高考数学文科一轮总复习资源包第5篇平面向量-第五篇

高考数学一轮复习必备第44课时：第五章平面向量平面向量小结高考数学一轮复习必备第44课时：第五章平面向量-平面向量小结1.进一步精通矢量运算和证明；能够运用解三角形的知识解决相关的应用问题题，2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力．三．课前预习：1.正方形PQRS对角线的交点为m，坐标原点o不在正方形内，op？(0,3)，os?(4,0)，则rm?（）717177（a）（？，？）（b）（c）（7,4）（d）（d）2222222．下列条件中，?abc是锐角三角形的是（）1（a）新浪？科萨？（b）塔娜？坦布？坦克？05(c)ab?bc?0(d)b?3,c?33,b?309b（2,6）3。

如果平行四边形ABCD的顶点a（？7）已知，且对角线的交点为23m （3），则其他两个顶点的坐标为2?4．把函数y?cosx图象沿b?(2k??,1)(k?z)平移，得到函数的图象．25、在20m高层建筑顶部测量，塔顶的仰角为60，塔基的倾角为45，塔式起重机的高度为。

四、示例分析：,c?2a,cosa?例1．在?abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，且a?c?103，4求：（1）C值；（2） B的值。

例2。

已知向量a？（？2，罪？），B（COS？，1），在哪里？？(??,). 22（1）如果？b、拜托？价值；（2）点C？A.b、求| C的最大值|例3．已知向量u?(x,y)与向量v?(x,2y?x)的对应关系记作v?f(u)，验证：（1）对于任何向量，B和常数M，n有常数f（MA？NB）？mf（a）？nf（b）（2）若a?(1,1),b?(1,0)，用坐标表示f(a)和f(b)；（3）问f（c）？（P，q）的向量C的坐标，（P，q是常数）例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向ao通过中心o后转向东北方向ob，现要修建一条铁路l，l在ao上设一站a，在ob上设一站b，铁路在ab部分为直线段，现要求市中心o与ab距离为10km，问把a，b分别设在公路上离中心o多远处，才能使|ab|最短，并求出最短距离．五、课后作业：ldablo1．已知|a|?|b|?1,a与b的夹角为90，c?2a?3b,d?ka?4b，c与d垂直，k的值为（）（a） ?？6（b）6（c）3（d）？三15，|a|?3,|b|?5，则a与b的4夹角是（）2.知道吗？在ABC，AB？a、空调？b、 a？B0，s？？（a） 30（b）？1500（c）1500（d）30或15003．在直角坐标系中，o为原点，点m在单位圆上运动，n(2,?1)满足行动？2米？n上P点的轨迹方程为（）(a)x?y?1?0(b)(x?2)2?(y?1)2?4(c)x?2y?0(d)x2?y2?14.被称为o？ABC位于飞机上的某一点，并与（ob？OC）相遇？（ob？oc？2oa）？0，那么abc的形状为．sin2c？sin2b？sinasinb？。

第1讲 平面向量的概念及其线性运算知 识 梳 理1．向量的有关概念 名称 定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量 和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )续表减法求a 与b 的 相反向量－b 的和的 运算叫做 a 与b 的差三角形法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .辨 析 感 悟1．对共线向量的理解(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同．(×) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)(2013·郑州调研改编)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝－12.(√)2．对向量线性运算的应用 (4)A B →＋B C →＋C D →＝A D →.(√)(5)(教材习题改编)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则A D →＝12(A C →＋A B →)．(√) [感悟·提升]1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一 平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中真命题的序号是________．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC →，∴|AB→|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【训练1】 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的序号是________．解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题． 答案 ①②③考点二 平面向量的线性运算【例2】 (1)(2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.(2)(2013·泉州模拟)已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB→＋PC →＝AC →，那么PB →＝________ AP →.解析 (1)∵AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.(2)∵P A →＋PB →＋PC →＝AC →＝PC →－P A →， ∴PB →＝－2P A →＝2AP →. 答案 (1)2 (2)2规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 【训练2】 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则C F →可用A D →与B E →表示为________．解析 由题意知：AD→＝FE →，＝DF →， CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0， ∴AD→＋BE →＋CF →＝0.∴CF →＝－AD →－BE →. 答案 CF→＝－AD →－BE →考点三 向量共线定理及其应用【例3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．审题路线 (1)由向量的加法，得BD →＝BC →＋CD →⇒用a ，b 表示BD →⇒得到BD →与AB →的关系式⇒由向量共线定理，得BD →与AB →共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论．(2)假设存在实数k ⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据a 、b 是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k 值．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． ∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【训练3】 (2014·西安模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________． 解析 由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.答案 11．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算【典例】(2012·浙江卷改编)设a，b是两个非零向量．对于结论：①若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b；②若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|；③若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λa ；④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |.正确结论的序号是________．[一般解法] 结论①，若b ＝－a ，则等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立，显然a ⊥b 不成立； 结论②，若a ⊥b 且|a |＝|b |，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；结论③正确；结论④，若b ＝a ，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． [优美解法] (数量积法)把等式|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方，得(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2， 即2a ·b ＝－2|a |·|b |，而a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 所以cos 〈a ，b 〉＝－1.又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π，即a ，b 为方向相反的共线向量．故③正确． [答案] ③[反思感悟] 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a ＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论． 【自主体验】在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝________.①a ·(a －b )|a －b |；②a ·(b －a )|a －b |；③a ·(a －b )|a －b |2；④a ·(b －a )|a －b |2.解析 由AD→＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|. 又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||a －b |＝a ·(a －b )|a －b |，|AB →|＝|a －b |，∴λ＝a ·(a －b )|a －b |2.答案 ③基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则EF →可用OF →与OE →表示为________．解析 由图可知EF→＝OF →－OE →.答案 EF →＝OF →－OE →2.(2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于________．解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 CF→3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 充分不必要4．(2013·大连联考)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a 、b 、c 、d 四个向量满足的关系为________．解析 依题意得，A B →＝D C →，故A B →＋C D →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA→－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0. 答案 a －b ＋c －d ＝05．(2014·宿迁质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 解析设AB 的中点为D ，由5AM→＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD→.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35 CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 答案 356．(2014·湖州月考)给出下列命题： ①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)解析 由AN→＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案 －14a ＋14b8．(2014·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量， AB →＝2a ＋p b ， BC →＝a ＋b ， CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案 －1 二、解答题9．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa . 又∵a 与b 为不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．10．如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ， OB →＝b ， BM →＝13 BC →， CN →＝13 CD→.试用a ，b 表示OM →， ON →及MN →.解 由题意知，在平行四边形OADB 中， BM→＝13 BC →＝16 BA →＝16( OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23 OD →＝23( OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题 1.如图所示，在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB ，则λ＝________.解析 因为CD→＝CA →＋AD →＝CA→＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23. 答案 232．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x ) AC→，则实数x 的取值范围是________．解析 设BO→＝λBC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝(1－λ) AB →＋λAC →，又AO →＝x AB →＋(1－x ) AC →，所以x AB →＋(1－x ) AC →＝(1－λ) AB →＋λAC →.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0. 答案 (－∞，0)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形 二、解答题 4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 表示AG →. 解 AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE → ＝AB→＋λ2( BA →＋BC →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ) AB→＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG→＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2( CA →＋CB →)＝(1－m ) AC→＋m 2 AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴A G →＝13a ＋13b .第2讲 平面向量基本定理及坐标表示知 识 梳 理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.辨 析 感 悟1．对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)(2013·广东卷改编)已知a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c .(√)②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；(√)③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；(√) ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .(×) 2．平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则A B →＝(－3,2)．(√) (5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4.(√) [感悟·提升]1．一个区别 向量坐标与点的坐标不同，在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量O A →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝O A →＝(x ，y )． 当平面向量O A →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝O A →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0，如(5)．考点一 平面向量基本定理的应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ， AN →＝d ，试用c ，d 表示AB→， AD →.解 法一 设AB→＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，①b ＝AM→＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，③将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )． ∴AB→＝23(2d －c )， AD →＝23(2c －d )． 法二 设AB→＝a ， AD →＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b ， DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB→＝23(2d －c )， AD →＝23(2c －d ).规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【训练1】 如图，在△ABC 中， AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为________．解析 设|BP→|＝y ，|PN →|＝x ，则AP→＝AN →＋NP →＝14 AC →－x x ＋y BN →，① AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋y x ＋yBN →，② ①×y ＋②×x 得AP→＝x x ＋y AB →＋y 4(x ＋y )AC →， 令y 4(x ＋y )＝211，得y ＝83x ，代入得m ＝311. 答案 311考点二 平面向量的坐标运算【例2】 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ， BC →＝b ， CA →＝c ，且CM→＝3c ， CN →＝－2b . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM→＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM→＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)．又CN→＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON→＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________. (2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)．(2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案 (1)(－1,2) (2)(－3，－5)考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．审题路线 (1)分别求出(a ＋k c )与(2b －a )的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k 的方程；(2)设d 的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d 的坐标．解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎨⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．规律方法 a ∥b 的充要条件有两种表达方式： (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．【训练3】 (1)(2013·陕西卷改编)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于________．(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析 (1)∵a ∥b ，∴1×2＝m ×m ，解得m ＝±2.(2)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2 AB →. 设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎨⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案 (1)－2或2 (2)(2,4)1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．思想方法4——方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中， OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM→＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12 OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝t AD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM→＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB→＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM→与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM→＝17a ＋37b . [反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解．(3)本题难点是找不到问题的切入口，并且解题过程复杂，有一定的难度． 【自主体验】1．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基底a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋ n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 又e 1，e 2是平面内一组基向量， 所以⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －132．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析 a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x 2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案 4基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．在▱ABCD 中，若AB→＝(1,3)，AC →＝(2,5)，则AD →＝________，BD →＝________.解析 AD→＝BC →＝AC →－AB →＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(0，－1)．答案 (1,2) (0，－1)2．(2014·揭阳二模)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)． 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.答案 (5,14) 3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2 P A →，则x ＝________，y ＝________.解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2 P A →，所以OP→＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB→)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 23 134．(2013·镇江模拟)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )，得(－1)×(m ＋1)－2×1＝0，解得m ＝－3. 答案 －35．(2014·南京模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC →＝________. 解析 BC →＝3 PC →＝3(2 PQ →－P A →)＝6 PQ →－3 P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案 (－6,21)6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 127．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析 由题意得AB→＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB→，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 答案 m ≠548．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1 AB →＋λ2 AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23， 即λ1＋λ2＝12. 答案 12 二、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0， (2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB→＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·保定模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________． 解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 60° 2.(2014·中山模拟)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝m OA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析 由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λ BA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λ BA →＝λ OA →＋(1－λ)OB→. 又C ，O ，D 三点共线，令OD→＝－μ OC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案 (－1,0)3．(2014·南京质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b 时取等号．∴1a ＋2b 的最小值是8.答案 8二、解答题4.如图，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．解 以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC .设D 的坐标为(x ，y )，①若是▱ABCD ，则由AB→＝DC →，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )，即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，∴⎩⎨⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4. ∴D 点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D 1)．②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得(0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)，即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4.∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D 2)．③若是▱ABDC ，则由AB→＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)．解得x ＝－2，y ＝0.∴D 点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).第3讲 平面向量的数量积知 识 梳 理1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |·cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |·cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a|2；|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.辨 析 感 悟1．对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×)(2)(2013·湖北卷改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB→在CD →方向上的投影为－322.(×) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(×)2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(×)(5)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(6)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .(×)[感悟·提升]三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为|b|，当θ＝180°时，b在a 方向上投影为－|b|，如(2)；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b，如(4)．考点一平面向量数量积的运算【例1】(1)(2013·茂名二模)若向量a，b，c满足a∥b，且b·c＝0，则(2a＋b)·c ＝________.(2)(2014·威海期末考试)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝________.解析(1)∵a∥b，∴b＝λa.又b·c＝0，∴a·c＝0，∴(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝0.(2)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.答案(1)0(2)5规律方法求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【训练1】 (1)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则 x ＝________.(2)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析 (1)8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝30，即18＋3x ＝30，解得x ＝4.(2)b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6.答案 (1)4 (2)－6考点二 向量的夹角与向量的模【例2】 (1)(2013·安徽卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．(2)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________.解析 (1)等式平方得|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，则|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |cos θ，即0＝4|b |2＋4·3|b |2cos θ，得cos θ＝－13.(2)因为|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4a 2＋b 2＝4＋4＝8，故|2a －b |＝2 2.答案 (1)－13(2)2 2 规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)|a |＝a ·a 常用来求向量的模．【训练2】 (1)(2014·长沙模拟)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)若平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 和b 的夹角θ的取值范围是________．解析 (1)由|2a －b |＝10平方得，4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，即|b |2－4|b |cos 45°＋4＝10，亦即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．(2)依题意有|a ||b |sin θ＝12，即sin θ＝12|b |，由|b |≤1，得12≤sin θ≤1，又0≤θ≤π，故有π6≤θ≤5π6.答案 (1)32 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 考点三 平面向量的垂直问题【例3】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α(其中k 为非零实数)．审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证⇒由模相等，列等式、化简求β－α.(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝k 2＋2k cos (β－α)＋1，|a －k b |＝1－2k cos (β－α)＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)．又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.规律方法 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .【训练3】 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，∴c ·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＝0.又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a ·b ＝0，∴c ·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t 4(t ≠0)．1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．教你审题5——数量积的计算问题【典例】(2012·上海卷)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．[审题]一审：抓住题眼“矩形ABCD”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决．解析如图，以A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k (0≤k ≤1)，则点M 的坐标为(2，k )，点N 的坐标为(2－2k ,1)，则AM →＝(2，k )，AN →＝(2－2k ,1)，AM →·AN→＝2(2－2k )＋k ＝4－3k ，而0≤k ≤1，故1≤4－3k ≤4.答案 [1,4][反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．【自主体验】在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA→＝________.解析 法一由BM→＝2AM →可知，A 是线段MB 的中点，如图所示． 由题意，AC ⊥BC ，且CA ＝CB ＝3， ∴CM →·CA →＝(CA →＋AM →)·CA→ ＝(CA →＋BA →)·CA→ ＝(CA →＋CA →－CB →)·CA→ ＝(2CA →－CB →)·CA→ ＝2CA →2－CB →·CA→ ＝2×32＝18.法二如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，B (3,0)，A (0,3)． 由题意知：|AB→|＝32，∴|BM →|＝6 2.设M (x ，y )， BM→＝2BA → ∴(x －3，y )＝2(－3,3) 则x ＝－3，y ＝6， 即M (－3,6)．∴CM →·CA →＝(－3,6)·(0,3)＝18. 答案 18基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝________. 解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 42．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为________．解析 如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1. 答案 13．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析 由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 －34．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为________．解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0.∴2|b |2·cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12， 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3. 答案 2π35．(2013·福建卷改编)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，B D →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．解析 ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC→⊥BD →，∴S 四边形＝|AC →|·|BD →|2＝5·202＝5. 答案 56．(2013·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2 ＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )|b |2 ＝t 2＋1－t ＝1－t2.由b ·c ＝0，得1－t2＝0，所以t ＝2. 答案 27．(2013·重庆卷)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析 在矩形中，OA→＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)，因为AB →⊥OA →，所以AB →·OA →＝0，即－3＋k －1＝0，解得k ＝4. 答案 4 8.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC→〉＝60°，则|OA →|＝________.解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12()AB →＋AC →，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA→|＝132. 答案132二、解答题9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )． (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，故x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)， ∴|a －b |＝(－2)2＋02＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·泰州一模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.所以θ＝π3.答案 π32．已知向量p 的模为2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，且a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________． 解析 由题意可知较小的对角线为|a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q |＝(2p ＋3q )2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2 ＝ 8＋122×22＋9＝29. 答案29。

第5章平面向量知识点考纲展示平面向量的实际背景及基本概念❶了解向量的实际背景．❷理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.向量的线性运算❶掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．❷掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．❸了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示❶了解平面向量的基本定理及其意义．❷掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．❸会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．❹理解用坐标表示的平面向量共线的条件.平面向量的数量积及向量的应用❶理解平面向量数量积的含义及其物理意义．❷了解平面向量的数量积与向量投影的关系．❸掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．❹能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．❺会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．❻会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题考源向量线性运算及基本关系(2017·高考全国卷Ⅱ，T4，5分)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A.a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|必修4 P120A组T2向量的数量积与应用(2017·高考全国卷Ⅰ，T13，5分)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________ .必修4 P119A组T13向量的坐标表示与数量积(2016·高考全国卷Ⅱ，T3，5分)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )A.－8 B．－6C．6 D．8必修4 P119A组T12(2016·高考全国卷Ⅰ，T13，5分)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.必修4 P120B组T3 (2016·高考全国卷Ⅲ，T3，5分)已知向量BA→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，32，BC→＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC＝( )A.30°B．45°必修4 P119A组T10C ．60°D ．120°二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修4 P 92B 组T 5改编)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 一定为( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形解析：选D.由OA →＋OC →＝OB →＋OD →，得OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，所以BA ∥CD ，且BA ＝CD .所以四边形ABCD 一定为平行四边形，故选D.2．(必修4 P 119A 组T 9改编)已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB ．12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，所以(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .3．(必修4 P 98例6改编)已知a ＝(3，4)，b ＝(sin θ，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝( )A ．7B ．17C ．－17D ．－7解析：选D.因为a ∥b ，所以3cos θ－4sin θ＝0，即tan θ＝34，所以sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝34＋134－1＝－7.故选D. 4．(必修4 P 119A 组T 11改编)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A ．π6B.π4 C ．π3D.2π3解析：选B.因为a ⊥(a －b )，所以a 2－a ·b ＝0，又|a |＝1，所以a ·b ＝1，设向量a 与向量b 的夹角为θ，由cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12＝22，可得θ＝π4，即向量a 与b 的夹角为π4.二、填空题5．已知▱ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则|BD |＝________．解析：设D (x ，y )，由AB →＝DC →得(1，2)＝(3－x ，4－y )．所以x ＝2，y ＝2，即D 点的坐标为(2，2)，所以BD →＝(2，2)－(－1，3)＝(3，－1)，所以|BD |＝|BD →|＝32＋（－1）2＝10.答案：106．(必修4 P 120B 组T 4改编)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝3，AD ＝DC ＝2，M 是DC 的中点，则AM →·BC →＝________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝2.AM →＝AD →＋DM →＝b ＋13a ，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋DC→－AB →，＝b ＋23a －a ＝b －13a ，所以AM →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a (b －13a )＝|b |2－19|a |2＝22－19×32＝3.答案：3三、解答题7．(必修4 P 108A 组T 8改编)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.8．(必修4 P 147A 组T 9改编)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12. 由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。

第1讲平面对量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有□01大小又有□02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面对量是自由向量零向量长度为□030的向量记作0，其方向是随意的单位向量长度等于□041个单位的向量与非零向量a平行的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或□05相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向□06相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向□07相反的向量0的相反向量为0 2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线(O 不在直线BC 上)，则λ＋μ＝1.1．给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④在▱ABCD 中，肯定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不肯定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不肯定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的状况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.2．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →＝12CB →－CA →＝12a －b .故选A.3．(2024·安徽亳州模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线 答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，∵BD →与AB →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B.4．设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，则下列命题中正确的个数是( ) ①AC →＝AB →＋AD →；②AP →＝12(AB →＋AD →)；③DB →＝AB →－AD →；④PD →＝PB →. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由向量加法的平行四边形法则，知①AC →＝AB →＋AD →，②AP →＝12(AB →＋AD →)是正确的；由向量减法的三角形法则，知③DB →＝AB →－AD →是正确的；因为PD →，PB →的大小相同，方向相反，所以④PD →＝PB →是错误的．故选C.5．(2024·江西省名校联考)在△ABC 中，BD →＝DC →，AP →＝2PD →，BP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 A解析 因为BD →＝DC →，AP →＝2PD →，所以AD →＝12AB →＋12AC →＝32AP →，所以AP →＝13AB →＋13AC →，所以BP →＝AP→－AB →＝－23AB →＋13AC →，因为BP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ＋μ＝－13.故选A.6．已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝ ，BC →＝ (用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .考向一 平面对量的概念 例1 给出下列命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是 ． 答案 ②解析 对于①，若b ＝0，则a 与c 不肯定共线，①是假命题．对于②，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形，②是真命题．对于③，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，③是假命题．对于④，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为随意向量，满意λa ＝μb ，但a 与b 不肯定共线，④是假命题．平面对量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．1.设a 0为单位向量，有下列命题：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若非零向量a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.其中假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题；若非零向量a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a ≠b ，则a 与b 的方向必不相同； ③|a |＞|b |，则a ＞b ；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量肯定是平行向量． 其中正确的是( )A ．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④ 答案 C解析 温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；a ≠b ，a 与b 的方向可以相同，②错误；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错误；正方形ABCD 中AB →与CD →共线，但A ，B ，C ，D 四点不共线，④错误；作图易得⑤正确．故选C.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 平面对量的线性运算 角度向量加减法的几何意义例2 (1)(2024·江西南昌模拟)已知两个非零向量a ，b 满意|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b答案 B解析 由已知a ，b 不共线，在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |，知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选B.(2)(2024·广西柳州模拟)若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满意|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形态为 ．答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．角度平面对量线性运算例3 (1)(2024·安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由a －b ＝23PT →，知PT →＝32a －32b ，②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故选C.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 答案 B解析 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB→＋AD →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选B.角度利用线性运算求参数例4 (1)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 D解析 由BC →＝λDC →可知AC →－AB →＝λ(AC →－AD →)，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λAC →＋1λAB →，又AD →＝－13AB →＋43AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1λ＝－13，1－1λ＝43，解得λ＝－3.故选D.(2)(2024·四川南充诊断考试)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.已知四边形ABCD 是平行四边形，O 为平面上随意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0 答案 B解析 如图所示，a －b ＝BA →，c －d ＝DC →，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊DC ，且BA →与DC →反向，即BA →＋DC →＝0，也就是a －b ＋c －d ＝0.故选B.4．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A.34AB →＋14AD →B.14AB →＋34AD →C.12AB →＋AD → D.34AB →＋12AD → 答案 D解析 依据题意得AF →＝12(AC →＋AE →)，又因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF →＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选D.5．(2024·河南洛阳模拟)在△ABC 中，点G 满意GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝16BC →＝16⎝⎛⎭⎫OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.故选D.考向三 共线向量定理的应用例5 (1)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38 D ．不存在答案 A解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又因为AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k ＝－94.故选A. (2)已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ答案 B解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B.(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．依据A ，B ，C 三点共线求参数问题，只需将问题转化为AC →＝λAB →，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数．(2)三点共线的一个常用结论：A ，B ，C 三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内随意一点O (O 不在直线BC 上)满意OA →＝λOB →＋μOC →(λ＋μ＝1)．6.(2024·山西师大附中模拟)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 ∵AN →＝14NC →，∴AC →＝5AN →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴AP →＝mAB →＋2AN →，由B ，P ，N 三点共线可知，m ＋2＝1，∴m ＝－1.故选B.7．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12 C.12 D ．－2答案 B解析 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2λk －k ，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B.1．如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )A.DA →－DC →＝AC →B.DA →＋DC →＝DO →C.OA →－OB →＋AD →＝DB →D.AO →＋OB →＋BC →＝AC → 答案 D解析 对于A ，DA →－DC →＝CA →，错误；对于B ，DA →＋DC →＝2DO →，错误；对于C ，OA →－OB →＋AD →＝BA →＋AD →＝BD →，错误；对于D ，AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →，正确．故选D.2．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应当满意的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 由A ，B ，D 三点共线，可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.故选C.3．(2024·河南焦作高三月考)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 ∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴由角平分线定理，得BD AD ＝BC AC ＝12，∵AB →＝CB →－CA →＝a－b ，∴AD →＝23AB →＝23a －23b ，∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b .故选B.4．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，肯定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b答案 C解析 “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”．故选C.5．(2024·云南昆明摸底)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →答案 A解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A.6. (2024·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.13AB →－23AD → B ．－23AB →＋13AD →C ．－13AB →＋23AD →D.23AB →－13AD → 答案 B解析 如图，连接AC ，依据平面对量的运算法则，得BF →＝12BA →＋12BE →，BE →＝23BC →，BC →＝AC →－AB →.因为AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12AB →，所以BF →＝－12AB →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →－AB →＝－23AB →＋13AD →.故选B.7. 如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b答案 D解析 如图，连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .故选D.8．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内随意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.9．(2024·山西太原模拟)已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析 设E 是BC 边的中点，则12(OB →＋OC →)＝OE →，由题意得AO →＝OE →，所以AO →＝12AE →＝14(AB →＋AC →)＝14AB →＋14t AD →，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.10．△ABC 所在的平面内有一点P ，满意PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34 答案 C解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.故选C.11. (2024·安徽滁州模拟)古希腊数学家欧多克索斯在深化探讨比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满意AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5 D.5＋1答案 C解析 由题意，得AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →.∴x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52.∴x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.故选C.12. 如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤ 答案 B解析 如图1，在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA ，则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，解除A ，C ；如图2，取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF <13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，解除D.故选B.13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ . 答案 12解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴存在实数k ，使λa ＋b ＝k (a ＋2b )，∴(λ－k )a ＋(1－2k )b ＝0.∵a 与b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，1－2k ＝0，解得λ＝12.14. (2024·甘肃嘉峪关市模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为 ．答案 2解析 解法一：∵点O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2. 15．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 的形态是 ． 答案 矩形解析 由向量加法的平行四边形法则可知，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →，∵|BC →＋BA →|＝|BC→＋AB →|，∴|BD →|＝|AC →|，即平行四边形ABCD 的两条对角线相等，∴四边形ABCD 为矩形．16．(2024·山东德州模拟)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是 ．答案 0≤μ≤12解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12. 17. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M ，N ，C 三点共线．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，在△ABD 中，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝b －a . ∵点N 是BD 的三等分点， ∴BN →＝13BD →＝13(b －a )．∵BC →＝b ，∴CN →＝BN →－BC →＝13(b －a )－b ＝－13a －23b . ①∵M 为AB 的中点，∴MB →＝12a ，∴CM →＝－MC →＝－(MB →＋BC →)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＝－12a －b . ②由①②可得CM →＝32CN →，故CM →∥CN →，又CM →与CN →有公共点C ， ∴M ，N ，C 三点共线．18. 如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 在OB 上，且OD →＝23OB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求λ的值．解 (1)因为点A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .因为OD →＝23OB →，从而DC →＝OC →－OD →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC →＝μDC →，又EC →＝OC →－OE →＝2a －b －λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，所以λ＝45.。