北京四中数学高考一轮总复习巩固练习：31不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。

在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。

一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。

1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。

1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。

1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。

二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。

2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。

三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。

解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。

3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。

3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。

不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。

解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。

在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

下面将分别介绍这些类型不等式的解法。

一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。

4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。

4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。

5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。

绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。

2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。

一、不等式复习重点：不等式主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

不等式的综合应用【考纲要求】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;2．掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;4．通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识．． 【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化．在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰．通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是：作差(商)→变形 →判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维等,将会起到很好的促进作用．在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当不等式的综合应用解不等式问题实际应用问题不等式中的含参问题不等式证明的证明方法．通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点．考点二：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用．在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

【巩固练习】一、选择题1．不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128313x x x x 的解集应为（ ）． A 、2-<x B 、722≤<-x C 、12≤<-x D 、2-<x 或x ≥1 2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）．A ．80元B ．100元C ．120元D ．160元3．不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2>x ，则m 的取值范围是（ ）． A.2≤mB. 2≥mC.1≤m D. 1>m 4．若不等式组12x x k<≤⎧⎨>⎩ 有解，则k的取值范围是（ ）．A.2k <B. 2k ≥C.1k <D. 12k ≤<5．如果不等式ax+4＜0的解集在数轴上表示如图,那么a 的值是( ) ．A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a=－2D ．a=26. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．A ．5B ．4C ．3D ．27.如图，用两根长度均为Lcm 的绳子，分别围成一个正方形和圆．则围成的正方形和圆的面积比较（ ）．A ．正方形的面积大B ．圆的面积大C ．一样大D ．根据L 的变化而变化8.已知,a b 为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为22x -<<的不等式组是（ ）．A ．11ax bx >⎧⎨>⎩B ．11ax bx >⎧⎨<⎩C ．11ax bx <⎧⎨>⎩D ．11ax bx <⎧⎨<⎩二、填空题 9．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧--0x 230a x ＞＞的整数解共有4个，则a 的取值范围为 ． 10．已知方程组⎩⎨⎧=+=-7325ay x y ax 的解满足⎩⎨⎧<>00y x ，则a 的取值范围 ．11. 若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是. 12.某超市在“六一节，大促销”活动中规定：一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠.小红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买 支钢笔才能享受打折优惠.13.已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围 .14.如果关于x 的不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的正数解仅为1,2,3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 .15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 .16.若不等式组114111.5(1)()0.5(21)22x x a x a x x +⎧+>⎪⎪⎨⎪-+>-+-⎪⎩①②只有一个整数解，则a 的取值范围 ． 三、解答题 17.已知x 满足⎪⎩⎪⎨⎧3)12(24213120)93(33)62(18)3(35－＜－－－＞－－－＋－x x x x x x ，化简|x －3|＋|2x －1| ． 18. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥-<-nm x m x 2342的解集是32<≤-x ，求2)(n m +的值. 19.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？20. 今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台．若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台?【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】解第一个不等式得2x >-，解第二个不等式得1x ≤，所以不等式组的解集为21x -<≤．2. 【答案】C ；【解析】解：设降价x 元时商店老板才能出售．则可得： 360－x ≥3601.8×（1+20%） 解得：x ≤120．3. 【答案】C ；【解析】解第一个不等式得x ＞2，由题意可得1m +≤2，所以m ≤1．4. 【答案】D ；【解析】画数轴进行分析．5. 【答案】C ；【解析】由已知a ＜0且x ＞－a 4，则－24＝a，即2a =-. 6. 【答案】A ；【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x 、y 、z ， 根据已知条件， 有2522x y z y =⎧⎨=⎩①②①×2－②×5，得2x ＝5y ，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5．7. 【答案】B ；8. 【答案】D ；【解析】由选项及解集可得a b 、一正一负，不防设a 正b 负代入选项验证．二．填空题9.【答案】23-<≤-a ；【解析】解得不等式组的解集为32a x <<，要使其中包含4个整数，所以23-<≤-a ． 10.【答案】710a 157＜－<；【解析】方程组⎩⎨⎧=+=-7325ay x y ax 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=223210732715a a y a a x 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->++03210703271522a a a a ，∴⎩⎨⎧<->+01070715a a 解得：－710157<<a ． 11. 【答案】2≥m ；【解析】要使原不等式无解，则需满足211m m -≥+，得m ≥2．12.【答案】14；【解析】设小红买x 支钢笔才能享受打折优惠，则：1568200x ⨯+>，解得3134x >，又x 为正整数， 所以14x =．13.【答案】 k ≥-3；【解析】3k-5x=-9，x=935k +，930,5k +≥ 解得k ≥-3． 14. 【答案】09a <≤，2432b <≤；15．【答案】3，1；【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．故当密文是1，7时，得2127a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得31a b =⎧⎨=⎩． 也就是说，密文1，7分别对应明文3，1．16．【答案】1＜a ≤2．【解析】先把a 看成一个固定数，解关于x 的不等式组，再由不等式组的解集研究a 的取值范围．三.解答题17.【解析】解：原不等式组可化为：⎪⎩⎪⎨⎧0)12(32)12(41)12(310)3(99)3(36)3(35＜－－－＋－＞－－－＋－x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛0)12(3241310)3)(993635(＜－－＋＞－－＋x x ， ∵35＋36－99＜0，0324131＜－＋ ， ∴⎩⎨⎧01203＞－＜－x x ，于是，|x －3|＋|2x －1|＝(3－x)＋(2x －1)＝x ＋2．18.【解析】解： 原不等式组可化为：⎩⎨⎧+≥+<n m x m x 2342，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+<3224n m x m x ，根据条件可得： 2432+<≤+m x n m 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+232324n m m ， 解得⎩⎨⎧-==102n m ， 当10,2-==n m 时， 2)(n m +=64)102(2=-．19.【解析】解：（1）设新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，根据题意，得0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：0.10.5x y =⎧⎨=⎩答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．（2）设建m 个地上停车位，则建（50-m ）个地下停车位，根据题意，得12＜0.1m+0.5（50-m ）≤13，解得：30≤m＜652∵m 为整数，∴m=30，31，32∴50-m=20,19,18.答：有三种建造方案：方案一：新建30个地上停车位和20个地下停车位；方案二：新建31个地上停车位和19个地下停车位；方案三：新建32个地上停车位和18个地下停车位.20. 【解析】解：设购买甲种设备x 台，则购买乙种设备(12-x)台，购买设备的费用为：4000x+3000(12-x)；安装及运输费用为：600x+800(12-x)．由题意得：40003000(12)40000600800(120)9200x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩．解之得：2≤x ≤4．∴ 可购甲种设备2台，乙种设备10台或购甲种设备3台，乙种设备9台，或购甲种设备4台，乙种设备8台．。

北京四中高考数学总复习 不等式的综合应用基础巩固练习1．设m ＞1，在约束条件 1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1+） B ．（1+∞ ） C ．（1,3 ） D ．（3，+∞ ）2．已知函数3()f x x x =+，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1+x 2＜0，x 2+x 3＜0，x 3+x 1＜0，那么123()()()f x f x f x ++的值（ ）A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能3．已知关于x 的不等式(ax －5)(x 2－a)＜0的解集为M ，若3∈M 且5∉M ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5(,)(9,)3-∞⋃+∞B ．[1,25)C ．5[1,)(9,25]3⋃D ．[1,9)4．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则（ ）A．1m ≤--或1m ≥-+．1＜m ＜2C．1m ≥ D．12m -+≤<5. 己知a>0，a 2-2ab+c 2=0，bc>a 2，比较a 、b 、c 的大小______；6．不等式3x 33x 2x )21(22---<的解集与不等式x 2+ax+b<0是同解不等式，那么a,b 的值是______； 7．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,2x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是 ；8. 已知1,0()-1,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是________； 9．已知232(0,0)x y x y+=>>，则xy 的最小值是____________； 10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨。

【巩固练习】1．首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 ( ) (A)83d >(B)3d < (C)833d ≤< (D)833d <≤ 2．在ABC ∆中,若0AB BC ⋅>,则ABC ∆的形状是（ ）(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C) 直角三角形 (D)正三角形 3.“22<-<b a 且”是“函数[)+∞-∈-+=,1,)(x ax bx x f 是增函数”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立,则 （ ）（A ）11<<-a（B ）20<<a（C ）2321<<-a （D ）2123<<-a 5.已知奇函数)(,)(2121x x x x x f ≠对任意的正实数恒有0))()()((2121>--x f x f x x ,则一定正确的是（ ）A ．)6()4(->f fB ．)6()4(-<-f fC ．)6()4(->-f fD ．)6()4(-<f f6.设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A.||||||c b c a b a -+-≤- B.aa a a 1122+≥+ C.21||≥-+-ba b a D.a a a a -+≤+-+213 7．函数1|cos |2-=x y 的定义域为8．如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞,a ],那么实数a 的取值范围是9. 若对]1,(--∞∈x 时,不等式1)21(2)(2<--xx m m 恒成立,则实数m 的取值范围是10. 已知直线:2l y ax =+和A （1,4）,B （3,1）,若直线l 和线段AB 相交,则a 的取值范围是11.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,f(1)＝1,且当a,b ∈[-1,1],a+b ≠0时,有()()0f a f b a b+>+(1)若f(x)≤m 2-2m +1,对所有x ∈[-1,1],恒成立,求实数m 的取值范围; (2)解不等式11()()21f x f x +<-。

【巩固练习】一 、选择题1. 不等式 错误！未找到引用源。

的解集为 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2. 不等式 错误！未找到引用源。

的解集是 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3. 若二次不等式 错误！未找到引用源。

的解集是 错误！未找到引用源。

，则 错误！未找到引用源。

( )A. 错误！未找到引用源。

B . 错误！未找到引用源。

C . 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

4. 定义在 错误！未找到引用源。

上的偶函数 错误！未找到引用源。

，当 错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，则不等式 错误！未找到引用源。

的解集是 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

5. 已知 错误！未找到引用源。

，则使得 错误！未找到引用源。

都成立的 错误！未找到引用源。

取值范围是 ( )A. 错误！未找到引用源。

B . 错误！未找到引用源。

C . 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

6. 不等式 错误！未找到引用源。

的解集为 ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

7.若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，其中,a b 为常数，则不等式220x bx a ++<的解集是( )A. ()3,2-B. ()2,3-C. ()3,3-D. ()2,2-8.(2015 红桥区一模)已知函数()1f x x =，()12x x g x +-=，若()()f x g x <，则实数x 的取值范围是( )A.()(),22,-∞-+∞B. ()117,24⎛⎫+-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C.12,4⎛- ⎝⎭ D. ()(),21,2-∞-二、填空题9. 若不等式 错误！未找到引用源。

北京四中高考数学总复习 基本不等式提高巩固练习【巩固练习】1.设a>1，0<b<1，则a b b a log log +的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,2B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．(]2,-∞-2.设x ＞0，P ＝2x+2－x ，Q ＝(sinx+cosx)2，则 （ ）A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P ＞QD ．P ＜Q3.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=21--x 的定义域是(-∞,-1][⋃3,+∞).则 ( )A ． “p 或q”为假B ． “p 且q”为真C ． p 真q 假D ． p 假q 真4.如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )A ． ab>acB ． c(b-a)>0C ． cb2<ab2D ． ac(a-c)<05. 若||||a c b -<(,,a b c 均为不等于零的实数)，则下列不等式成立的是（ ）A a b c <+；B a c b >-C ||||||a b c <+D ||||||a b c >-6.设p+q=1, p>0, q>0, 则不等式1)(log <pq x 成立的一个充分条件是 ( )A ． 0<x<41B ．41<x<21C ．21<x<1 D ． x>17.设42,=+∈+y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是 （ ） A ．2lg - B ．2lg C ．2lg 2 D ．28.设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A ．)11)((b a b a ++≥4 B ．33b a +≥22ab C ．222++b a ≥b a 22+ D ．b a -≥b a -9.设0<x<1,a 、b 为正常数，则x b x a -+122的最小值为 （ ）A ．4abB ．)(222b a +C ．2)(b a +D ．2)(b a -10.设a<0，－1<b<0，则a,ab,ab2从小到大的顺序为__________11.设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则x+y 的最小值为_________ 12.若b a 11<<0,已知下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④b a a b +>2,其中正确的不等式的序号为 .13.设集合{}φ≠<-+-m x x x 43|，则m 的取值范围是 . 14.已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，a C +=11，试比较A 、B 、C 的大小.15.已知正数x 、y 满足y x y x 11,12+=+求的最小值. : 210 x y x y +=>解且、11112x y x y x y ∴+=++≥（）（）,24)11(min =+∴y x判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．16.已知3201,log (1),log (1),,a a a a x a y a x y >≠=+=+且试比较的大小. 17.已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，.（1）求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么；（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f x x f f x x f .18．设x+y+z=19，求函数1694222+++++=z y x y 的最小值.【参考答案与解析】1.D 【解析】：∴a>1，0<b<1，∴.0log 1log ,0log <=<b a b a b a 设t a t b b a 1log ,log ==，则21≥-+-t t ；则a b b a log log +=t t 1+=2)1(-≤-+--t t 2.C【解析】：2x+2－x 2222=⋅≥-x x （当且仅当x=0,等号成立），而x ＞0，故P>2， Q ＝(sinx+cosx)2=1+sin2x ，而 sin2x 1≤，故Q 2≤3.D【解析】：取a=1,b=－1，可验证p 假；由21--x 0≥，可得∈x (-∞,-1][⋃3,+∞)，故q 真4.C【解析】：易知0,0a c ><，显然当0b =时C 不成立。

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（不等式的性质及常见不等式解法）练习基础练习1．（2021ꞏ山西高三三模（理））已知全集U =R ，集合(){}20A x x x =-<，{}1B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,12．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．3．（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A．2m ≤B．2m ≥C．8m ≤-D．8m ≥-4．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数ab c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A．若,0a b c >≠，则ac bc >； B．若a b >，则22ac bc >； C．若a b >，则11a b <； D．若0a b <<，则b a a b<． 5．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A．若ac bc >，则a b > B．若88a b >，则a b > C．若a b >，0c <，则ac bc <<，则a b >6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，则( )1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{|15}B x N x =∈-≤≤A B = {0,1,4,5}{0,1,3,4,5}{1,0,1,4,5}-{1,3,4,5}2{|20}A x x x =+->{1,0,1,2}B =-A． B．C．D．7．（2020·山东省高三二模）已知集合，，则（ ）A．B．C． D．8．（2021ꞏ宁夏石嘴山市ꞏ高三二模（理））已知a b >，下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．n 0()l a b -> C ．||||a b >D ．33a b >9．【多选题】（2021ꞏ湖北高三月考）已知a ，b 均为正数，且1a b -=，则（ ） A．a >B ．221->a bC ．411-≤a bD ．13a b+> 10．（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.提升练习1．（2021ꞏ湖南高三二模）若相异两实数x ，y 满足222020x y y x ⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y -+之值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．（2021ꞏ新疆高三其他模拟（理））若关于x 的不等式2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-，则mn =（ ） A ．5B ．5-C ．6D ．6-3．（2021ꞏ四川南充市ꞏ高三三模（文））已知()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数，若()16f ->-，()3202124af a -=-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,11⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．21,211⎛⎫⎪⎝⎭4．（2021ꞏ河南商丘市ꞏ高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+{2}A B = A B R = (){1,2}R B C A =- (){|12}R B C A x x =-<< 11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{}12B x x =-<A B = ()1,3-()1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,3-有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4-∞-B ．()4++∞C ．0,4⎡-⎣D ．(0,4-5．（2021ꞏ湖南高三一模）已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________________． 6．（2021ꞏ四川攀枝花市ꞏ高三一模（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x x =-+，则当()1,2x ∈时，不等式()3016f x +≤的解为___________. 7．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围． 8．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a ). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围.9．（2019·河南省高三一模（理））已知函数()122f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤； （2）若23()2f x m ≥-对任意x 恒成立，求实数m 的取值范围. 10．（2020ꞏ江苏苏州市ꞏ星海实验中学高一月考）已知12,x x 是函数()()210f x ax bx a =++>的两个零点，()min f x a =-，(){}|0P x f x =<.(1) 证明122x x -=；(2) 当且仅当a 在什么范围内时，函数()()()2g x f x x x P =+∈存在最小值； (3) 若()12,2x ∈-，求b 的取值范围.真题练习1．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ）A．{4,1}- B．{1,5} C．{3,5}D．{1,3}2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A．}{43x x -<< B．}{42x x -<<- C．}{22x x -<< D．}{23x x <<3．（上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .4．（2020·浙江省高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A．a <0B．a >0C．b <0D．b >05．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．6．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.参考答案基础练习1．（2021ꞏ山西高三三模（理））已知全集U =R ，集合(){}20A x x x =-<，{}1B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【答案解析】由图可知阴影部分表示的集合是集合A 与集合B 的补集的交集，所以求出集合A 和集合B 的补集，再求交集即可 【过程详解】解：由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ð， 由()20x x -<，得02x <<，所以{}02A x x =<<，由1x ≤，得11x -≤≤，所以{}11B x x =-≤≤，所以{1R B x x =<-ð或}1x >， 所以(){}12R A B x x ⋂=<<ð， 故选：C2．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合，集合，则（ ）A． B．C．D．【答案】A1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{|15}B x N x =∈-≤≤A B = {0,1,4,5}{0,1,3,4,5}{1,0,1,4,5}-{1,3,4,5}【答案解析】 因为集合或， 集合， 所以. 故选：A3．（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A．2m ≤ B．2m ≥C．8m ≤-D．8m ≥-【答案】A 【答案解析】()()53532x x x x -+-≥---= ，∴根据题意可得2m ≤.故选：A4．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数ab c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A．若,0a b c >≠，则ac bc >； B．若a b >，则22ac bc >； C．若a b >，则11a b <； D．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【答案解析】A：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确； B：若0c =时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确； C：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D5．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ）{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭}1x ≤{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=A B = {0,1,4,5}A．若ac bc >，则a b > B．若88a b >，则a b > C．若a b >，0c <，则ac bc <<，则a b >【答案】C 【答案解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确； 对于D<，则a b >，D 选项错误.故选：C. 6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，则( )A． B．C． D．【答案】A 【答案解析】因为或，，所以，，， 故选：A7．（2020·山东省高三二模）已知集合，，则（ ） A． B．C． D．【答案】D 【答案解析】，，因此，. 故选：D.8．（2021ꞏ宁夏石嘴山市ꞏ高三二模（理））已知a b >，下列不等式一定成立的是（ ）2{|20}A x x x =+->{1,0,1,2}B =-{2}A B = A B R = (){1,2}R B C A =- (){|12}R B C A x x =-<< 2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-1}x >{1,0,1,2}B =-{2}A B = A B R ≠ (){1,0,1}R C A B =- ()[2,1]{2}R C A B =- 11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{}12B x x =-<A B = ()1,3-()1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,3- ()()1110,01,x A x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=>=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}{}()122121,3B x x x x =-<=-<-<=-()()1,01,3A B =-A ．11a b< B ．n 0()l a b -> C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D 【答案解析】利用特殊值法，可排除A 、B 、C ，利用函数3()f x x =单调性，可得判断D 正确. 【过程详解】当1a =，2b =-时，A 、C 均不成立；当1a =，0b =时，()ln ln10a b -==，B 不成立；由于函数3()f x x =在R 上单调递增，a b >，所以33a b >，故D 正确. 故选：D9．【多选题】（2021ꞏ湖北高三月考）已知a ，b 均为正数，且1a b -=，则（ ）A ．a >B ．221->a bC ．411-≤a bD ．13a b+> 【答案】BC 【答案解析】先根据a ，b 均为正数，且1a b -=，得到0,11b a b >=+>，A.利用基本不等式判断；B.由122222b b a b b +-==-，利用指数函数的单调性判断；C.利用“1”的代换转化结合基本不等式判断；D. 利用基本不等式判断. 【过程详解】因为a ，b 均为正数，且1a b -=， 所以0,11b a b >=+>，A.因为1a b =+≥10-+≥，)210≥，当1b =时，)210=，故错误；B.因为0,11b a b >=+> ，所以1222221b a b b b +--=>=，故正确；C. 因为()41414553b a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =时，取等号，故正确；D. 因为11113a b b b +=++≥+=，当且仅当1b b =，即1b =时，取等号，故错误； 故选：BC10．（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值. 【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【答案解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3.1．（2021ꞏ湖南高三二模）若相异两实数x ，y 满足222020x y y x ⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y -+之值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【答案解析】根据已知条件求得11xy x y =-⎧⎨+=⎩，由此求得所求表达式的值.【过程详解】两式作差消元得：()()()101x y x y x y x y -+-=⇒+=≠，反代回去得：210x x --=，同理可得：210y y --=，由同构及韦达定理有：11xy x y =-⎧⎨+=⎩继而有：()()332222x xy y x y y x -+=-++-()2222226x y xy =+-+=++=.练提升故选：D2．（2021ꞏ新疆高三其他模拟（理））若关于x 的不等式2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-，则mn =（ ） A ．5 B ．5-C ．6D ．6-【答案】C 【答案解析】由[]cos 1,1x ∈-可得cos 20x -<，所以将问题转化为20x mx n --<的解集为()2,3-，利用根与系数的关系可得m ，n 的值，进而可得结果. 【过程详解】∵[]cos 1,1x ∈-，∴cos 20x -<， 而2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-， 即20x mx n --<的解集为()2,3-， ∴23m -+=，23n -⨯=-， ∴1m =，6n =， ∴6mn =. 故选：C.3．（2021ꞏ四川南充市ꞏ高三三模（文））已知()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数，若()16f ->-，()3202124af a -=-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,11⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．21,211⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】先利用函数的周期性和奇偶性可得3(2021)(54041)(1)(1)24af f f f a -=⨯+==-=-，从而将()16f ->-转化为3624aa ->--，进而可求出a 的取值范围【过程详解】解：因为()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数， 所以(2021)(54041)(1)(1)f f f f =⨯+==-， 因为()3202124af a -=-，()16f ->-，所以3624a a ->--，整理得1121024a a ->-， 解得2111a <或2a >，所以实数a 的取值范围是21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C4．（2021ꞏ河南商丘市ꞏ高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,4-∞- B．()4++∞C．0,4⎡-⎣D．(0,4-【答案】D 【答案解析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根，即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =，作出函数图像，即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，可得答案. 【过程详解】设(3)y a x =+，该直线恒过点()3,0-，方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根 如图作出函数()y f x =的图像，结合函数图象，则0a >，所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点，所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根， 令()2(2)3g x x a x a =+++，实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩，解得04a <<-， 所以实数a的取值范围是(0,4-. 故选：D .5．（2021ꞏ湖南高三一模）已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________________．【答案】)+∞ 【答案解析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,b c 用a 表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论． 【过程详解】由不等式解集知0a <，由根与系数的关系知347,3412,bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩ 7,12b a c a ∴=-=，则225144552466c a a a b a a ++==-+≥=+--，当且仅当5246a a -=-，即12a =-时取等号．故答案为：)+∞．6．（2021ꞏ四川攀枝花市ꞏ高三一模（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x x =-+，则当()1,2x ∈时，不等式()3016f x +≤的解为___________. 【答案】57 44x ≤≤ 【答案解析】根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得()1,2x ∈时对应的函数答案解析式，然后解一元二次不等式即可. 【过程详解】()()1()(2)(1)()f x f x f x f x f x f x +=-=-⇒+=-+=，函数周期为2；当1,02x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，22()()()f x f x x x x x =--=---=+， 则当3,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，22()(2)(2)(2)32f x f x x x x x =-=-+-=-+， 由()()1()()(1)f x f x f x f x f x +=-=-⇒=--知， 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()(1)[(1)1]32f x f x x x x x =--=---+-=-+， 故()1,2x ∈时，2()32f x x x =-+ 则不等式()3016f x +≤即2332016x x -++≤，解得57 44x ≤≤， 故答案为：5744x ≤≤7．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围． 【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a ). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1. (2)a 的取值范围是(－∞，4).【答案解析】 (1)函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0， 即|x －1|＋|x －5|>a . 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，由|x －1|＋|x －5|≥|x －1＋5－x |＝4，当a ＝2时，∵g (x )min ＝4，∴f (x )min ＝log 2(4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. ∵|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <g (x )min 时，f (x )的定义域为R . ∴a <4，即a 的取值范围是(－∞，4).9．（2019·河南省高三一模（理））已知函数()122f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤； （2）若23()2f x m ≥-对任意x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[1,1]-；（2）[2,2]- 【答案解析】（1）()31,211223,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，解12314x x ⎧≥⎪⎨⎪+≤⎩或12234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或2314x x ≤-⎧⎨--≤⎩得11x -≤≤，所以解集为[]1,1-. （2）由（1）知()f x 在12x =时取得最小值52， 所以25322m ≥-，解之得22m -≤≤ 所以m 的取值范围是[]2,2-.10．（2020ꞏ江苏苏州市ꞏ星海实验中学高一月考）已知12,x x 是函数()()210f x ax bx a =++>的两个零点，()min f x a =-，(){}|0P x f x =<.(1) 证明122x x -=；(2) 当且仅当a 在什么范围内时，函数()()()2g x f x x x P =+∈存在最小值； (3) 若()12,2x ∈-，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见答案解析（2）1a >（3）33(,)(,)44-∞-+∞ 【答案解析】(1)由二次函数的最小值可得2244b ac a -=，由求根公式可得结论；(2)由二次函数的对称轴结合图象可知在对称轴处取到最小值； (3）由2244b a a =+，可得18a >，从而得到b 的范围. 【过程详解】（1）由题意，244ac b a a-=-，即2244b a a -=，根据求根公式122,22b b a x a a-±-±==，所以122x x -=. (2)由()0f x <可得2222b a b ax a a---+<<， ()()22(2)1ax b g x f x x x =++=++ ，对称轴为22+=-b x a， 222222b a b b aa a a--+-+∴<-<， 11a a >-⎧∴⎨>⎩，即1a >. (3) 122,(2,2)2b ax a -±=∈-, 从而有2222,2222b a b aa a ---+-<<-<<， 所以132b a --<<或3 1.2b a --<< 从而有33,2ba--<<即||6,b a < 所以2236,b a < 因为2244b a a =+， 所以224436a a a +<， 解得18a >， 22119444()86416b a a ∴=+>+=，34b ∴<-或34b >所以b 的取值范围33(,)(,)44-∞-+∞ .1．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A．{4,1}- B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}【答案】D 【答案解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A．}{43x x -<< B．}{42x x -<<- C．}{22x x -<< D．}{23x x <<【答案】C 【答案解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C．3．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = . 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案解析】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．（2020·浙江省高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A．a <0 B．a >0 C．b <0 D．b >0【答案】C练真题【答案解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C5．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．【答案】（1）见答案解析 （2）5 【答案解析】（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5． 6．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【答案解析】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； 当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.。