高等代数

全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。

《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。

通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。

同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。

在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。

二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。

2、理解该学科的主要概念、基本原理。

如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。

3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。

4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。

三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。

教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。

本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。

第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。

一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。

教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。

五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。

《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。

第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。

形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。

定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。

定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。

我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。

第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。

Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。

二、基本方法1.V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,证明V =V 1△V 2只要证明以下两点:(1)V 1∩V 2={0};(2)dim V =dim V 1+dim V 22.求线性空间V 的基与维数,可先找到V 的一个生成元组n ααα,,,21 ,然后证明n ααα,,,21 线性无关.3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.4.几种常见的线性空间:(1)数域P 上的线性空间Pn ,dim Pn=n ,是Pn 的一组基,其中 =(0,…,1,…,0),i =1,2,…,n .(2)数域P 上的线性空间Pm ×n ,dim Pm ×n =mn , Eij ,i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n 是Pm ×n 的一组基,其中Eij 是第i 行第j 列的元素为1,其余元素为0的m ×n 矩阵.(3)数域P 上的线性空间P [x ]n ,dim P [x ]n =n.1,x ,x 2,…,xn -1是P [x ]n 的一组基.5.求线性变换σ的特征值与特征向量的方法:(1)取定V 的一组基n εεε,,,21 ,写出 σ 在这组基下的矩阵A .(2)求出| λE-A |在数域P 中的全部根,它们就是σ的全部特征值.(3)对每个特征值 i λ,解齐次线性方程组(i λE-A )X =0,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 n εεε,,,21 下的坐标.注意:在解方程|λE-A |=0时,最好能分离出关于 λ 的因式,否则可用求整系数的有理根的方法求它的根.(一般地,A 的元素是整数).三、例题考点1：线性空间的定义、维数与基,坐标变换考点点拨:主要对线性空间的定义、线性空间的维数和基的求出,以及线性空间中不同基之间的坐标变换的考查.例6.1.1 (西安交通大学,2004年)设A ∈Rn ×n (R 表示实数域)记S (A )={Z |AZ =ZA ,Z ∈Rn ×n }(1)证明: S (A )为Rn ×n 的子空间.(2)若取A 为对角阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n 001 ,求S (A )的基与维数. 解: (1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.对任意Z 1,Z 2∈S (A ),任意k ∈R ,有A (Z 1+Z 2)=AZ 1+AZ 2=Z 1A +Z 2A =(Z 1+Z 2)A .知Z 1+Z 2∈S (A ). (kZ 1)A =kAZ 1=A (kZ ).知kZ 1∈S (A ).即知S (A )为一个子空间.(2)对任何矩阵C ,若:C n n C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001 那么比较等式两边易得C (i ,j )=0(i ≠j ),于是S (A )的维数为n 维,它的一组基可取为E 11,E 22,…,Enn . □例6.1.2 (北京航空航天大学,2005年)设向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 是两组n 维向量,证明:若这两个向量组都线性无关,则 ),,,(),,,(2121t s L L βββααα ⋂ 的维数等于齐次方程组022112211=+++++++t t s s y y y x x x βββααα 的解空间的维数证明:设 >=<s W ααα,,,211 , ><t W βββ,,,212 ,那么由题知dim(W 1)=s ,dim(W 2)=t . 记矩阵),,,,,,,,(2121t s A βββααα = X =(x 1,x 2,…,xs ,y 1,y 2,…,yt )T .那么方程组AX =0的解空间的维数为:s +t -r (A ),注意到W 1+W 2= ><t s βββααα,,,,,,,2121 ,那么显然有dim(W 1+W 2)=r (A ).于是有:s +t -r (A )=dim W 1+dim W 2-dim(W 1+W 2)=dim(W 1∩W 2).即解空间的维数等于><⋂><t s βββααα,,,,,,2121 的维数例6.1.3 (北京理工大学,2004年)设A ,B 分别是数域K 上的p ×n 、 n ×m 矩阵,令V ={x |x ∈Km ,ABx =0},W ={y |y=Bx ,x ∈V }.证明: W 是向量空间的子空间,且dim W =r (B )-r (AB ).证明: 要证明W 是一个子空间,只要说明它对加法和数乘封闭即可.若y 1,y 2∈W ,k ∈K ,那么存在x 1,x 2∈V ,使得y 1=Bx 1,y2=Bx 2,显然V 是方程组ABx =0的解空间,它是一个子空间,那么有x 1+x 2∈V , kx 1∈V ,这时y 1+y 2=Bx 1+Bx 2=B (x 1+x 2).于是有y 1+y 2∈W ,而ky 1=kBx 1=B(kx 1),知ky 1∈W ,知W 必是向量空间的一个子空间.把B 看成是向量空间Km 到向量空间Kn 的线性映射,那么有:W =B (V ),于是有: dim ImB |V +dim kerB |V =dim V (I)注意到ImB |V=W ,那么有dim ImB |V=dim W .而dim V =m -r (AB ),kerB |V =kerB ∩V .若Bx =0,显然有ABx =0,所以有kerB ⊆V ,那么有B=B ∩V .注意到dim kerB 即为Bx =0的解空间的维数,它等于m -r (B ),于是有dim kerB|V =dim kerB ∩V =dim kerB =m-r (B ),代入等式(I)有: dim W+(m-r (B ))=m -r (AB ). 移项即得: dim W =r (B )-r (AB ). □例6.1.4 (中南大学,2003年)设P 是一个数域,A 是Pn ×n 中一个矩阵,令F (A )={f (A )|f (x )∈P [x ]}.证明:(1)F (A )是Pn ×n 的一个线性子空间.(2)可以找到非负整数m ,使I ,A ,A 2,…,Am 是F (A )的一组基.(3)F (A )的维数等于A 的最小多项式的次数.解: (1) 任取f (A ),g (A )∈F (A ),k ∈P , 有f (A )+g (A )=(f+g )(A ).显然由f (x ), g (x )∈P [x ]可得(f+g )(x )=f (x )+g (x )∈P [x ],于是有f (A )+g (A )∈F (A ).而kf (A )=(kf )(A ),那么由kf (x )∈P [x ] 可知kf (A )∈F (A ),即知F(A )是Pn ×n 的一个线性子空间.(2) 不妨设A 的最小多项式为)(λm ,并记 ))((λm ∂ =m +1,那么由m (A )=0 且)(λm 的首项系数为1可知Am +1可被I ,A ,A 2,…,Am 线性表出.显然有任意f (A )∈F (A ),都可使得f (A )被I ,A ,A 2,…,Am 线性表出.下证I ,A ,A 2,…,Am 线性无关,利用反证法.若I ,A ,A 2,…,Am 线性相关,那么存在一组不全为零的数k 0,k 1,…,km ∈P ,使得:k 0I +k 1A +k 2A 2+…+kmAm =0.令h (x )=k 0+k 1x +k 2x 2+…+kmxm ,显然有h (A )=0且))(())((x m m x h ∂≤≤∂ ,这将与 是A 的最小多项式矛盾.于是I ,A ,A 2,…,Am 线性无关,那么I ,A ,A 2,…,Am 构成F (A )的一组基.(3)显然由第(2)问知I ,A ,A 2,…,Am 构成F (A )的一组基,那么有dim(F (A ))=m +1=)).((x m ∂例6.1.5 (北京大学,2002年)用Mn (K )表示数域K 上所有n 阶矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法它成为K 上的线性空间.数域K 上n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n称为循环矩阵.用U 表示K 上所有n 阶循环矩阵组成的集合.证明:U 是Mn (K )的一个子空间,并求U 的一个基和维数.证明: 令矩阵:。