下载文档原格式
《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。
本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。
2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。
提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。
培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。
使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。
（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。
熟练掌握行列式、矩阵的运算。
熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。
（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。
培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。
培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。
培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。
（/图
表格下列分学科标签）
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材全国高等院校土木与建筑专业十二五创新规划教材。
《高等代数》课程简介一、课程概述《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识。
尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。
《高等代数》是中学代数的继续和提高。
通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。
二、本课程的教学目的及要求1、使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
2、使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
3、使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
4、逐步培养学生的对知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例（正例和反例）的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
5、使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
6、根据教学的实际内容的需要，对课程标准中所列各章内容，分别提出了具体的教学内容与内容要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
7、通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习作课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解《高等代数》的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
数学分析高等代数参考书书单1.前言由于目前网络上数学分析与高等代数的参考书籍鱼龙混杂,特别制作一份书单,帮助学习数学分析与高等代数的学友清除认知障碍.事先声明,由于精力有限,笔者未能将书单中所有书籍细读过,只对笔者精读过的或者主流书籍做详细评价,其中部分评价是来源于网络与网友,若有不同的见解或者认为笔者的理解有误,恳请指出或补充。
2.数学分析板块以下分四个梯队介绍国内主流的数学分析读物(包含教材和习题集),最后还整理了一份硬核书单,建议读者量力而行。
梯队顺序是结合难度、应试、流畅性、流行度等等综合考虑的,并不是排在后面的一定质量不行。
同一梯队中一般不以质量设先后排名。
2.1第一梯队1.谢惠民.恽自求.易法槐.钱定边《数学分析习题课讲义》真正的数学分析习题集,数学分析的巅峰，打穿数学分析的必经之路。
正文介绍了许多在其他书中看不到的内容（如Dirichlet判别法的充要性,Gibbs现象），作者搜集了许多美国数学月刊上的问题。
思考题一针见血，正中靶心，完美诠释了初学者对一些问题的疑问;练习题多为中档题（考研难度，大量题目是考研真题），但也有些难题参杂其中;参考题整体难度偏高,许多题材来自于美国数学月刊,第二组参考题会涉及后续课程（实变泛函拓扑组合概率等等）的内容。
北大历年大一习题课教材，如果能全部独立做完足以和清北大佬谈笑风生。
唯一感觉不足的是小部分习题的选取煞风景，例如多元部分摘取了大量吉米多维奇上的繁琐计算题，又有些参考题难度的习题放在练习题，练习题难度的习题放在参考题。
当然，都是少数，瑕不掩瑜。
谢惠民也有一份讲稿,但不成气候,不作推荐。
2.徐森林.薛春华《数学分析》《数学分析精选习题全解》难度不逊于谢惠民,曾经的CMC数学类题库。
多元部分较为精彩（有较多篇幅介绍流形）,高度与深度齐备，内容齐全厚实，许多题目给了多种解法。
题材上与谢惠民史济怀有大量重复，尤其是史济怀的问题基本上可以在徐森林上找到，谢惠民的一些参考难题也可以找到。
高等代数课程教材及参考文献：
课程教材：
（1）《高等代数》（第四版）张禾瑞、郝鈵新编 高等教育出版社；
课程参考文献：
（1）《高等代数》 北京大学编 高等教育出版社 （国家优秀奖）；
（2）《高等代数》 丘维声编 高等教育出版社（十五国家级规划教材）；
（3）《高等代数》 牛凤文等编 高等教育出版社；
（4）《数学建模引论》阮晓青、周义仓编 高等教育出版社（十五国家课题成果）；
（5）《Mathematica 4.0实用教程》 刘元高、刘耀儒编 国防工业出版社；
（6）《高等代数与解析几何》陈志杰编高等教育出版社（国家精品课主讲教材）；
（7）《代数学引论》 聂灵沼、丁石孙编 高等教育出版社（面向二十一世纪教材、国家优秀教材一等奖）；
（8）《矩阵理论》 黄廷祝、钟守铭、李正良编 高等教育出版社（本科、研究生高校教材）；
（9）《线性代数》（英文原版） Stephen.H.Friedberg。
高等代数教材及教学参考书
一、高等代数教材
《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社,1988年,第二版,本书第一版在1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖。
二、高等代数教学参考书
1《高等代数》（第四版），张禾瑞，郝柄新编，高等教育出版社，2002年出版。
2《高等代数》(上、下册) ，丘维声编，高等教育出版社，1996年出版,国家“九五”重点教材。
3《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编，清华大学出版社，2002年出版。
4《高等代数》(北大.第三版)导教.导学.导考，徐仲等编，西北工大出版社。
5《高等代数简明教程》（上、下），蓝以中教授编著，北京大学出版社2002出版。
6《高等代数》，刘仲奎编，高等教育出版社，2003年出版。
7《高等代数学》，姚慕生编著，复旦大学出版社，2005年出版。
8《高等代数学》，张贤科, 许甫华编著，清华大学出版社，2005年出版。
9《高等代数考研教案》徐仲等编著，西北工业大学出版社，2006年出版。
化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。
它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。
二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。
而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。
下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。
二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。
我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。
化二次型为标准形的方法一． 配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。
1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
序高等代数是大学数学科学学院（或数学系，应用数学系）最主要的基础课程之一。
本套教材是作者在北京大学进行高等代数课程建设和教学改革的成果，它具有下述鲜明特色。
１．明确主线：以研究线性空间和多项式环的结构及其态射（线性映射，多项式环的通用性质）为主线。
自从１８３２年伽罗瓦（Ｇａｌｏｉｓ）利用一元高次方程的根的置换群给出了方程有求根公式的充分必要条件之后，代数学的研究对象发生了根本性的转变。
研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算的映射）成为现代代数学研究的中心问题。
２０世纪，代数学研究结构及其态射的观点已经渗透到现代数学的各个分支中。
因此，在高等代数课程的教学中贯穿研究线性空间和多项式环的结构及其态射这条主线，就是把握住了代数学的精髓。
本套教材上册的第１，２，３章研究线性方程组的解法、解的情况的判别和解集的结构时，贯穿了研究数域犓上狀维向量空间犓狀及其子空间的结构这条主线。
线性方程组是数学中最基础、最有用的知识，狀维向量空间犓狀是狀维线性空间的一个具体模型，狀元齐次线性方程组的解空间的维数公式本质上是线性映射的核与值域的维数公式。
因此把线性方程组和狀维向量空间犓狀作为高等代数课程的开始部分的内容，既符合学生的认知规律，又是高等代数知识的内在规律的体现。
上册的第４，５，６章研究矩阵的运算，矩阵的相抵、相似、合同关系及与它们有关的矩阵的特征值和特征向量、二次型。
研究矩阵的运算为研究线性映射打下了基础。
矩阵的相抵关系在解决有关矩阵的秩的问题中起着重要作用，而矩阵的秩本质上是相应的线性映射的值域的维数。
研究矩阵的相似标准形本质上是研究线性变换在一个合适的基下的矩阵具有最简单的形式。
研究对称矩阵的合同标准形与研究二次型的化简密切相关，而二次型与线性空间犞上的双线性函数有密切联系。
本套教材下册的第７章研究一元和狀元多项式环的结构及其态射（多项式环的通用性质），第８章研究线性空间的结构，第９章研究线性映射，第１０章研究具有度量的线性空间的结构及与度量有关的线性变换。
第１１章研究多重线性代数时，基础概念是多重线性映射，主要工具是线性空间的张量积。
２．内容全面。
本套教材包括线性代数，多项式理论，环、域、群的概念及重要例子，多重线性代数，共四部分。
在下册第７章从数域犓上所有一元多项式组成的集合、整数集、数域犓上所有狀级矩阵组成的集合都有加法和乘法运算，自然而然地引出了环的概念；从数域犓上所有分式组成的集合、模狆剩余类（狆是素数）组成的集合，水到渠成地引出了域的概念。
于是我们在下册第８章讲的是任意域上的线性空间，而不只是数域上的线性空间。
这是当今信息时代的需要，因为在信息的安全与可靠中大量使用二元域上的线性空间理论。
我们不仅着重研究有限维的线性空间，也研究无限维的线性空间，因为许多函数空间都是无限维线性空间。
我们在第９章不仅研究线性变换的Ｊｏｒｄａｎ标准形，而且研究线性变换的有理标准形。
我们在第１０章不仅研究欧几里得空间和酉空间，而且研究正交空间和辛空间；不仅研究欧几里得空间上的正交变换、对称变换，酉空间上的酉变换，而且研究酉空间上的Ｈｅｒｍｉｔｅ变换、正规变换。
在第１０章讲了欧几里得空间上的正交变换，酉空间上的酉变换，正交空间上的正交变换，辛空间上的辛变换之后，水到渠成地引出群的概念，介绍了正交群、酉群、辛群。
我们在第１１章研究了线性空间的张量积，张量及张量代数，外代数（或格拉斯曼（Ｇｒａｓｓｍａｎｎ）代数），它们在微分几何、现代分析、群表示论和量子力学等领域中有重要应用。
本套教材的第一、二、三个组成部分，内容之间的内在联系可以用下述框图来表示：·Ⅱ·高等代数（上册）３．理论深刻。
本套教材阐述了深刻的理论，证明了许多重要结论。
举例如下：矩阵犃的秩是犃的行向量组的秩，也是犃的列向量组的秩。
犃的秩等于犃的不为零的子式的最高阶数，等于犃的行向量组生成的子空间（简称为行空间）的维数，等于犃的列向量组生成的子空间（简称为列空间）的维数。
设犞是域犉上的狀维线性空间，犞上的线性变换犃在犞的一个基α１，α２，…，α狀下的矩阵为犃，则犃的秩等于犃的值域的维数。
设犞中向量组β１，β２，…，β狊的坐标组成的矩阵为犅，则犅的秩等于β１，β２，…，β狊生成的子空间的维数。
由此可知，矩阵的秩是一个非常深刻的概念，它有许多重要应用。
例如，线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相等的秩。
狀元齐次线性方程组犃犡＝０的解空间的维数等于狀－ｒａｎｋ（犃）。
矩阵方程犃犡＝犅有解的充分必要条件是ｒａｎｋ（犃）＝ｒａｎｋ（犃，犅）。
矩阵方程犃犅犡＝犃有解的充分必要条件是ｒａｎｋ（犃犅）＝ｒａｎｋ（犃）。
矩阵方程犃犡－犢犅＝犆有解的充分必要条件是ｒａｎｋ犃００（）犅＝ｒａｎｋ犃犆０（）犅．域犉上狀级矩阵犃是幂等矩阵（即犃２＝犃）当且仅当ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犐－犃）＝狀．特征不等于２的域犉上狀级矩阵犃是对合矩阵（即犃２＝犐）当且仅当ｒａｎｋ（犃＋犐）＋ｒａｎｋ（犃－犐）＝狀．设犃１，犃２，…，犃狊都是域犉上的狀级矩阵，则犃１，犃２，…，犃狊都是幂等矩阵且犃犻犃犼＝０（当犻≠犼）的充分必要条件是∑狊犻＝１犃犻是幂等矩阵，且ｒａｎｋ（∑狊犻＝１犃犻）＝∑狊犻＝１ｒａｎｋ（犃犻）．Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ秩不等式：设犃、犅分别是域犉上狊×狀，狀×犿矩阵，则ｒａｎｋ（犃犅）≥ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犅）－狀．在Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ秩不等式中，等号成立的充分必要条件是ｒａｎｋ犃０犐狀（）犅＝ｒａｎｋ犃００（）犅． 设犃，犅分别是域犉上狊×狀，狀×狊矩阵，则ｒａｎｋ（犃－犃犅犃）＝ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犐狀－犅犃）－狀．从而犅是犃的一个广义逆当且仅当ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犐狀－犅犃）＝狀。
设犃，犅，犆，犇都是数域犓上的狀级矩阵，且犃犆＝犆犃，则犃犅犆犇＝狘犃犇－犆犅狘． 设犃，犅分别是数域犓上的狊×狀，狀×狊矩阵，则狘犐狊－犃犅狘＝狘犐狀－犅犃狘．利用这个结论证得，犃犅与犅犃有相同的非零特征值，并且重数相同。
设犃＝犃１犃２犃３犃烄烆烌烎４是数域犓上狀级对称矩阵，且犃１是狉级可逆矩阵，则·Ⅲ·序犃犃１００犃４－犃２′犃－１１犃烄烆烌烎２，狘犃狘＝狘犃１狘狘犃４－犃２′犃－１１犃２狘．利用这个结论简洁地证得，实对称矩阵犃是正定的充分必要条件是：犃的所有顺序主子式全大于０。
利用上述结论还证得，设犕＝犃犅（）犅′犇是狀级正定矩阵，则狘犕狘≤狘犃狘狘犇狘，等号成立当且仅当犅＝０。
进而证得，若犃＝（犪犻犼）是狀级正定矩阵，则狘犃狘≤犪１１犪２２…犪狀狀，等号成立当且仅当犃是对角矩阵。
由此立即得到Ｈａｄａｍａｒｄ不等式：若犆＝（犮犻犼）是狀级实矩阵，则狘犆狘２≤∏狀犼＝１（犮２１犼＋犮２２犼＋…＋犮２狀犼）．数域犓上狀级矩阵犃能够分解成一个主对角元都为１的下三角矩阵犅与可逆上三角矩阵犆的乘积犃＝犅犆（称为犔犝－分解）当且仅当犃的各阶顺序主子式全不为０，并且犃的这种分解是唯一的。
狀级实可逆矩阵犃能够唯一地分解成正交矩阵犜与主对角元都为正数的上三角矩阵犅的乘积犃＝犜犅。
设犃是犿×狀列满秩实矩阵，则犃能够唯一地分解成犃＝犙犚，其中犙是列向量组为正交单位向量组的犿×狀矩阵，犚是主对角元都为正数的狀级上三角矩阵，这称为犙犚－分解。
设犃是狀级实可逆矩阵，则存在正交矩阵犜和两个正定矩阵犛１，犛２，使得犃＝犜犛１＝犛２犜，并且犃的这两种分解的每一种都是唯一的。
（这称为极分解定理）。
设犃是狀级复可逆矩阵，则存在酉矩阵犘和两个正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵犎１，犎２，使得犃＝犘犎１＝犎２犘，并且犃的这两种分解的每一种都是唯一的。
（这也称为极分解定理）。
对于任一狀级实可逆矩阵犃，存在两个正交矩阵犜１，犜２，使得犃＝犜１ｄｉａｇ｛λ１，λ２，…，λ狀｝犜２，其中λ２１，λ２２，…，λ２狀是犃′犃的全部特征值。
设犃是犿×狀实矩阵，则犃可以分解成犃＝犙犇犜′，其中犙是列向量组为正交单位向量组的犿×狀矩阵；犇是主对角元λ１，λ２，…，λ狀全为非负数的狀级对角矩阵，且λ２１，λ２２，…，λ２狀是犃′犃的全部特征值；犜是狀级正交矩阵，它的第犼列是犃′犃的属于特征值λ２犼的一个特征向量，犼＝１，２，…，狀。
犃的这种分解称为奇异值分解，其中犇的非零的主对角元称为犃的奇异值。
犃的奇异值分解在生物统计学等领域中有应用。
设犳（狓），犵（狓）∈犉［狓］，域犈 犉，则在犉［狓］中犵（狓）｜犳（狓）当且仅当在犈［狓］中犵（狓）｜犳（狓），称之为整除性不随域的扩大而改变。
犳（狓）与犵（狓）的首项系数为１的最大公因式也不随域的扩大而改变，从而互素性也不随域的扩大而改变。
若犉是特征为０的域，则犳（狓）有无重因式不随域的扩大而改变。
我们证明了：设犃是域犉上的狀级矩阵，域犈 犉，则犃的最小多项式犿（λ）不随域的扩大而改变。
显然，犃的特征多项式不随域的扩大而改变。
我们还证明了：犃的特征多项式犳（λ）与犃的最小多项式犿（λ）在域犉中有相同的根（重数可以不同），在域犈中也有相同的根（重数可以不同）。
本套教材在研究线性空间的结构时，证明了有限维线性空间的许多结论对于无限维线性空间也成立。
例如，域犉上线性空间犞的两个子空间犞１，犞２（它们可以是无限维的）的和是直和当且仅当犞１的一个基与犞２的一个基合起来是犞１＋犞２的一个基。
域犉上线·Ⅳ·高等代数（上册）性空间犞的任一子空间犠（可以是无限维的）都有补空间，即存在犞的子空间犝，使得犞＝犠 犝。
从而对于犞的任一子空间犠，都存在平行于犠的一个补空间犝在犠上的投影犘犠，并且Ｉｍ犘犠＝犠，Ｋｅｒ犘犠＝犝。
若犃是域犉上线性空间犞上的幂等线性变换，则犃是平行于Ｋｅｒ犃在Ｉｍ犃上的投影，且犞＝Ｉｍ犃 Ｋｅｒ犃。
反之，若犞＝犠 犝，则平行于犝在犠上的投影犘犠是幂等变换，平行于犠在犝上的投影犘犝也是幂等变换，且犘犝犘犠＝犘犠犘犝＝０（此时称犘犝与犘犠正交），犘犝＋犘犠＝犐。
投影是最基本的线性变换。
设犞是域犉上的线性空间（可以是无限维的），犃是犞上的一个线性变换。
在犉［狓］中，犳（狓）＝犳１（狓）犳２（狓）…犳狊（狓），其中犳１（狓），犳２（狓），…，犳狊（狓）两两互素，则Ｋｅｒ犳（犃）＝Ｋｅｒ犳１（犃） Ｋｅｒ犳２（犃） … Ｋｅｒ犳狊（犃）．（１） 设犃是域犉上狀维线性空间犞上的线性变换，如果犃的特征多项式犳（λ）在犉［λ］中能分解成犳（λ）＝（λ－λ１）狉１（λ－λ２）狉２…（λ－λ狊）狉狊，（２）其中λ１，λ２，…，λ狊是犉中两两不等的元素，狉犻＞０，犻＝１，２，…，狊。
则犞＝Ｋｅｒ（犃－λ１犐）狉１ Ｋｅｒ（犃－λ２犐）狉２ … Ｋｅｒ（犃－λ狊犐）狉狊，其中Ｋｅｒ（犃－λ犼犐）狉犼，犼＝１，２，…，狊，称为犃的根子空间；并且犃的根子空间Ｋｅｒ（犃－λ犼犐）狉犼的维数等于犃的特征值λ犼的代数重数狉犼，犼＝１，２，…，狊。
