第11章第1节

第1节 电源和电流学习目标核心素养形成脉络1.了解电流的形成条件，知道电源的作用和导体中的恒定电场．2．理解电流的定义，知道电流的单位、方向规定，会用公式q ＝It 分析相关问题．3．从微观的角度理解导体中电荷的定向移动与电流之间的关系.一、电源1．定义：能把电子从正极搬运到负极的装置． 2．作用(1)维持电路两端有一定的电势差． (2)使闭合电路中保持持续的电流． 二、恒定电流 1．恒定电场当电路达到稳定时，导线中的电场是由电源、导线等电路元件所积累的电荷共同形成的．这种由稳定分布的电荷所产生的稳定的电场，叫恒定电场．2．恒定电流(1)定义：大小、方向都不随时间变化的电流称为恒定电流．(2)公式：I ＝qt ．其中：I 表示电流，q 表示在时间t 内通过导体横截面的电荷量．(3)单位：安培，简称安，符号A ；常用的电流单位还有毫安(mA)、微安(μA).1 A ＝103 mA ＝106 μA ．思维辨析(1)导体内没有电流时，就说明导体内部的电荷没有运动．()(2)电流既有大小，又有方向，是矢量．()(3)导体中的电流一定是正电荷定向移动形成的．()(4)电子定向移动的方向就是电流的方向．()(5)电流越大，单位时间内通过导体横截面的电荷量越多．()提示：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√深度思考如图为分别带正、负电荷的A、B两个导体球．(1)如果用一条导线将它们连接起来，A、B之间的电势差会发生什么变化？(2)最终A、B两个导体球会达到什么状态？(3)导线中能否出现电流？这个电流有什么特点？提示：(1)A、B之间的电势差会减小．(2)最终A、B两个导体球会达到静电平衡状态．(3)导线中会出现电流，电流只能是瞬时的．对电流的理解和计算问题导引如图所示，在装有导电液体的细管中，有正、负两种电荷向相反的方向运动，在时间t 内通过细管某截面的正电荷为q1，通过此截面的负电荷为q2.(1)确定通过导电液体中电流的方向．(2)计算导电液体中电流的大小．[要点提示] (1)电流方向为正电荷定向移动方向或负电荷定向移动方向的反方向，故导电液体中电流方向为由左向右．(2)I ＝|q 1|＋|q 2|t. 【核心深化】1．电流的方向：规定正电荷定向移动的方向为电流的方向，则负电荷定向移动的方向与电流的方向相反．2．电流的定义式：I ＝qt .用该式计算出的电流是时间t 内的平均值．对于恒定电流，电流的瞬时值与平均值相等．3．电流虽然有方向，但它是标量，它遵循代数运算法则．如图所示，电解池内有一价的电解液，t 时间内通过溶液内截面S 的正离子数是n 1，负离子数是n 2，设元电荷为e ，以下解释中正确的是( )A ．当n 1＝n 2时电流为零B ．当n 1>n 2时，电流方向从A →B ，电流 I ＝（n 1－n 2）etC ．当n 1<n 2时，电流方向从B →A ，电流 I ＝（n 2－n 1）etD ．溶液内电流方向A →B ，电流I ＝（n 1＋n 2）et[解析] 正电荷定向移动方向就是电流方向，负电荷定向移动的反方向也是电流方向，A 、C 错误；有正、负电荷反向经过同一截面时，I ＝qt 公式中q 应是正、负电荷电荷量绝对值之和，故I ＝n 1e ＋n 2et，B 错误，D 正确．[答案] D(2020·湖南双峰高二期中)导体中的电流是5 μA ，那么在3.2 s 内定向移动通过导体的横截面的电荷量为q ，相当于有n 个电子通过该截面，则下列正确的是( )A ．q ＝1.6×10－5 C ；n ＝1014个B ．q ＝1.6×10－2 C ；n ＝1017个 C ．q ＝1.6×10－5 C ；n ＝1015个 D ．q ＝1.6×10－2 C ；n ＝1014 个解析：选A ．根据电流的定义式I ＝qt 得，3.2 s 内通过导体横截面的电荷量q ＝It ＝5×10－6×3.2 C ＝1.6×10－5 C ，n ＝q e ＝1.6×10－51.6×10－19＝1.0×1014个，A 正确． 电流的微观表达式 【核心深化】1．电流的微观表达式的推导如图所示，AD 表示粗细均匀的一段长为l 的导体，两端加一定的电压，导体中的自由电荷沿导体定向移动的速率为v ，设导体的横截面积为S ，导体每单位体积内的自由电荷数为n ，每个自由电荷的电荷量大小为e .则：导体AD 内的自由电荷全部通过横截面D 所用的时间t ＝lv .导体AD 内的自由电荷总数N ＝nlS总电荷量Q ＝Ne ＝nlSe此导体上的电流I ＝Q t ＝nlSelv ＝ne v S .2．电流的微观表达式I ＝ne v S(1)I ＝qt 是电流的定义式，I ＝ne v S 是电流的决定式，因此I 与通过导体横截面的电荷量q 及时间t 无关，从微观上看，电流取决于导体中单位体积内的自由电荷数n 、每个自由电荷的电荷量大小e 、定向移动的速率v ，还与导体的横截面积S 有关．(2)v 表示电荷定向移动的速率．自由电荷在不停地做无规则的热运动，其速率为热运动的速率，电流是自由电荷在热运动的基础上向某一方向定向移动形成的．导线中的电流是1 A ，导线的横截面积为1 mm 2.(1)在1 s 内，有多少个电子通过导线的横截面(电子电荷量e ＝1.6×10－19C)?(2)自由电子的平均移动速率是多大(设导体每立方米内有8.5×1028个自由电子)?(3)自由电子沿导线定向移动1 m ，平均要多少时间？ [解析] (1)N ＝q e ＝Ite ＝6.25×1018个．(2)由公式I ＝neS v ，得v ＝I neS ＝18.5×1028×1.6×10－19×1×10－6 m/s ≈7.35×10－5 m/s.(3)沿导线移动1 m 需用时t ＝17.35×10－5 s ≈3.78 h ． [答案] (1)6.25×1018个 (2)7.35×10－5 m/s (3)3.78 h(多选)有一横截面积为S 的铜导线，流经其中的电流为I ；设单位体积的导线中有n 个自由电子，电子的电荷量为e ，此电子的定向移动速率为v ，在Δt 时间内，通过导线横截面的自由电子数可表示为( )A ．n v S ΔtB ．n v ΔtC ．I Δt eD ．I Δt Se解析：选AC ．因为I ＝q Δt ，所以q ＝I ·Δt ，自由电子数目为N ＝q e ＝I Δte ，C 正确，D 错误；又因为电流的微观表达式为I ＝ne v S ，所以自由电子数目为N ＝q e ＝I Δt e ＝ne v S Δte ＝n v S Δt ，A 正确，B 错误．1．(对电源的理解)关于电源的以下说法，正确的是( )A ．电源的作用是在电源内部把电子由负极不断地搬运到正极，从而保持两极之间有稳定的电势差B ．电源的作用是在电源内部把电子由正极不断地搬运到负极，从而保持两极之间有稳定的电势差C ．只要电路中有电源，电路中就一定有电流D ．电源实质上也是一个用电器，也需要外界提供能量解析：选B ．电源的作用是维持正、负极之间稳定的电势差，外电路中自由电子在电场力的作用下向正极移动，在电源内部，需要将电子由正极不断地搬运到负极，故A 错，B 对．电路中有电流不仅需要电源，还需要电路是闭合的，两者缺一不可，故C 错．电源是对电路提供能量的装置，故D 错．2．(对I ＝qt 的理解和应用)电路中有一电阻，通过电阻的电流为5 A ，当通电5分钟时，通过电阻横截面的电子数为( )A ．1 500个B ．9.375×1019个C ．9.375×1021个D ．9.375×1020个解析：选C ．q ＝It ，n ＝q e ＝Ite＝9.375×1021个．3．(对电流微观表达式的理解和应用)有甲、乙两导体，甲的横截面积是乙的2倍，而单位时间内通过乙导体横截面的电荷量是甲的2倍，以下说法正确的是( )A ．通过甲、乙两导体的电流相同B ．通过乙导体的电流是甲导体的2倍C ．乙导体中自由电荷定向移动的速率是甲导体的2倍D ．甲、乙两导体中自由电荷定向移动的速率相等解析：选B ．由于单位时间内通过乙导体横截面的电荷量是甲的2倍，因此通过乙导体的电流是甲导体的2倍，故A 错，B 对．由于I ＝nqS v ，所以v ＝InqS ，由于不知道甲、乙两导体的性质(n 、q 不知道)，所以无法判断v ，故C 、D 错．(建议用时：30分钟) 【合格考练】1．关于电流的说法中正确的是( ) A ．根据I ＝qt，可知I 与q 成正比B ．如果在任何相等的时间内通过导体横截面的电荷量相等，则导体中的电流是恒定电流C ．电流有方向，电流是矢量D．电流的单位“安培”是国际单位制中的基本单位解析：选D．依据电流的定义式可知，电流与q、t皆无关，选项A错误；虽然电流是标量，但是却有方向，因此在任何相等的时间内通过导体横截面的电荷量虽然相等，但如果方向变化，电流也不是恒定电流，所以选项B、C错误，选项D正确．2．(多选)(2020·西藏高二期中)对电源的认识，下列说法正确的是()A．电源是为电路提供自由电荷的装置B．电源的作用是保持导体两端有持续的电势差C．电源的作用是使绝缘体变成导体D．电源使导体中的自由电子发生定向移动解析：选BD．电源是将其他形式的能转化为电能的装置，凡是能提供电能的装置都可以作为电源，并不是提供电荷的装置，其作用是保持导体两端的电压，能使导体中形成电场，使自由电荷受到电场力而定向移动起来，使导体内的自由电子定向移动，并不是使绝缘体变成导体，故A、C错误，B、D正确．3．金属导体内电流增强，是因为()A．导体内单位体积的自由电子数增多B．导体内自由电子定向移动的速率增大C．导体内电场的传播速率增大D．导体内自由电子的热运动速率增大解析：选B．对于确定的金属导体，单位体积内的自由电子数是一定的，而且导体内电场的传播速率也是一定的，所以A、C错误；导体内电流增强是由于自由电子定向移动的速率增大，使得单位时间内穿过导体横截面的电荷量增大，B正确；导体内自由电子的热运动与电流的大小无直接关系，D错误．4．(2020·云南玉溪高二期中)关于电流，下列说法正确的是()A．只有正电荷的定向移动才能形成电流B．把正电荷定向移动的方向规定为电流的方向C．金属导体导电的时候，导体中电荷的定向移动方向和电流方向相同D ．方向不变的电流叫恒定电流解析：选B ．正、负电荷的定向移动都能形成电流，故A 错；人们规定正电荷定向移动的方向为电流的方向，故B 对；金属导体导电的时候，导体中定向移动的电荷是自由电子，定向移动方向和电流方向相反，故C 错；方向不变的电流叫直流电，方向和大小都不变的电流叫恒定电流，故D 错．5．(2020·华中师大附中高二期中)关于电流，下列说法中正确的是( ) A ．通过导线横截面的电荷量越多，电流越大 B ．电子运动的速度越大，电流越大C ．单位时间内通过导体横截面的电荷量越多，导体中的电流越大D ．因为电流有方向，所以电流是矢量解析：选C ．据I ＝qt 可知，单位时间内通过导线横截面的电荷量越多，导体中的电流越大，并非通过导线横截面的电荷量越多，电流就越大，故A 错误，C 正确；根据电流的微观表达式I ＝ne v S 可知，电子运动的速率越大，电流不一定越大，还与单位体积内自由电子数n 、横截面积S 有关，故B 错误；电流有大小和方向，但电流是标量，故D 错误．6．(2020·山西太原检测)在通电电解槽中，若在2 s 内分别有1 C 的正离子和1 C 的负离子通过电解槽中与电流方向垂直的截面，电解液中的电流是多大( )A ．0B ．0.5 AC ．1 AD ．2 A解析：选C ．2 s 内流过的电荷量为q ＝1 C ＋1 C ＝2 C ，则由电流的定义可知：I ＝q t ＝22A ＝1 A ，故C 正确，A 、B 、D 错误．7．以下说法正确的是( )A ．只要有可以自由移动的电荷，就存在持续电流B ．金属导体内的持续电流是自由电子在导体内的电场作用下形成的C ．电流的传导速率就是导体内自由电子的定向移动速率D ．在金属导体内当自由电子定向移动时，它们的热运动就消失了解析：选B ．要有持续电流必须有电压，A 错误．金属导体中形成持续电流的原因是在导体两端加上电压，于是在导体内形成了电场，导体内的自由电子在电场力作用下定向移动形成电流，B 正确．电流的传导速率等于光速，电子定向移动的速率很小，C 错误．在形成电流时电子定向移动，并不是热运动就消失了，其实电子仍然做无规则的热运动，D 错误．8．(多选)给一粗细不均匀的同种材料制成的导体通电，下列说法正确的是( ) A ．粗的地方电流大，细的地方电流小 B ．粗的地方电荷定向移动速率大，细的地方小 C ．各处的电流大小相同D ．粗的地方电荷定向移动速率小，细的地方大解析：选CD ．同一根导线上的电流相等，故C 对；由I ＝neS v 可得v ＝IneS ，故D 对．9．某一探测器因射线照射，内部气体电离，在时间t 内有n 个二价正离子到达阴极，有2n 个电子到达探测器的阳极，则探测器电路中的电流为( )A ．0B ．2ne tC ．3ne tD ．4ne t解析：选D ．由题意可知，在时间t 内通过某横截面的电荷量为n ·2e ＋2n ·e ＝4ne ，故根据电流的定义可知探测器电路中的电流为I ＝q t ＝4net，故选项D 正确．【等级考练】10．在示波管中，电子枪2 s 内发射了6×1013个电子，则示波管中电流的大小为( ) A ．4.8×10－6 A B ．3×10－13AC ．3×10－6 AD ．9.6×10－6 A解析：选A ．电子枪2 s 发射的电荷量q ＝6×1013×1.6×10－19 C ＝9.6×10－6 C ，所以示波管中的电流大小为I ＝q t ＝9.6×10－62A ＝4.8×10－6 A ，故A 正确，B 、C 、D 错误．11．北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m 的近似圆形轨道．当环中电子以光速的110流动而形成10 mA 的电流时，环中运行的电子数目为(已知光速c ＝3×108 m/s ，电子电荷量e ＝1.6×10－19C)( )A ．5×1010个B ．5×1011个C ．1×102个D ．1×104个解析：选B ．电子运动一周所需要的时间：t ＝240110×3×108 s ＝8×10－6 s ，在圆形轨道上任取一横截面，则在t 时间内通过该横截面的电荷量为：q ＝It ＝10×10－3×8×10－6 C ＝8×10－8 C ，环中运行的电子数N ＝qe ＝8×10－81.6×10－19个＝5×1011个．12．(多选)电池给灯泡供电与人将球抛出在能量转化方面有相似之处，我们可以将电势能类比于重力势能，如图所示，下列说法正确的是( )A ．可以将电流通过灯泡时电流做功与抛球时人对球做的功相类比B ．可以将电池的非静电力做功与抛球时人对球做的功类比C ．可以将电流通过灯泡时做的功与重力对球做的功类比D ．可以将电池的非静电力做功与重力对球做功类比解析：选BC ．将电势能类比重力势能，电流通过灯泡做功，电势能减少，可类比重力做功，重力势能减少，非静电力做功，电势能增加，可类比人抛球对球做功，球重力势能增加，故B 、C 正确．13．(2020·佛山一中高二月考)在显像管的电子枪中，从炽热的金属丝中不断放出的电子进入电压为U 的加速电场，设其初速度为零，经加速后形成横截面积为S 、电流为I 的电子束．已知电子的电荷量为e 、质量为m ，则在刚射出加速电场时，一小段长为Δl 的电子束内的电子个数是( )A ．I Δl eSm 2eU B ．I Δl em 2eU C ．I eSm 2eUD ．IS Δl em 2eU解析：选B ．加速过程，eU ＝12m v 2，则v ＝2eUm，由I ＝ne v S 知，一小段长为Δl 的电子束内的电子数N ＝n ΔlS ＝Δl I e v ＝I Δlem 2eU. 14．(2020·山西太原高二检测)有一条横截面积S ＝1 mm 2的铜导线，通过的电流I ＝2 A ．已知铜的密度ρ＝8.9×103 kg/m 3，铜的摩尔质量M ＝6.4×10－2 kg/mol ，阿伏加德罗常数N A ＝6.02×1023mol －1，电子的电荷量大小e ＝1.6×10－19C ，每个铜原子可提供一个自由电子，求铜导线中自由电子定向移动的速率．(结果保留2位有效数字)解析：设铜导线长为L ，则体积为V ＝LS ，质量为m ＝LSρ，摩尔数为n ＝m M总的自由电子数为nN A总电荷量为q ＝nN A e全部通过该铜线截面时间为t ＝L v根据电流的定义式：I ＝q t ＝nN A e v L ＝SρN A e v M可得：v ＝MI SρN A e带入数据解得：v ≈1.5×10－4 m/s.答案：1.5×10－4 m/s。

第十一章等离子弧焊接与切割第一节等离子弧概述一、等离子弧原理等离子弧是自由电弧压缩而成的。

电弧通过水冷喷嘴、限制其直径，称机械压缩。

水冷内壁温度较低，紧贴喷嘴内壁的气体温度也极低，形成了一定厚度的冷气膜，冷气膜进一步迫使弧柱截面减小，称热压缩。

弧柱截面的缩小，使电流密度大为提高，增强了磁收缩效应，称磁压缩。

在三种压缩的作用下，等离子弧的能量集中(能量密度可达105～106W／cm2)，温度高(弧柱中心温度18000～24000K)，焰流速度大(可达300m／s)。

这些特性使得等离子弧广泛应用于焊接、喷涂、堆焊及切割。

二、等离子弧的特点由于等离子弧的特性，与钨极氩弧焊相比，有以下特点：(1)等离子弧能量集中、温度高，对于大多数金属在一定厚度范围内都能获得小孔效应，可以得到充分熔透、反面成形均匀的焊缝。

(2)电弧挺度好，等离子弧的扩散角仅5°左右，基本上是圆柱形，弧长变化对工件上的加热面积和电流密度影响比较小。

所以，等离子弧焊弧长变化对焊缝成形的影响不明显。

(3)焊接速度比钨极氩弧焊快。

(4)能够焊接更细、更薄加工件。

(5)其设备比较复杂、费用较高，工艺参数调节匹配也比较复杂。

三、等离子弧的类型按电源连接方式，等离子弧有非转移型、转移型和联合型三种形式。

(一)联合型等离子弧工作时，非转移型弧和转移弧同时存在，称为联合型等离子弧。

主要用于微束等离子弧焊和粉末堆焊等。

(二)非转移型等离子弧钨极接电源负极，喷嘴接电源正极，等离子弧体产生在钨极和喷嘴之间，在离子气流压送下，弧焰从喷嘴中喷出，形成等离子焰。

(三)转移型等离子弧钨极接电源负极，工件接电源正极，等离子弧体产生于钨极与工件之间。

转移弧难以直接形成，必须先引燃非转移弧，然后才能过渡到转移弧。

金属焊接、切割几乎均采用转移型弧。

四、适用范围1、操作方式等离子弧焊适于手工和自动两种操作，可以焊接连续或断续的焊缝。

焊接时可添加或不添加填充金属。

2、被焊金属一般TIG能焊的大多数金属，均可用等离子弧焊接，如碳钢、不锈钢、铜合金、镍及其合金、钛及其合金等。

第十一章人体代谢废物的排出第一节人体产生的代谢废物一、教材分析本节是北师大版生物七年级下册第十一章第一节，第一节主要在于引起学生兴趣，为下面尿液的形成等重点内容做好铺垫。

采用发现教学法，有利于调动学生学习的积极性和主动性，是发展学生探索思维能力的一种好方法。

让学生利用教师提供的材料，积极探索和思考，从而得出结论。

在这一过程中，包含有教师的启发和引导，学生的探索和发现，以及师生的共同讨论三要素。

在处理教材时，首先注意以系统完整的观点认真分析学生的知识结构，根据教材内容，设计教学方法，铺设梯度，以旧带新，利用旧知识作为铺垫引出新知识（如排泄的概念、途径），使新知识自然而然被学生接受。

对于重点知识采用分步突破，教学中可以结合学生的生活实际，利用演示实验活动，让学生利用嗅觉、视觉、味觉等多种感官来认识代谢废物，通过本节的教学活动，学生了解什么是代谢废物，同时了解代谢废物的排出途径以及该活动对人体生命活动的重要意义。

二、教学目标1、知识目标：(1) 说出人体产生的主要代谢废物和排出的途径。

(2) 说出排泄的概念以及对人体生命活动的意义。

2、能力目标：(1) 通过实验，培养学生的观察能力，分析思维能力。

(2) 学会利用嗅觉、视觉等各种感官来认识代谢废物。

3、情感与态度目标：学会关注自己的身体，关爱自身的健康，养成良好的卫生习惯。

在实验活动中，培养学生乐于探索生命的奥秘，以及实事求是的科学态度。

三、教学重点（1）排泄的途径；（2）排泄对人体生命活动的重要意义。

四、教学难点排泄的途径。

五、教学准备1、准备教学课件2、准备实验材料;尿液、酒精灯、镊子、烧杯、载玻片等六、课时安排1课时七、教学设计本节教学主要采用发现法，它是从学生好奇、好动的心理出发，依据教师或教材提供的材料，让学生”探索―发现”问题，并自己回答或解决这些问题，使他们成为知识的发现者。

首先进行演示实验”尿液成分的测定”，请同学们使用自己的多种感觉器官来分析推测尿液中的成分，讨论人体还有哪些物质需要排出体外，分别以什么方式进行，区别排泄与排便。

第11章 振动学基础在自然界中,几乎到处都可以看到物体的一种特殊的运动形式,即物体在某一位置附近作往复运动,这种运动称为机械振动.钟摆的运动、琴弦的运动和气缸活塞的运动都是机械振动.振动现象并不限于力学中,在物理学其它领域中也存在与机械振动相类似的振动现象.一般地说,任何一个物理量在某一定值附近作反复变化,都可以称为振动.如交流电中电流和电压的反复变化 ,电磁波中电场和磁场的反复变化等,都属于振动的范畴.由于一切振动现象都具有相似的规律,所以我们可以从机械振动的分析中,了解振动现象的一般规律.而简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到,我们就从简谐振动开始讨论.§11.1 简谐振动一、简谐振动的基本特征及其表示在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图11.1所示.当弹簧呈自由状态时,小球在水平方向不受力的作用,此时小球处于点O,该点称为平衡位置.若将小球向右移至点M,弹簧被拉长,这时小球受到弹簧所施加的、方向指向点O 的弹性力F 的作用.将小球释放后,小球就在弹性力 F 的作用下左右往复振动起来,并一直振动下去.为了描述小球的这种运动,我们取小球的平衡位置O 为坐标原点,取通过点O的水平线为χ轴.如果小球的位移为x ,它所受弹力F 可以表示为x k F (11.1)式中k 为所取轻弹簧的劲度系数,负号表示弹性力F 与位移x 的方向相反.如果小球的质量为m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为22dtx d m a m F (11.2) 将式(11.1)代入式(11.2)得kx dtx d m 22或者改写为 )(mk x dt x d 22220 (11.3) 式 (11.3) 是小球的运动方程.这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过程中,小球所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反.具有这种性质的力称为线性回复力.由运动方程可以解得小球在振动过程中的位移 x 与时间 t 的关系.式(11.3)的解可以写为以下两种形式))sin()cos( t A x t A x 或 (11.5)式中 A 和φ都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此我们以后再做讨论.式(11.5)的两式在物理上具有同样的意义,以后我们只取前一形式.上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩檫振动的例子,这样的振动系统称为弹簧振子.弹簧振子的振动是典型的简谐振动,它表明了简谐振动的基本特征.从分析中可以看出,物体只要在形如F =－k x 的线性回复力的作用下运动,其位移必定满足微分方程式 (11.3),而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数.简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物体是否是作简谐振动的依据.但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域,任何一个物理量在某定值附近作往复变化的过程,都属于振动,于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义:任何物理量x 的变化规律若满足方程0222 x dtx d m , 并且ω是决定于系统自身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动.二、描述简谐振动的特征量振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量,若知道了某简谐振动的这三个量,该简谐振动就完全被确定了,所以这三个量称为描述简谐振动的特征量.1.振幅振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅.在简谐振动)cos( t A x中,A 就是振幅.在国际单位制中,振幅的单位是米(m).2.周期振动物体完成一次全振动所用的时间,称为周期 ,常用T 表示；在1秒时间内完成全振动的次数,称为频率 ,常用ν表示；振动物体在2π秒内完成全振动的次数,称为角频率 ,就是式(11.5)中的ω.显然角频率ω、频率ν和周期T 三者的关系为TT 221, (11.7) 在国际单位制中,周期T 、频率ν和角频率ω的单位分别是秒 (s)、赫兹 (Hz)和弧度/ 秒 (rad /s).3.相位和初相位式(11.5)中 t 的称为简谐振动的相位 ,单位是弧度 (rad) .在振幅一定、角频率已知的情况下,振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位 t .这从下面的分析中会看得更清楚.将式(11.5)两边对时间求一阶导数,可以得到物体振动的速度).()sin(811 t A dtdx (11.8) 由式（11.5）和式（11.8） 两式可以看出,在振幅 A 和角频率ω已知的情况下,振动物体的位置和速度完全由相位所决定.我们已经知道,位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量.相位中的φ称为初相位,在振幅A 和角频率ω已知的情况下,振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位φ.在式(11.5)和式(11.8)中令 ,则分别成为下面的形式sin cos A A x 00 (11.9) 分别是振动物体在初始时刻的位移和速度,这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态,也就是振动物体的初始条件.振幅 A 和初相位φ,在数学上它们是在求解微分方程(11.3)时引入的两个积分常量,而在物理上,它们是由振动系统的初时状态所决定的两个描述简谐振动的特征量,这是因为由初始条件(11-9)可以求得)arctan(0022020x x A (11.10) 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘.在坐标系O —xy 中,以O 为始端画一矢量A ,末端为 M 点,如图11.2 所示.若矢量A 以匀角速度ω绕坐标原点O 作逆时针方向转动时,则矢量末端 M 在 x 轴上的投影点P 就在 x 轴上于点O 两侧往复运动.如果在t = 0 时刻,矢量A 与 x 轴的夹角为φ,那么这时投影点P 相对于坐标原点O 的位移可以表示为cos A x式中A 为矢量 A 的长度.在任意时刻t,矢量 A 与 x 轴的夹角变为 t ,则投影点P 相对于坐标原点O 的位移为 )cos( t A x所以,当矢量A 绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转时,其末端在x 轴上的投影点的运动,必定是简谐振动.图11.2(b)所描绘的曲线,是点P 的位移与时间的关系曲线,称为简谐振动曲线.以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的矢量图解法.这种方法以后在电学和光学中都要用到.简谐量x 还可以用复数来代表.若把一个复数表示为)sin()cos(~)( t iA t A Ae x t i (11.11) 显然,简谐量x 就是这个复数x ~的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐量的相位与复数的幅角相对应.若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算,在运算过程中,实部和虚部、模和幅角总是分别运算而不会相混,所得的复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果.因此,简谐量的复数表示法也是常用的方法.例如,求振动速度和加速度,可以用复数进行运算.取位移的复数形式为)(~t i Ae x 振动速度的复数则为)(~~ t i Ae i dtx d 取速度复数的实部,就是振动速度的真正表示式)sin()]sin()cos(Re[ t A t A i t A i 2用同样的方法可以计算振动加速度)()(~~ t i Ae i dtx d a 222 加速度的真正表示式为)cos(])Re[()( t A Ae i a t i 22由上面的计算可见,用复数来代表简谐量,运算过程也是十分简便的.例题11.1有一劲度系数为 32.0Nm -1的轻弹簧,放置在光滑的水平面上,其一端被固定,另一端系一质量为 500g 的物体.将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0cm 处,然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动.分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系.解：设物体沿 x 轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点.在初始时刻 t =0,物体所在的位置在最大位移处,所以振幅为A = 10.0cm = 0.100 m振动角频率为1s rad 0085032 ..m k 如果把振动写为一般形式,即 x =Acos(ωt +φ),当t=0时,物体处于最大位移处,x =A,那么必定有cos φ=1.所以初相位φ=0.这样我们就可以写出位移与时间的关系为x = 0.100cos(8.00 t) m .速度和加速度的最大值分别为1s m 80 .A m 12s m 46 .A a m速度和加速度与时间的关系分别为1s m 0088000 t .sin . 2s m 008406 t a .cos .例题11.2已知某简谐振动的振动曲线如图11.3所示,试写出该振动的位移与时间的关系.解：任何简谐振动都可以表示为x =Acos(ωt +φ)关键是要从振动曲线求得振幅 A 、角频率ω、和初相位φ.振幅 A 可以从振动曲线上得到.最大位移的点 P 所对应的位移的大小就是振幅A = 4.0×10-2m .我们已经分析过,振动的初相位是由初始条件决定的,所以应该根据初始时刻的位移和速度来确定φ .t = 0 时的位移和速度分别由以下两式表示sin ,cos A A x 00从振动曲线上可以得到21210/cos / x ,再由振动曲线在 t = 0 附近的状况可知, 00 ,同时因为A 和ω都大于零,必定有sin φ＜0 ,这样我们就可以确定,在t=0时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为3/最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在t =1s 时,位移x =0,代入下式)/cos(.310042 t x233100402//)/cos(. 可得：因为ω＞0,所以上式只能取正.所以1s rad 6523 这样,我们可以将该简谐振动具体地写为m 36510042)cos(. t x 四、简谐振动的能量从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则其动能和势能的总和是恒定的.现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化和守恒问题.弹簧振子的位移和速度分别由下式给出)sin(),cos( t A t A x在任意时刻,系统的动能为)(sin t A m m E k 22222121 (11.12)除了动能以外,振动系统还具有势能.对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能,并可表示为)(cos t kA kx E p 2222121 (11.13) 由式（11.12）和式（11.13）可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化.当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值221kA ；当在平衡位置时,势能为零,而速度为最大值,所以动能达到最大值2221A m . 弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即)(cos )(sin t kA t A m E E E p k 222222121 因为ω2=k/m,所以上式可化为2222121kA A m E (11.14) 由上式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.22222212121x A kA kx m E 由 (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系.在平衡位置处,x=0,速度为最大；在最大位移处,x=±A ,速度为零.例题11.3一长度为l 的无弹性细线,一端被固定在A 点,另一端悬挂一质量为m 、体积很小的物体.静止时,细线沿竖直方向,物体处于点O,这是振动系统的平衡位置,如图11.4所示.若将物体移离平衡位置,使细线与竖直方向夹一小角度θ,然后将物体由静止释放,物体就在平衡位置附近往复摆动起来.这种装置称为单摆.证明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量.解：我们选择小物体相对平衡位置O 的角位移θ为描述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正,处于平衡位置左方,θ为负.小物体受到两个力的作用,一个是重力mg,另一个是细线的张力 f .沿着物体运动的弧形路径,将重力mg 分解成大小为mgcos θ的径向分量和大小为 mgsin θ的切向分量.其中径向分量mgcos θ与细线的张力 f 一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样.因此,单摆的振动方程为mg mg dtd ml 很小sin 22 (1) )(lg dt d 22220即 (2) 显然,单摆的振动方程（2）与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量x.所以单摆的角位移θ与时间t 的关系必定可以写成余弦函数的形式 )cos( t 0式中积分常量0 为单摆的振幅,φ为初相位.这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是简谐振动.单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能)(sin )( t ml l m m E k 2220222212121 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能)cos ( 1mgl mgh E p式中h 是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度.可将cos θ展开为!!!cos 6421642 因为θ很小,我们可以只取上式的前两项.所以可以化为)(cos t mgl mgl E p 22022121 可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即)(cos )(sin t mgl t ml E E E p k 220222022121 因为ω2=g/l ,所以上式可以化为2020222121 mgl ml E 上式表示,尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.作业(P97)：4、7、9、11、14。