解；(3)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；(2)判断其中简单命题p，q的真假；(3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．解：p q p或q p且q(1)真假真假(2)假真真假(3) 真 真 真 真 (4)真假真假2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假： (1)全等三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：全等三角形周长相等，q ：全等三角形对应角相等，因为p 真q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真． (3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真.含有逻辑联结词的命题的综合应用[例2] 已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[思路点拨] 由p 或q 为真，p 且q 为假，可判断p 和q 一真一假，进而求m 的范围． [精解详析] 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m 2≤－1，解得m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3. 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <2，1<m <3，得1<m <2.综上可知，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}． [一点通]1．含有逻辑联结词的命题p ∧q 、p ∨q 的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假也可以判断命题p 、q 的真假．2．解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p ∧q 、p ∨q 的命题p 、q 成立时参数需满足的条件； (2)其次根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判定命题p 、q 的真假； (3)根据p 、q 的真假求出参数的取值范围．3．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：由Δ＝4a 2－16<0，得－2<a <2， 故命题p ：－2<a <2. 由5－2a >1，得a <2， 故命题q ：a <2.若p 或q 为真，p 且q 为假，则①p 真，q 假．则由⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，得a ∈∅.②p 假，q 真.⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，∴a <－2.综上可知，符合条件的a 的取值范围为(－∞，－2)4．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.(1)若p 为真且q 为假，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，则a ∈(0,1)∩⎣⎡⎦⎤12，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 为假且q 为真，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，则a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p ，q 的真假，p ，q 的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．2．相关结论：使“p 或q ”为真的参数范围为使命题p ，q 分别为真的参数范围的并集，使“p 且q ”为真的参数范围为使命题p 、q 分别为真的参数范围的交集．[对应课时跟踪训练(四)]1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________． ①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题．答案：①②③2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．答案：②3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x－b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．答案：非p4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q .解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．答案：③④5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)， q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)． 解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数； p 且q ：5是有理数且5是整数； 非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3. 所以p ：1<x <3. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0， x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔ x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 由(1)知q ：2<x ≤3， 设B ＝{x |2<x ≤3}． 由于q ⇒綈p ，所以BA ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ∨q 为真命题；(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． 解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0， 即a ＞13或a ＜－1.①命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.②(1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13；∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13.(2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12.∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。

§1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假． (1)这幅画真漂亮！ (2)求证3是无理数； (3)菱形是平行四边形吗？ (4)等腰三角形的两底角相等； (5)x ＞2012；(6)若x 2＝20122，则x ＝2012.答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假． 梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题． (2)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的构成形式1．命题的一般形式为“若p 则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三四种命题及其关系思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理(1)四种命题的概念(2)四种命题间的关系(3)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×) 4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 ①②③解析 依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究1．本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？ 解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1＞0.解(1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．类型二四种命题的关系及真假判断命题角度1四种命题的写法例3把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练3写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2四种命题的真假判断例4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练4下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－14<0.故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．故为真命题．所以真命题是②③.类型三等价命题的应用例5证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练5证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的为________．(填序号)答案①②③解析依据命题的定义知只有①②③为命题．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．考点四种命题的概念题点按要求写出命题答案若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤14．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假．解 (1)命题p 的否命题为“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题． 判断如下： 因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c >0有解， 所以该命题是真命题．1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p 则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p 则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p 经逻辑推理得出q ，则命题“若p 则q ”为真；确定“若p 则q ”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、填空题 1．给出下列命题 ①若a >b ，则a 3>b 3； ②若a >1，则1a<1；③一元二次方程x 2－x ＋1＝0无实数解； ④若a ≥b ，则ac 2≥bc 2.其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①②③④解析 显然①成立，②成立；而对于③：判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：结合不等式性质，可知该命题为真命题． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π43．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x ，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |＋|y |≠0；③当c ＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直． 4．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题； ③“若m ＞1，则不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ”的逆否命题． 其中所有真命题的序号是________． 答案 ①③解析 ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m ＞1时，Δ＝4－4m ＜0恒成立，x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 由已知得若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 6．命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________． 考点 命题的定义及分类题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 由题意可知，满足条件时，需方程x 2－mx ＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m )2－4×4≥0，解得m ≤－4或m ≥4.7．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点 四种命题的概念题点 按要求写命题答案 当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数．8．已知命题“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”为真命题，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．9．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0，解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1，解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2. 故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．10．命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．答案 4解析 逆命题：对于正数a ，若lg a ＞0，则a ＞1，否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．二、解答题11．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵当ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．12．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p ，q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围．解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 若命题p ，q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形：①p 真q 假；②p 假q 真；③p 真q 真．当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，0<x <4，解得0<x <3. 当p 真q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4. 综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞)．13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0，得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12， 又m ＞－12，所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3. 由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”， 显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0， 那么m ＋32m －1＞0”， 即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题． 否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0， 那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧ m ＞－12，－3≤m ＜12， 所以－12＜m ＜12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3， 即－12＜m ≤2或m ≥3， 所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12， 那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么m ＋32m －1≤0”， 则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3， 那么－12＜m ＜12”，它是假命题．。

1.1命题及其关系1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必要条件1．符号⇒与的含义2.pqq p思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．(4)“sin α>sin β”是“α>β”的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．]不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.[思路探究]判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断綈q是綈p的什么条件．[解](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab ＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④B．①②③C．①②③④D．①②④D[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]A．0<x<4 B．0<x<2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy<0. 因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0.所以1x <1y 的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －x xy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[1．若集合A B，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？[提示]因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？[提示]当A B且B A时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示]当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路探究] p 是q 的充分不必要条件→p 代表的集合是q 代表的集合的真子集→ 列不等式组求解{m |m ≥9}(或[9，＋∞)) [由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且pq . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10} 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5 即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p 、q 两命题，2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，3．利用集合间的关系建立不等关系，4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q ⇒綈p 即可；同理要证q ⇒p ，只需证綈p ⇒綈q 即可．(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果p 是q 的充分条件，那么命题“若p 则q ”为真．( )(2)命题“若p 则q ”为假，记作“q ⇒p ”．( )(3)若p 是q 的充分条件，则p 是唯一的．( )(4)若“p q ”，则q 不是p 的充分条件，p 不是q 的必要条件．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．(－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1，由已知条件，知{x |x ＜m }{x |x ＞2或x ＜1}， ∴m ≤1.]4．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0， 所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。