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张禾瑞高等代数第四章课件

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高等代数第4章矩阵1,2,3节

高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A

山东大学数学专题高等代数部分第四章第一讲PPT

山东大学数学专题高等代数部分第四章第一讲PPT

y1 = 0 L y =0 其中 C ≠ 0，考虑方程组 p ，若p < k，因上述方程组有n个未知数，少于n个方程， x k +1 = 0 L xn = 0
0 L k 0LL 故它必有非零解(x1 , ,x 0 , , , 0)T . 0 L k 0LL 由已知条件f(x1 , ,x 0 , , , 0)=0,即
第四章： 第四章：二次型
本章主要介绍二次型的标准形，正定二 本章主要介绍二次型的标准形， 次型的特征。以及二次型的不变量等， 次型的特征。以及二次型的不变量等，会 将二次型转化为标准形。 将二次型转化为标准形。
第一讲 二次型的标准形
一 、重要公式和结论
1. 二次型： f ( X ) = ∑ aij xi x j = X ′AX , 其中
y p+1 = 0, ,y n = 0,由方程组知y1 = L = y p = 0，即Y=C-1X = 0有非零解, 这与 C ≠ 0矛盾. L 故p ≥ k,下面我们证明p ≤ n-k,否则p>n-k，考虑方程组 y p+1 = 0 L yn = 0 x k +1 = 0 L xn = 0 5.
-1
设λ为A+B的任一特征值,则λ -(a1 + b1 )是A+B-(a1 + b1 )I的特征值，故 λ -(a1 + b1 ) ≥ 0 即 λ ≥ a1 + b1，特别 λ1 ≥ a1 + b1 同理可证 λn ≤ a n + b n 6. AX是 0,f(β f(X)= X′AX是不定二次型，存在α, 使f(α)> 0,f(β)< 0. β β 0,且u,v线 证明：存在与α, 线性相关的u,v使f(u)= f(v)= 0,且u,v线性无关. u,v使

高等代数电子教案(Ⅲ)

高等代数电子教案(Ⅲ)

进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值，并且
7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,

设 L(v), σ的负变换－σ指的是V到V的映射 : ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4） ( )
线性变换的数乘满足下列算律：
(5) (6) (7) (8)
k ( ) k k , (k l ) k l , (kl) k (l ), 1 ,
f x 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f x Ca,b, 规定
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.

高等代数ppt课件

高等代数ppt课件
1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因 式；
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式

高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2

高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2
0 a12 a12 0 a1n a2n
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.

高等代数第四章 矩阵PPT

高等代数第四章 矩阵PPT

矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25

高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编(第4版)


☆集合的表示方法：
描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝
列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝ 例1 M {( x , y ) x 2 y 2 4, x , y R} 例2 N＝ {0,1,2,3,
}， 2Z＝ {0, 2, 4, 6, }
1 , x R ，问： x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆． 解：1）g是R＋到自身的双射． 1 1 ∵ x, y R ，若 ，则 x y ，g是单射． x y 1 1 并且x R , 有 R , 使g ( ) x ，即g是满射． x x 1 1 又∵ f g ( x) f ( g ( x)) f ( ) ， x x 1 f g I f f． ∴ R ， g不是 f 的逆映射． 事实上， 2）g是可逆映射． g 1 g
则 是R到R＋的一个映射.
x y
2x
x y 2 1, x y ， ∴ 是单射． ，则 ∵若 2 2

，使 又对a R ，存在 x log a 2 R
(log ) 2
a 2
loga 2
a
∴ 是满射．
故 是1—1对应．
2、令 f : x
x, g : x
3、设映射 f : A B, g : B C ,令 h g f ，证明： 1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射； 2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且
本课程的意义、内容及学习要求
高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内

高等代数第4章多项式4.6重因式与重根ppt课件

x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
pk1 x k24/4/1
高等代数
p x p x g x, 从而 px kpx g x px gx,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
r 53
2024/4/1
高等代数
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
2024/4/1
高等代数
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
2024/4/1

高等代数与解析几何第4章全部课件


JJJJJJJG G G M1M 2 , v1, v2
异面,即
x2 − x1 X1 X 2
∆ = y2 − y1 Y1 Y2 ≠ 0
(2) L1与
L2
z2 − z1 Z1 Z2
相交的充分必要条件是向量
JJJJJJJG G G M1M 2 , v1, v2
共面,且
G v1
与
G v2
不平行,即
x2 − x1 X1 X 2
(3.3)
就表示一条直线 L(这两个平面的交线),称之为直线
的一般方程.这时,直线 L的一个方向向量为
G v
=
(
B1
C1 , C1
A1 , A1
B1 )
B2 C2 C2 A2 A2 B2
例3.4 已知一条直线的一般方程为
⎧x + 2y + 3z − 6 = 0 ⎨⎩2x + 3y − 6z −1 = 0
R3 的子集
空间中点轨迹ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程组（1）的图象
2．对空间平面的描述
平面的一般方程
命题1.1 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B,C不全为零)
的图象是空间中的平面。反之，任何平面都是 某个一次方程的图象。
平面的三点式方程
通过三个不共面的点
M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3, y3, z3 )
Π2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
定义这两个平面的夹角为它们的法向量 n1 = ( A1, B1,C1) 与 n2 = (A2, B2,C2 ) 之间的夹角(通常指锐角), 设这两平面 的夹角为 θ ,则

《高等代数》第四章 线性方程组


z2
，它们之间的关系分别为 设某地区有甲、乙、丙三个工厂,
每个工厂都
生产Ⅰ、Ⅱx1、Ⅲa1、1 yⅣ1 4a种12 产y2品.a已13知y3每,个工厂的年
产量产(单品位xx:23个Ⅰ)aa如3211下yy11表Ⅱ所aa32示22 yy:22
a23 y3 Ⅲa33 y3
, ,
证明 只证结合律
设 A = ( aij )sn , B = ( bjk )nm , C = ( ckl )mr , 下面我们证明
( AB ) C = A ( BC ) .
令
V = AB = ( vik )sm , W = BC = ( wjl )nr ,
其中
n
vik aijbjk (i 1,2, , s ; k 1,2, , m) , j 1
2 1
42 23
46


16 8
1362 ,
BA


2 3
46
2 1
4 2



0 0
00 .
例 4 线性方程组的矩阵形式，设有方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 a22


as1
as2

a1n
a2n

asn

称为矩阵 A 的负矩阵，记为 -A .
3. 运算规律
1) 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; 2) 交换律 A + B = B + A； 3) 零矩阵的运算
X


xxn2 ,
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惠州学院数学系
显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于 对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简 线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵 来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.
惠州学院数系
前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种 方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系 数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性 方程组：
（1）
在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.
惠州学院数学系
例1 解线性方程组：
（2）
1 1 x1 x 2 x3 1, 2 3 5 x1 x 2 3 x3 3, 3 4 2 x1 x 2 5 x3 2. 3
（6）
这里 r o, r m, r n, * 表示矩阵的元素，但 不同位置上的 * 表示的元素未必相同. 证 若是矩阵A的元素 a ij都等于零，那么A 已有（5）的形式
惠州学院数学系
设某一 a ij 不等于零，必要时交换矩阵的行和 列，可以使这个元素位在矩阵的左上角. 1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 a ij 当倍数，矩阵A化为
惠州学院数学系
4.1.3用消元法解线性方程组
考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2， 我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变 换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同 样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：
1 0 0 0 0 0 1 0 0 c1,r 1 c1n c2 n crn 0 0 0 c2,r 1 1 cr ,r 1 d1 d2 dr d r 1 dm
这时方程组（8）无解，因为它的后m – r 个方程中 至少有一个无解. 因此方程组（1）也无解.
惠州学院数学系
情形2， r m 或r m 而d r 1 ,, d m
全为零，这时方程组（8）方程组
xi1 c1, r 1 xir 1 c1n xin d1
(9)
xi2 c2, r 1 xir 1 c2 n xin d 2 xir cr , r 1 xir 1 crn xin d r
同解. 当r = n 时，方程组（9）有唯一解，就是
xit d t , t 1,2,, n
这也是方程组（1）的唯一解.
惠州学院数学系
当r < n 时，方程组（9）可以改写成
xi1 d1 c1, r 1 xir 1 c1n xin
(10)
xi2 d 2 c2, r 1 xir 1 c2 n xin xir d r cr , r 1 xir 1 crn xin
惠州学院数学系
（4）
b1 b2 bm
4.1.2矩阵的初等变换
定义1 由st个数 c ij 排成一个s行t 列的表
c11 c 21 c s1 c12 c 22 cs 2 a1t c 2t c st
1 * * * 0 0 1 *
(5)
惠州学院数学系
进而化为以下形式，
1 0 0 0 0 0 0 0 c1,r 1 c2,r 1 cr ,r 1 1 0 0 0 0 1 c1n c2 n crn 0 0
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的 目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个 线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方 便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即 允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于 交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研 究.
a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：
a11 a 21 A a m1
惠州学院数学系
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：
1 r行 0 0 0 0 * * * * * * * 0 0 0
惠州学院数学系
线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
（3）
而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，
c ij叫做这个矩阵的元素.
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全 不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一 个矩阵仅仅是一个表.
惠州学院数学系
矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组. 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换： 1) 交换矩阵的两行（列） 2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素； 3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.
惠州学院数学系
这里 i1 , i2 ,, in 是1，2，…，n 的一个全排列. 由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初 等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理 4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要 解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8） 是否有解以及有怎样的解都容易看出. 情形1， r m, 而d r 1 ,, d m 不全为零，
(7)
惠州学院数学系
与（7）相当的线性方程组是
xi 1 xi 2 c1,r 1 xir 1 c1n xin d1 c2,r 1 xir 1 c2 n xin d 2
（8）
xi r cr ,r 1 xir 1 crn xin d r 0 d r 1 0 dm
这也是（1）的一个解. 由于
kir 1 , , kin
可以任意选取，用这一方法可以得到（1）的无穷 多解. 另一方面，由于（9）的任一解都必须满足 （10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解 都可以用以上方法得出. 我们把未知量 xi , , xi
r 1
惠州学院数学系
n
叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解.
惠州学院数学系
在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵
1 2 1 2 1 3 5 3 4 3 1 3 5
先化为
1 0 0
5 3 1 0
3 1 1
然后，进一步化为
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x3 2 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：
x1 4 x2 3 x3 2
这样我们就求出方程组的解
惠州学院数学系
.
4.1.1
线性方程组的初等变换
线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换： ①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 这三种变换叫作线性方程组的初等变换. 定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组
于是，给予未知量
xir 1 ,, xin 以任意一组数值
kir 1 , , kin ，就得到（9）的一个解：
惠州学院数学系
xi1 d1 c1, r 1kir 1 c1n kin xir d r cr , r 1kir 1 crn xin xir 1 kir 1 xin kin
惠州学院数学系
解：对增广矩阵
1 7 5 1 2 4 2 1 2 1 1 3 6 5 0
施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含 的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由 第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行换到第一行的位置，得
第四章
4.1 消元法 4.2 矩阵的秩
线性方程组
线性方程组可解的判别法
4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式
伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都
把理论和应用视为同等重要而紧密相关。
——克莱因（Klein F，1849－1925）
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4.1 消元法
1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法
从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2 倍，来消去这两个方程中的未知量
x1 (即把x1的系数化为零)
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得到：
为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得： 5
1 1 1 x1 x3 2 2 2 5 x1 x 2 3 x3 3 3 2 x 2 x3 4
1 * * 0 * * B 0 * * 若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
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那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为