对数函数及其性质(1)

2.2.2 对数函数及其性质（一）一、教学目的和要求【知识与技能目标】通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图象和性质。

【过程与方法】通过从具体到一般的过程，数形结合的方法，体会研究具体函数及其性质的过程和方法。

【情感、态度与价值观】培养学生数形结合的思想，学会研究函数性质的方法，能应用对数函数的性质解有关问题。

二、重点难点教学重点：对数函数的概念，图像和性质教学难点：利用数形结合的方法从具体到一般地探究，理解对数函数的图象及其性质。

三、教学过程（一）复习引入2.2.1例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。

死亡年数t 就是要得到的碳14的含量P 的函数。

这个函数写成对数的形式是 。

（二）讲授新课 1. 对数函数的定义：函数y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，定义域为(0,＋∞)，值域为(－∞,＋∞)。

提问：①．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1。

②．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。

判断下列函数是不是对数函数：例1 求下列函数的定义域:2. 对数函数的图象： P t 573021log =x y 2log )1(2=x y 2log )2(-=1log )3(2+=x y 2log )1(x y a =)4(log )2(x y a -=)9(log )3(2x y a -=通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图像。

思考：两图像有什么关系？因为x x y x 2log log log log 212221-===,所以两图像关于x 轴对称。

2.2.2 对数函数及其性质（1）学习目标1.理解对数函数的概念，知道对数函数是一类重要的函数模型；2.理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点；重点难点重点：对数函数的定义、图象及其性质；难点：由对数函数图象总结归纳出对数函数性质。

自主学案预习学案1. 定义：一般地,我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中 是自变量,函数的定义域是2. 对数函数图象与性质a>10<a<1图 象 y0 xy0 x性 质①定义域： ②值域： ③过定点： ④增区间：④减区间：预习思考1. 函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象过定点2.函数2()log 2f x x =-的定义域3.函数5()2+log f x x =(1x ≥)值域是合作探究探究点一：对数函数的概念 一、概念一般地，我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0+∞，. 二、概念理解1、在函数的定义中，为什么要限定0,a >且1a ≠？2、为什么对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的定义域是()0+∞，？3、下列函数是不是对数函数？①2-log y x =，②212log y x =，③3log (1)y x =+，④31log y x=，⑤log 5x y = 三、典例剖析例1. 求下列函数的定义域(1)22log (45)y x x =-- (2) log (22)y x =-(5-x)类题突破2 (1) 23log (31)2x y x x +=++-2 （2）0.5log (43)y x =-探究点二：对数函3数的图象和性质 一、对数函数2log y x =与12log y x =的图象请用描点法分别作出两个函数图象！ “列表——描点——连线”x121 2 4 8 162log y x =12log y x =y y2log y x = 12log y x =0 1 x 0 1 x思考：函数2log y x =与12log y x =的图象有什么关系？y 1.注意结合x 、y 对应值表以及2log y x = 函数图象观察分析！关系：2.如何证明这种关系？1 x12log y x =二、探究对数函数的性质在同一直角坐标系下分别作出函数13log y x =，12log y x =，2log y x =，3log y x =的图象，观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？y0 1 x三、对数函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象及性质a>1 0<a<1图 象性 质①定义域： ②值域：③过定点 ，即当x= 时，y= ④在(0,+∞)上是 函数④在(0,+∞)上是 函数四、典例剖析例3、比较大小：①2log 3与2log 4；②12log 5与12log 3；③log 2a 与log 5a .例4、已知下述4个函数图象是底数分别为 A 、B 、C 、D 的对数函数图象，试比较 A 、B 、C 、D 的大小.例5、若函数log (34)a y x =+（0<a<1）的函数值恒大于0，求x 的取值范围？类题突破6 求使函数log (34)a y x =+的值恒为负值的x 的取值范围？概括整合1、对数函数的概念，底数、真数的取值范围；2、对数函数的图象及其性质的应用；3、用数形结合的方法解决问题.4、。

高一提高班 对数函数的图象及性质1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log (a 2＋a )x (x >0，a 是常数)．其中为对数函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4底数a 2＋a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数． 【答案】 A2．(2016·重庆高一检测)函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【答案】 C3．(2016·漳州高一检测)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )【答案】 D5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 A 6．函数f (x )＝log 12(3x －2)的定义域是________． 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，17．函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的增区间为________．8．已知函数y ＝log 22－x2＋x，下列说法：①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________． 【答案】 ①③9．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧lg (x ＋1)，x >00，x ＝0－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示：[能力提升]1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝e ln x【答案】 C2．(2016·台州高一检测)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如图2­2­2所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致为( )图2­2­2【答案】 A3．(2016·长春模拟)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】 D4．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝lg [(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0，所以a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立． 当a 2－1≠0时，⎩⎨⎧a 2－1>0Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－54.当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54. 对数函数及其性质的应用1．(2016·荆州高一检测)若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【答案】 A2．设函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫232，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的大小关系是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥b D ．a ≤b 【答案】 A3．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14 B.12 C ．2 D ．4 【答案】 B4．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b 【答案】 A5．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22【答案】 C6．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________．【答案】 [－2，＋∞)7．(2016·东莞高一检测)已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是________.【答案】 (－∞，2] 8．关于函数f (x )＝lgxx 2＋1有下列结论： ①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)； ②函数f (x )是奇函数； ③函数f (x )的最小值为－lg 2；④当0<x <1时，函数f (x )是增函数；当x >1时，函数f (x )是减函数． 其中正确结论的序号是________． 【答案】 ①④9．已知定义域为[1,2]的函数f (x )＝2＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象过点(2,3)．(1)求实数a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋f (x 2)，求函数g (x )的值域．【解】 (1)∵函数f (x )＝2＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象过点(2,3)， ∴3＝2＋log a 2，即log a 2＝1，解得a ＝2. (2)∵g (x )＝f (x )＋f (x 2)＝4＋3log 2x ，故g (x )的定义域满足⎩⎨⎧1≤x ≤21≤x 2≤2⇒1≤x ≤2，且函数g (x )在定义域[1，2]上为增函数，由g (1)＝4，g (2)＝112， 故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112.10．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值范围．【解】 (1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3＋x >03－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)， ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )，∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )＝ln(9－x 2)，由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜13或1＜m ＜2.[能力提升]1．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】 D2．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 【答案】 B3．若函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________.【解析】 设t ＝g (x )＝ax ＋4，则y ＝f (x )＝log (a 2－3)t ，若a >0，则函数t ＝ax ＋4递增，要使函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则有y ＝log (a 2－3)t 递增，所以有⎩⎨⎧ a 2－3>1g (－1)＝－a ＋4>0，即⎩⎨⎧a >2或a <－2a <4，所以2<a <4.若a <0，则函数t ＝ax ＋4递减，要使函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则有y ＝log (a 2－3)t 递减，所以有⎩⎨⎧ 0<a 2－3<1g (1)＝a ＋4>0，即⎩⎨⎧3<a 2<4a >－4，解得－2<a <－ 3.综上，实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2,4)． 【答案】 (－2，－3)∪(2,4) 4．设函数f (x )＝lg(ax )·lg ax 2.(1)当a ＝0.1时，求f (1 000)的值； (2)若f (10)＝10，求a 的值；(3)若对一切正实数x 恒有f (x )≤98，求a 的范围． 【解】 (1)当a ＝0.1时，f (x )＝lg(0.1x )·lg 110x 2， ∴f (1 000)＝lg 100·lg 1107＝2×(－7)＝－14.(2)∵f (10)＝lg(10a )·lg a100＝(1＋lg a )(lg a －2)＝lg 2a －lg a －2＝10， ∴lg 2a －lg a －12＝0，∴(lg a －4)(lg a ＋3)＝0， ∴lg a ＝4或lg a ＝－3，即a ＝104或a ＝10－3. (3)∵对一切正实数x 恒有f (x )≤98， ∴lg(ax )·lg a x 2≤98对一切正实数恒成立． 即(lg a ＋lg x )(lg a －2lg x )≤98，∴2lg 2x ＋lg a lg x －lg 2a ＋98≥0对任意正实数x 恒成立，∵x ＞0，∴lg x ∈R ，由二次函数的性质可得，Δ＝lg 2a －8⎝ ⎛⎭⎪⎫98－lg 2a ≤0， ∴lg 2a ≤1，∴－1≤lg a ≤1，∴110≤a ≤10.。

对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。

2.2.2 对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程一般式吗？.概念．质，.的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征对数函数有以下性质相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升=log x的图象是下降的.备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x xx ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.x。

对数函数性质对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在许多数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。

在学习对数函数时，我们需要掌握对数函数的性质，在这里，我将为大家详细介绍对数函数的性质，希望能对大家的学习有所帮助。

一、对数函数定义及性质对数函数的公式为：y=loga x ，其中x、y、a都是实数，a>0，且a≠1。

1.定义域和值域（1）定义域：对数函数的定义域为正实数集R+（2）值域：对数函数的值域为实数集R2.奇偶性（1）当a>1时，对数函数是增函数，是奇函数。

（2）当0<a<1时，对数函数是减函数，是偶函数。

（3）对于任意的a，对数函数均不具有周期性。

3.单调性（1）当a>1时，对数函数是单调递增的；（2）当0<a<1时，对数函数是单调递减的；（3）对于任意的a，对数函数均单调。

4.对称轴当a>1时，对数函数的对称轴是y=x；当0<a<1时，对数函数的对称轴是y=-x。

5.渐近线当a>1时，对数函数的x轴渐近线是x轴；当0<a<1时，对数函数的y 轴渐近线是x轴。

二、对数函数在求解实际问题中的应用对数函数是一种用于描述关系紧密的现象的数学工具，它广泛应用于数学、物理、化学、生物等领域。

下面分别介绍对数函数在不同领域的应用。

1.经济学中的应用对数函数在经济学中有广泛的应用，例如在计算经济增长率和物价指数时常常用到对数函数。

（1）经济增长率的计算对数函数可以用来表示数据的增长趋势。

在经济学中，经济增长率是一个重要指标。

假设某国的国内生产总值（GDP）在2010年为100亿美元，在2011年增加到120亿美元，那么这个国家的GDP增长率为：所以，GDP的增长率为20%。

可以使用以下公式来计算增长率：增长率 = log10(120) - log10(100) = 0.0792。

因此，增长率为7.92%。

（2）物价指数的计算物价指数是描述物价水平的一个指标。

对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。

本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。

一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。

1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。

当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。

2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。

（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。

（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。

（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。

（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。

（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。

二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。

（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。

（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。

（4）logₐ(a)=1/logₐ⁡(a)，即对数底变换公式。

2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。

（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。

三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。

2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。