对数函数(2)

2.2.2对数函数及其性质（二）自学导引1、对数函数的定义：2、对数函数的图像：（画出a ＞1或0＜a ＜1的图像）3、对数函数的性质：4、反函数：对数函数x y a log =)1,0(≠>a a 和指数函数 互为反函数，图像关于 对称。

例1，下图是对数函数x y a log =的图象，已知a 的值取34,3101,53，则图象4321,,,C C C C 相应的a 值依次是（ ）101,53,34,3,A53,101,34,3,B101,53,3,34,C 53,101,3,34,D 例2、已知21log a ＞1，求a 的取值范围。

例3 求对数函数的值域 （1）114log 2--=x x y（2）xx y )21(log 2-= )4,2(∈x例4、判断函数xxx f +-=11lg )(的奇偶性。

随堂训练：1，6.0log 5.0=a ，5.0log2=b ，5log3=c 则（ ）A ，a<b<cB ，b<a<cC ，a<c<b D,c<a<b2,已知121log <a,那么a 的取值范围是（ ） A 、210<<a B 、21>aC 、121<<aD 、 1210><<a a 或3，若02log 2log >>b a ，则a, b ，1的关系是（ ） A ，b a <<1 B ，a b <<1 C ，10<<<b a D ，10<<<a b课后作业：1、已知)1(log 2log 7.07.0-x x ，求x 的取值范围。

2、求函数)23(log 221x x y -+=的值域。

3、判断函数)1ln()(2++=x x x f 的奇偶性。

2.2.2 对数函数（二）教案一、教学目标通过本堂课的学习，学生应能够： 1. 理解对数函数的概念，并能够正确地用符号表示对数函数； 2. 掌握对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等； 3. 能够应用对数函数解决实际问题。

二、教学内容1.对数函数的定义和性质；2.对数函数图像的特点；3.对数函数的应用。

三、教学步骤步骤一：引入1.引导学生回顾上节课学习的内容，对数函数的基本概念和性质；2.提出对数函数的实际应用问题，引发学生的思考。

步骤二：定义和性质1.通过示例引导学生理解对数函数的定义，即 $y = \\log_a{x}$；2.解释对数函数的定义域和值域，与指数函数的关系；3.讲解对数函数的单调性和奇偶性，以及对数函数与指数函数的逆运算关系。

步骤三：图像特点1.通过实例展示对数函数的图像特点；2.讲解对数函数图像的平移、缩放和反转等变化规律；3.引导学生观察并总结对数函数图像的规律。

步骤四：应用实例1.提供一些实际问题，并引导学生分析问题所涉及的数学模型；2.基于对数函数的性质，引导学生解决实际问题；3.鼓励学生在解决问题过程中，灵活运用对数函数的知识。

步骤五：小结1.回顾本堂课学习的内容；2.强调对数函数的重要性和应用价值；3.鼓励学生继续深入学习对数函数的知识，并拓展应用领域。

四、教学资源•教材：对数函数相关章节的教材资料；•课件：包含对数函数的定义、性质和图像特点的课件；•实例：提供实际问题的实例材料。

五、教学评估1.在课堂上进行小组讨论，解决应用实例问题；2.布置作业，要求学生运用对数函数解决实际问题；3.随堂进行问答，检查学生对对数函数的理解和掌握程度。

六、教学反思本节课通过引入实际问题，设计了丰富的示例和应用实例，帮助学生理解对数函数的定义和性质，并能够灵活应用到实际问题中。

同时，通过观察对数函数图像的特点，引导学生发现规律，提高他们的数学建模能力。

在后续的教学中，可以继续加大实际应用的训练，培养学生的问题解决能力。

《对数函数及其性质》教学设计一、【课标解读】本节课为人教A 版高中数学必修1《对数函数及其性质》第一课时，对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，教科书通过类比指数函数的图像及其性质的研究，进一步认识到对数函数的概念、图像与其性质，从而使学生的知识体系更加完整和系统。

二、【教材分析】“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”伽利略的这段话足以说明对数的重要性。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，其知识结构和研究方法与指数函数有许多类似之处。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固，深化，同时也为第三章函数模型及其应用奠定基础，而且本节课也是培养学生类比、数形结合、分类讨论等数学思想的重要载体，所以本节内容在高中数学学习中占有非常重要的地位。

三、【学情分析】 【认知基础】：前面学习了指数函数，对数与对数运算，学生对如何研究一个具体函数有一定的认识，为本节的类比学习提供了保障。

【心理特点】：高一学生个性活泼，思维活跃，合作交流的积极性高，有利于本节探究活动的开展。

【不足之处】：高一学生抽象思维能力有待提高，对数函数概念抽象，又以对数运算为基础， 部分学生在学习过程中存在一些困难。

四、【目标分析】 【知识与技能】：理解对数函数的定义；会画对数函数的图象并会根据图象归纳性质；学会用对数函数的性质解决简单的问题。

【过程与方法】：经历根据图象探索对数函数性质的过程；提高用类比，数形结合等思想分析解决问题的能力。

【情感、态度、价值观】：在自主探究、合作交流等活动中培养学生的合作意识和主动学习的良好习惯。

【教学重点】：对数函数的定义、图像与性质. 【教学难点】：根据图象探索归纳对数函数的性质 五、【教法分析】 【教学方法】：引导探究法引导学生类比指数函数研究对数函数，让学生对研究具体函数的方法有更完整的认识；引导学生观察对数函数图象归纳性质，提高学生用数形结合思想分析问题的能力。

对数函数【学习目标】（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（2）知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）．（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．【学习重难点】对数的概念与对数函数．【学习过程】 【第1课时】一、自主学习知识点一：对数函数的概念函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．状元随笔形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数． a ＞1 0＜a ＜1状元随笔底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三：反函数一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．教材解难： 1．教材P 130思考根据指数与对数的关系，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）得到x ＝log y （0＜y ≤1）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤1）作x 轴的平行线，与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0，1]，通过对应关系x ＝log y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝logy ，y ∈（0，1]刻画了时间x 随碳14含量y 的衰减而变化的规律．2．教材P 132思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝－log 2x ．因为点（x ，y ）与点（x ，－y ）关于x 轴对称，所以y ＝log 2x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P 1（x ，－y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log 2x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．3．教材P 138思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞1）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x 的增大，一次函数y ＝kx （k ＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y ＝log a x （a ＞1）的增长速度越来越慢．不论a 的值比k 的值大多少，在一定范围内，log a x 可能会大于kx ，但由于log a x 的增长慢于kx 的增长，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，恒有log a x ＜kx ．4．4．1对数函数的概念 基础自测：1．下列函数中是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 14xB ．y ＝log 14（x ＋1）C ．y ＝2log 14xD ．y ＝log 14x ＋1解析：形如y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 答案：A2．函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为（ ） A ．（0，1） B ．[0，1） C ．（0，1] D ．[0，1]解析：由题意，得⎩⎨⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1；故函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为[0，1）．答案：B3．函数y＝log a（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜1，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x－1）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．答案：[1，log23]二、素养提升题型一：对数函数的概念例1：下列函数中，哪些是对数函数？（1）y＝log a x（a＞0，且a≠1）；（2）y＝log2x＋2；（3）y＝8log2（x＋1）；（4）y＝log x6（x＞0，且x≠1）；（5）y＝log6x．解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠1）来判断．方法归纳：判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1：若函数f （x ）＝（a 2－a ＋1）log （a ＋1）x 是对数函数，则实数a ＝________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1． 又底数a ＋1＞0，且a ＋1≠1，所以a ＝1． 答案：1对数函数y ＝log a x 系数为1．题型二：求函数的定义域（教材P 130例1） 例2：求下列函数的定义域： （1）y ＝log 3x 2；（2）y ＝log a （4－x ）（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）因为x 2＞0，即x ≠0，所以函数y ＝log 3x 2的定义域是{x |x ≠0}． （2）因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数y ＝log a （4－x ）的定义域是{x |x ＜4}． 真数大于0． 教材反思：求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2：求下列函数的定义域： （1）y ＝lg （x ＋1）＋3x 21－x ；（2）y ＝log （x －2）（5－x ）． 解析：（1）要使函数有意义， 需⎩⎨⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．（2）要使函数有意义，需⎩⎨⎧5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎨⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3.∴定义域为（2，3）∪（3，5）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三：对数函数的图象问题例3：（1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（2）已知函数y ＝log a （x ＋3）－1（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝3x ＋b 的图象上，则f （log 32）＝________．（3）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．解析：（1）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（2）依题意可知定点A （－2，－1），f （－2）＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f （x ）＝3x －109，f （log 32）＝33log 2－109＝2－109＝89．（3）由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1，0＜d ＜1．过点（0，1）作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c ．答案：（1）C（2）89（3）b ＞a ＞1＞d ＞c状元随笔（1）由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． （2）依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．（3）沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳：解决对数函数图象的问题时要注意：（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1．（3）牢记特殊点．对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点：（1，0），（a ，1）和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1． 跟踪训练3：（1）如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ）A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35（2）函数y ＝log a |x |＋1（0＜a ＜1）的图象大致为（ ）解析：（1）方法一：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a （即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A ．方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110．故选A ．增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1．（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A ．先去绝对值，再利用单调性判断． 答案：（1）A （2）A 三、学业达标（一）选择题1．下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a （2a ）（a ＞0，且a ≠1）C ．y ＝log a x 2（a ＞0，且a ≠1）D ．y ＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1，x ＞0），则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2．故所求解析式为y ＝log 2x ．答案：A3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln （1－x ）的定义域为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，2） B ．（1，2] C ．（－2，1） D ．[－2，1）解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：D4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的图象只能是下图中的（ ）解析：由函数y ＝log a （－x ）有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C ．又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合．答案：B （二）填空题5．若f （x ）＝log a x ＋（a 2－4a －5）是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知 ⎩⎨⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a ≠1，∴a ＝5．答案：56．已知函数f （x ）＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝log 395＋log 315＝log 327＝3．答案：37．函数f（x）＝log a（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝log a1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．答案：（2，0）（三）解答题8．求下列函数的定义域：（1）y＝log3（1－x）；（2）y＝1log2x；（3）y＝log711－3x．解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x＞0且x≠1}．（3）由11－3x＞0，得x＜1 3．∴函数y＝log711－3x的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13．9．已知f（x）＝log3x．（1）作出这个函数的图象；（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，解得x＝2．由图象知，当0＜a＜2时，恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．尖子生题库：10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2（x ＋1），如图．定义域为（－1，＋∞），值域为R ，与x 轴的交点是（0，0）．【第二学时】一、素养提升题型一：比较大小（教材P 133例3） 例1：比较下列各题中两个值的大小： （1）log 23.4，log 28.5； （2）log 0．31.8，log 0．32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）log 23.4和log 28.5可看作函数y ＝log 2x 的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y ＝log 2x 是增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5．（2）log 0．31.8和log 0．32.7可看作函数y ＝log 0．3x 的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y ＝log 0．3x 是减函数，且1.8＜2.7，所以log 0．31.8＞log 0．32.7．（3）log a 5.1和log a 5.9可看作函数y ＝log a x 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论．当a ＞1时，因为函数y ＝log a x 是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，因为函数y ＝log a x 是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9． 构造对数函数，利用函数单调性比较大小． 教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1：（1）设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a（2）比较下列各组值的大小：①log230.5，log230.6．②log1.51.6，log1.51.4．③log0.57，log0.67．④log3π，log20.8．解析：（1）a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．（2）①因为函数y＝log23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6．②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．③因为0＞log70.6＞log70.5，所以1log70.6＜1log70.5，即log0.67＜log0.57．④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．答案：（1）C（2）①log230.5＞log230.6．②log1.51.6＞log1.51.4．③log0.67＜log0.57．④log3π＞log20.8．状元随笔（1）选择中间量0和1，比较大小．（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量0比较大小．题型二：解对数不等式例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；（2）已知log a（x－1）≥log a（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7（x －1）得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1，即x 的取值范围是（1，＋∞）． （2）log a （x －1）≥log a （3－x ），当a ＞1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3．当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2．综上可得，当a ＞1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）中x 的取值范围为[2，3）；当0＜a ＜1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）中x 的取值范围是（1，2]．答案：（1）（1，＋∞） （2）答案见解析状元随笔（1）利用函数y ＝log 0．7x 的单调性求解． （2）分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论，解不等式． 方法归纳：两类对数不等式的解法：（1）形如log a f （x ）＜log a g （x ）的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞g （x ）＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜g （x ）．（2）形如log a f （x ）＜b 的不等式可变形为log a f （x ）＜b ＝log a a b ． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞a b ； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜a b ．跟踪训练2：（1）满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________； （2）根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1．5（2a ）＞log 1．5（a －1）； ②log 0．5（a ＋1）＞log 0．5（3－a ）．解析：（1）因为log 3x ＜1＝log 33， 所以x 满足的条件为⎩⎨⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3．所以x 的取值集合为{x |0＜x ＜3}． （2）①函数y ＝log 1．5x 在（0，＋∞）上是增函数．因为log 1．5（2a ）＞log 1.5（a －1），所以⎩⎨⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1．②函数y ＝log 0.5x 在（0，＋∞）上是减函数，因为log .0.5（a ＋1）＞log 0.5（3－a ），所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1．即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1．答案：（1）{x |0＜x ＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1） 状元随笔（1）log 33＝1． （2）由对数函数的单调性求解． 题型三：对数函数性质的综合应用例3：已知函数f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）． （1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的最小值为－2，求实数a 的值． 解析：（1）由题意得⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）． （2）因为f （x ）＝log a [（1＋x ）（3－x ）] ＝log a （－x 2＋2x ＋3） ＝log a [－（x －1）2＋4]，若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f （x ）有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4，又0＜a ＜1，所以a ＝12．若a ＞1，则当x ＝1时，f （x ）有最大值log a 4，f （x ）无最小值．综上可知，a ＝12．真数大于0．分0＜a＜1，a＞1两类讨论．方法归纳：1．解答y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．②判断y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y＝log a f（x）的函数的单调性判断首先要确保f（x）＞0，当a＞1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．当0＜a＜1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．跟踪训练3已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．求证：（1）函数f（x）是偶函数；（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．证明：（1）函数f（x）的定义域是R，f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（2）设0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x21）－log2（1＋x22）＝log21＋x21 1＋x22，由于0＜x1＜x2，则0＜x21＜x22，则0＜1＋x21＜1＋x22，所以0＜1＋x211＋x22＜1．又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以log21＋x211＋x22＜0．所以f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．（1）函数是偶函数，f（－x）＝f（x）．（2）用定义法证明函数是增函数．题型四：几类函数模型的增长差异例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（）A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x则关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．答案：（1）A（2）y2状元随笔（1）由题意，指数函数增长速度最快．（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：二、学业达标（一）选择题1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1， b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1， 所以b ＜a ＜c ，故选B ． 答案：B2．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2 D ．y 2＞y 3＞y 1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3．答案：B3．若log a 34＜1（a ＞0，且a ≠1），则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪（1，＋∞）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立． 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．由log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34．综上所述，0＜a ＜34或a ＞1． 答案：B4．函数y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）的值域是（ ） A ．（0，2] B ．[－2，＋∞） C ．（－∞，－2] D ．[2，＋∞）解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0．4x 为（0，＋∞）上的减函数，则y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）≥log 0．4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．答案：B （二）填空题5．函数f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________． 解析：当a ＞1时，f （x ）的最大值是f （3）＝1， 则log a 3＝1，∴a ＝3＞1．∴a ＝3符合题意． 当0＜a ＜1时，f （x ）的最大值是f （2）＝1．则log a 2＝1，∴a ＝2＞1．∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3． 答案：36．已知函数f （x ）＝log 2a －x1＋x 为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f （x ）＝－f （－x ）， log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x ，a 2＝1， 因为a ≠－1， 所以a ＝1． 答案：17．如果函数f （x ）＝（3－a ）x 与g （x ）＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f （x ），g （x ）均为增函数，则⎩⎨⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f （x ），g （x ）均为减函数，则⎩⎨⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：（1，2） （三）解答题8．比较下列各组对数值的大小： （1）log 151.6与log 152.9；（2）log 21.7与log 23.5； （3）log 123与log 153；（4）log 130.3与log 20.8．解析：（1）∵y ＝log 15x 在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9．（2）∵y ＝log 2x 在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5．（3）借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在（1，＋∞）上，前者在后者的下方， ∴log 123＜log 153．（4）由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8．9．已知log a （2a ＋3）＜log a 3a ，求a 的取值范围．解析：（1）当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3．（2）当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎨⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1．综上所述，a 的范围是（0，1）∪（3，＋∞）． 尖子生题库：10．已知a ＞0且a ≠1，f （log a x ）＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．（1）求f （x ）；（2）判断f （x ）的单调性和奇偶性；（3）对于f （x ），当x ∈（－1，1）时，有f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，求m 的取值范围． 解析：（1）令t ＝log a x （t ∈R ），则x ＝a t ，且f （t ）＝a a 2－1⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t ，所以f （x ）＝aa 2－1（a x －a －x ）（x ∈R ）；（2）因为f （－x ）＝a a 2－1（a －x －a x ） ＝－f （x ）， 且x ∈R ，所以f （x ）为奇函数．当a ＞1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到a a 2－1＞0， 所以这时f （x ）为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f （x ）为增函数．所以f （x ）在R 上为增函数；（3）因为f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，且f （x ）为奇函数，所以f （1－m ）＜f （2m －1）．因为f （x ）在（－1，1）上为增函数，所以⎩⎨⎧ －1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1． 即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。