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对数函数及其性质（三）教学目标（一）教学知识点1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法． （二）能力训练要求1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数． （三）德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点1．反函数的概念； 2．反函数的求法．教学难点反函数的概念．教学过程一、复习引入：1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vst =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数，定义域s ≥0，值域t ≥0．问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？ 问题２：函数vst =中，谁是谁的函数？ 问题３：函数s =vt 与函数vst =之间有什么关系？ 2、又如，在函数y ＝2x ＋6中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R ． 我们从函数y ＝2x ＋6中解出x ，就可以得到式子32-=yx ． 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=yx ，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R ．3、再如：指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，由指数式与对数式的互化有：y x a log = 对于y 在（0，+∞）中任何一个值，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y x a log =，y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈（0，+∞），值域是x ∈R ． 二、讲解新课：1．反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =ϕ(y )． 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =ϕ(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=，习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s =vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vtt f=-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-xx f ． 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y =，),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2探讨3：)(1x fy -=的反函数是什么？若函数)(x f y =有反函数)(1x fy -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：（1）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称．（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=.解：①由13-=x y 解得31+=y x∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y ，∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-= 小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．例2． 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log 3a =， ∴3a =.【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a . 例3．已知函数1)(+==x x f y ，求)3(1-f的值．解：方法一：∵0≥x ∴1≥y 由1+=x y 解得：2)1(-=y x∴)1()1()(21≥-=x x x f 为原函数的反函数， ∴)3(1-f ＝4．方法二：由反函数的定义得：13+=x ， 解得：x ＝4， 即)3(1-f ＝4．练习1．求下列函数的反函数：（1）y =x4(x ∈R ), (2)y =x 25.0(x ∈R ), (3)y =x )31((x ∈R ),(4)y =x)2((x ∈R ), (5)y =lg x (x ＞0), (6)y =24log x (x ＞0)(7)y =a log (2x )(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=alog 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0) 解：（1）所求反函数为：y =4log x(x ＞0), (2)所求反函数为：y =25.0log x(x ＞0) (3)所求反函数为：y =x 31log (x ＞0), (4)所求反函数为：y =x 2log(x ＞0)(5)所求反函数为：y =x10 (x ∈R), (6)所求反函数为：y =24x=x2 (x ∈R) (7)所求反函数为:y =xa 21(a ＞0,且a ≠1,x ∈R ) (8)所求反函数为：y =2xa (a ＞0,且a ≠1,x ∈R )练习2．函数y =3x 的图象与函数3log y x =的图象关于（D ）A.y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. y x =直线对称 （备选题）3．求函数2385-+=x x y 的值域．解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35}（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数()n mx y +=既在函数若点2,1.,,,n m 求又在其反函数图象上上解：由已知得：⎩⎨⎧=+=+122n m n m ，即⎩⎨⎧=-=73n m ， 故m 、n 的值分别是－3、7．（备选题）5．mx x x f +-=25)(已知的值求对称的图象关于直线m x y ,=．解：由已知可知，)(x f 的反函数是它的本身，即)()(1x f x f -=．由m x x x f +-=25)(得,125)(1---=-x mx x f 所以12525---=+-x mx m x x 恒成立． 比较对应系数得.1-=m五、课堂小结1．反函数的定义；求反函数的步骤． 2．互为反函数的函数图象间关系；3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 六、课外作业：1. 阅读教材P.73；2. 《学案》P.88~ P.89.。
§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使ya x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．例题1：求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象x注意到：122log log y x x ==-，若点2(,)log x y y x =在的图象上，则点12(,)log x y y x -=在的图象上. 由于（,x y -）与（,x y -）关于x 轴对称，因此，12log y x =的图象与2log y x =的图象关于x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出12log y x =的图象 ..例题训练：1. 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4,log 8.5（2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以22log 3.4log 8.5<. 解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9. 所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9. 所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1,ba b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a ==则 则2 5.9b a =则当a ＞1时，x y a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，xy a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ８５ 练习 第２，３题 补充练习1．已知函数(2)xy f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为 2．求函数22log (1)y x x =+≥的值域.3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1 4．已知0＜a ＜1, b ＞1, ab ＞1. 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b归纳小结：② 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质，列表展现.。
