数学人教版八年级下册矩形性质

八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。

第10讲矩形知识导航1.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，矩形是轴对称图形，又是中心对称图形；3.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【板块一】矩形的折叠问题方法技巧矩形的折叠图中，有较多的直角三角形，常运用相等的边、勾股定理计算边的长.题型一矩形折叠——勾股定理求边长【例1】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，按下列要求折叠：(1)如图1，把矩形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F，求DF的长;(2)如图2,折叠矩形ABCD,使AD落在对角线BD上，求折痕DE的长；(3)如图3,折叠矩形ABCD,使点B与点D重合，求折痕EF的长.【例2】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；(2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.题型二矩形折叠——求边的比值【例3】如图1,在□ABCD中,E是AD上一点，连接CE,F为CE的中点,DF=EF.(1)求证:四边形ABCD为矩形；(2)如图2,若AE=AB,过点B作BG丄CE,垂足为点G,连接AG.求∠AGB的度数。

针对练习11.如图，在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,求EF的长.2.如图,在正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE,与BC的延长线交于点,连接EF，与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD= 2求BE的长；(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD.3. (1)【操作发现】如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后到△GBE，且点G 在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.⑵【问题解决】保持⑴中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值.(3)【类比探究】保持⑴中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：.【板块二】矩形与等腰三角形方法技巧1.利用矩形的性质可证明线段相等或平分，角相等，两直线平行或垂直，还可以求角的度数；2.矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此矩形有关问题常常会用到等腰三角形的性质. 题型三矩形中的等腰三角形【例1】如图,在矩形ABCD中，AC，BD交于点0，P为AD上一点，PE丄BD于点E,PF丄AC于点F,AG ⊥BD于点G.(1)求证:PE+PF=AG;(2)若AB=4,AD=6,利用（1)的结论,求PE+PF的值.【例2】已知四边形ABCD是矩形，连接AC,点E是边CB的延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点。

人教版数学八年级下册18.2.1第1课时《矩形的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2.1第1课时《矩形的性质》是本册内容的一个重要组成部分。

本节课主要让学生掌握矩形的性质，包括矩形的定义、矩形的对角线性质、矩形的四边性质等。

通过本节课的学习，为学生后续学习平行四边形的性质和其他几何图形奠定基础。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了矩形的定义和一些基本性质，对本节课的内容有一定的了解。

但学生在理解矩形的对角线性质和四边性质方面可能会遇到困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导、讲解、实践等方式，帮助学生深入理解矩形的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：掌握矩形的性质，包括矩形的定义、矩形的对角线性质、矩形的四边性质等。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生体验成功。

四. 教学重难点1.重点：矩形的性质及应用。

2.难点：矩形的对角线性质和四边性质的证明。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立知识体系。

2.实践法：学生通过观察、操作、实践，加深对矩形性质的理解。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、矩形模型等。

2.学生准备：笔记本、尺子、圆规、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示矩形图片，引导学生回顾矩形的定义和性质。

提问：你们已经掌握了哪些关于矩形的基本性质？2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示矩形的对角线性质和四边性质，引导学生观察、思考。

提问：你们认为矩形的对角线有什么性质？矩形的四边有什么性质？3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，每组选择一个矩形，用尺子、圆规、三角板等工具，验证矩形的对角线性质和四边性质。

八年级下册数学矩形讲解【矩形的概念】矩形（Rectangle）是几何中的一种图形，它的特点是由两个相等的直角构成，其他的角均为钝角，四边等长。

在数学上，矩形是一种平行四边形，是棱角数为4，棱边数为4、每个内角均为90度的四边形。

因此，矩形就是一个拥有4条边并且4个棱角，每个棱角均为90度的四边形。

【矩形的性质】1.矩形的两个对角线互相垂直，并且相等。

2.矩形的四条边均为直线，且是等长的。

3.矩形的四个内角均为钝角，即每个独个角的度数都等于90度。

4.矩形的面积等于其长度与宽度的乘积。

【矩形的特殊情形】1.空心矩形：边框和背景完全分离，构成只有边框的空心矩形。

2.平行四边形：平行四边形是指存在一对平行边的四边形，它的四个角度为90度，所以，平行四边形也可以称之为矩形。

3.正方形：正方形是特殊的矩形，它的四条边等长，四个内角的角度均为90度，正方形的面积等于其边长的平方。

4.菱形：菱形也是一种特殊的矩形，它的四个角的角度都为90度，但是它的四条边不是等长的，只有两条边相等，面积也不是等长的，菱形的面积等于其两条等长边乘上中间那条不等长边的一半。

【矩形的应用】1.计算机图形学：矩形对于计算机图形学来说，是最常用的几何形状之一，它可以用来绘制二维图形，并且能够十分轻松的绘制复杂的图形。

2.幕布的布局：幕布的布局经常使用矩形来排列，这样可以使幕布尽可能的利用好空间，达到最佳的活动效果。

3.家庭建筑：家庭建筑中，矩形也是常见的形状，它可以用来表示各种框架形式的建筑，如楼房、桥梁等。

4.城市规划：城市规划中，矩形也有着广泛的应用，例如用矩形绘制地图，城市区域的划分也是用矩形来标识的。

人教版数学八年级下册《矩形的性质》教案一. 教材分析《矩形的性质》是人教版数学八年级下册的一章内容，主要介绍矩形的性质。

本节课的内容是学生学习几何知识的重要环节，也是学生进一步学习其他平面图形性质的基础。

本节课的内容包括矩形的定义、矩形的性质以及矩形的判定。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的性质，对图形的性质有一定的了解。

但矩形的性质相对于平行四边形的性质更为复杂，需要学生通过实例探究和推理来理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解和掌握矩形的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握矩形的性质，能够运用矩形的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、推理、交流的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：矩形的性质。

2.难点：矩形的判定。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究矩形的性质。

六. 教学准备1.准备矩形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。

2.准备矩形的性质和判定的一般结论，用于引导学生总结和推理。

3.准备一些与矩形性质相关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些矩形的图片，如门、窗户等，引导学生观察矩形的特征，激发学生的学习兴趣。

提问：你们认为矩形有哪些特征呢？2.呈现（10分钟）呈现矩形的性质和判定的一般结论。

引导学生通过观察和操作，发现矩形的性质。

如矩形的对边相等、对角相等、四个角都是直角等。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用矩形的性质解决一些简单的问题。

如给定一个四边形，判断它是否为矩形。

每组选出一个代表进行解答，并解释原因。

4.巩固（10分钟）针对学生的解答，进行点评和讲解。