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第四章连续时间系统的频域分析

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信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案

信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案

） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s

04四章 连续时间信号与系统的S域分析

04四章 连续时间信号与系统的S域分析

相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st



( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s

三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =

通信原理第四章word版

通信原理第四章word版

第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。

连续时间系统的频域分析-资料

连续时间系统的频域分析-资料
对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性 相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号 的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离散 时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实 现，其含义也不再是原始信号的简单移位。
傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt
设
E H R
若e(t) E(), 或E(j)
第
7
页
二维傅里叶变换的模
模相同，相位为零
模为1，相位相同
第
8
页
相位相同，模为（g）图的
（g）图
4.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1.
求 稳 v2 (t)态 响 应
解：
V 1 ( j) j π ( 0 ) ( 奇函0 ) 数
V 2 (j) H (j)V 1 (j)
偶函数
H () j e j ( ) j π ( 0 ) ( 0 )
所 V 2 ( j ) H ( j 0 ) 以 j π ( 0 ) e j ( 0 ) ( 0 ) e j ( 0 )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
原图像 傅里叶变换的相位
第四章 连续时间系统频域分析 齐开悦

第4章 连续信号与系统的复频域分析


式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。

《信号与系统》第四章


图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt

信号与系统第四章-连续信号复频域分析


j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )




f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]



f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt


它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。

信号与系统自测题（第4章连续时间信号与系统的复频域分析）含答案

《信号与系统信号与系统》》自测题第4章 连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性，对于稳定系统，在s 平面其极点位于 左半开平面（不含虚轴） 。

2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的 左半开平面（不含虚轴） 。

3、()H s 的零点和极点中仅 极点 决定了()h t 的函数形式。

4、()H s 是不 随系统的输入信号的变化而变换。

5、已知某系统的系统函数为()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的 极点 。

6、如下图所示系统，若221()2()()22U s H s U s s s ==++，则L = 2 H ，C =14F 。

注：2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =，则该信号的拉普拉斯变换是32s。

注：1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =，则()F s =13s −。

9、431s s ++的零点个数是 0 ，极点个数是 4 。

10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有 部分分式分解法 、 留数法 。

1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +，则()f t =23()t e u t −。

12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++，则原函数()f t 的初值为 1 ，终值为 0 。

注：6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++，则原函数()f t 的初值为 2 ，终值为 0 。

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[( j)n ... a1 j a0 ]R( j) [bm ( j)n ... b1 j b0 ]E( j)
R( j ) E ( j ) H ( j )
(2)频域中信号的频谱有明确的物理意义，对了解信号传递过程中是否有 失真情况很有用。
徐州师范大学物理系
E( j)
H ( j )
R( j ) E ( j ) H ( j )
徐州师范大学物理系
二、系统函数H(jw)的求法 1、由系统方程求出H(jw) 2、由系统的转移算子 H ( j ) H ( p) 3、由系统的单位冲激响应h(t)求
h(t ) H ( j )
p j
4、由电路模型求H(jw) 5、用实验方法求
徐州师范大学物理系
例：一个因果LTI系统的输出r(t)和输入e(t)由下列微分方程相联系：
dr(t ) 解： 10r (t ) e(t ) * z (t ) e(t ) 式中z (t ) e (t ) 3 (t ) dt ( j 10) R( j ) E ( j ) Z ( j ) E ( j ) 1、求系统的系统函数H(jw) 2、求系统的冲激响应h(t) H ( j ) R( j ) Z ( j ) 1 E ( j ) 10 j 1 Z ( j ) 3 1 j 1 2 2 1 1 j H ( j ) 10 j 10 j (10 j )(1 j ) 2 1/ 9 1/ 9 1/ 9 17 / 9 10 j 1 j 10 j 1 j 10 j
t
dr(t ) 10r (t ) e( ) z (t )d e(t ) dt

h(t ) 1 / 9e t (t ) 17 / 9e 10t (t ) 徐州师范大学物理系
例：已知系统的冲激响 h(t ) 应 求系统的输出 (t )。 r
徐州师范大学物理系
LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应 本章只研究零状态响应。 1.时域分析法
e(t )
t
h(t)
r (t ) e(t ) * h(t )
e(t ) e t d 即将 e(t ) 分解为无限个 (t )之叠加。
0
r (t ) h(t ) e(t ) h e t d



R j e d
jt



0
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。 总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法 都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。
徐州师范大学物理系
4.2非正弦周期信号通过线性系统的稳态响应
i t

R,
1 jc
, jL阻抗
I j
R
e(t )

u o (t )

C

E( j)

R
1 j C

C
U 0( j)
时域电路模型 （RC低通网络） 徐州师范大学物理系
频域电路模型
例1：已知 e(t ) 2 t t ，求零状态响应 u 0 t 。 i t I j

sin 4t sin 5t 2 cos1000 , 输入信号e(t ) t 2 cos997t t t
解：G (t ) Sa( ), 8 2 8Sa(4t ) 2G8 ( ) sin 4t 2G8 ( ) t sin 4t G8 ( ) t sin 4t 2 cos1000 G8 ( 1000) G8 ( 1000 t ) t sin 5t 同理 2 cos997t G10 ( 997) G10 ( 997) t R ( j ) H ( j ) E ( j ) 2 G6 ( 999) G6 ( 999) sin 3t 2 cos999t G6 ( 999) G6 ( 999) t sin 3t r (t ) 2 cos999t 徐州师范大学物理系 t
徐州师范大学物理系
例题说明
1
e t
R C
2
H j
1 1 RC
2
1 2 2
uo t
2
1
E
e t
O E

E j 2 Sa 2

O

uo t
t
O

E
O

t
O

徐州师范大学物理系
结论
T T
1 1 定义P p(t )dt u (t )i(t )dt T0 T0
u (t ) U m cos(t u ) 正弦信号 i (t ) I m cos(t i ) UmIm P cos(u i ) 2
徐州师范大学物理系
u(t ) U0 U m1 cos(1t u1 ) U m2 cos(1t u 2 ) ... U mn cos(1t un ) ...
从以上分析可以看出，利用 H j 从频谱改变的观点 解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立 叶逆变换得过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作 用用于具体电路的响应时，用 H j 更方便，很少利 用 H S 。 这章引出 H j的重要意义在于研究信号传输的基本特 性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。
t 1 2 利用e (t ) 。得 2e RC (t ) 1 j j RC t 1 2 ( t ) j j e (t ) e 。得 e 2e RC (t ) 1 j j RC t 故u 0(t )＝2 (t ) (t ) 2 1 e RC (t ) t 1
A0 A0 0 0 2 有效值＝ 2 I H ( j ) H ( j ) arctgb/ a
1
A0 cos(t 0 )
A0 2 0 arctgb/ a H ( j )
A0 cos(t 0 arctgb/ a) H ( j ) A A0 电源的输出功率 U 0 I 0 0 P cos(u i ) 2 2 H ( j ) i(t )
称为系统函数（或传递函数）
此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z域 分析法等都是属于变换域分析法。
徐州师范大学物理系
1 e(t ) 2
1 r (t ) 2



E j e d
jt

1
1

0
| E j | cos[t ]d
H j E ( j )e jt d
信号作用于系统的响应分为两部分，一部分由初始状态引起的响应，随时间 增加呈指数衰减，一部分由输入激励引起的响应，周期信号有无穷多个周期， 为无始无终信号，随着时间趋向于无穷大，响应趋于一个稳定变换即稳态响应
复习电路分析正弦稳态分析法
1 H ( j ) jl R R j (l ) jc c
（3）当系统内部结构不详，系统函数无法求得时，可以利用实验手段测出H(jw) 变化规律。 缺点: (1)增加了两次傅立叶变换。
e(t )
h(t)
r (t ) e(t ) * h(t )
E( j)
H ( j )
R( j ) E ( j ) H ( j )
（2）傅立叶变换存在对e(t)有约束：要求e(t)的绝对可积性。

R
e(t )

u o (t )

C

E( j)

R
1 j C

C
U 0( j)
时域电路模型 （RC低通网络）
频域电路模型
徐州师范大学物理系
解：
j 2 1 求F e(t ) E ( j ) 1 e j 2 Sa e 2 j 2 1 1 j c ，电压传输比 2 求系统函数H ( j ) 1 1 j Rc R j c
t 0
即零状态响应分解为所有被激励加权的 h(t ) 之叠加。 时域方法缺点：计算复杂。
徐州师范大学物理系
2.频域分析方法（是变换域分析法的一种）
E( j)
H ( j )
R( j ) E ( j ) H ( j )
r(t ) h(t ) e(t ) 由时域卷积定理知：
F [r (t )] F [h(t ) e(t )] F [h(t )] F [e(t )] 即 R( j ) H j E j R j H j E j
时域：rzs (t ) e(t ) * h(t )卷积法 响应的求解方法不同
三、频域分析的优缺点
频域：R( j ) E ( j ) H ( j )
优点： （1）将时域中的微分方程转换成关于w的代数方程，简化计算
d n r (t ) d n1r (t ) dr(t ) d m e(t ) d m1e(t ) de(t ) an1 .... a1 a0 r (t ) bm bm1 ... b1 b0e(t ) n n1 m m1 dt dt dt dt dt dt
i(t ) I 0 I m1 cos(1t i1 ) I m2 cos(1t i 2 ) ... I mn cos(1t in ) ...
1 P U 0 I 0 U m1 I m1 cos( u1 i1 ) U m 2 I m 2 cos( u 2 i 2 ) ... U mn I mn cos( un in ) ... 2 P P0 P P2 ... Pn ... 1