八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质和判定导学案3(无答案)(新版)新人教版

2019-2020学年八年级数学下册 18.2.1.1 矩形的性质导学案（新版）新人教版【学习目标】：1、了解矩形与平行四边形的关系； 2、初步认识矩形性质。

3、直角三角形斜边上的中线的性质，并能运用相关性质求解。

【学习重点】：矩形的性质【学习难点】：熟练矩形的性质并利用它的性质解决问题。

一、 自主学习：1、四边形ABCD 是平行四边形 的三个性质： 如图，在ABCD 中，①∵四边形ABCD 是平行四边形∴ AB ∥ ，AD ∥ AB = ， AD = ②∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠ ③∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO= =12 ， B O= =12， 2、预习课本第52—53页 三、 合作交流探究与展示： 1、矩形的定义：2．矩形的性质：（在旁边的空白处画一个矩形并通过观察或度量进行归纳） （1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： 。

3、归纳：（几何语言）矩形（ ）平行四边形4、小结1、矩形是 的平行四边形2、矩形的两条对角线。

5、观察下面三个图形，你能从中看到什么？CAO=BO= = =12 =12 BO 是斜边 上的 线。

BO= = =12结论：直角三角形斜边上的中线等于 的一半。

6、例题：已知：矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长及周长。

三、当堂检测：（1、2、3、4题为必做题；5、6题为选做题。

） 1、矩形ABCD 的对角线6AC cm =，则另一条对角线________BD =。

2、直角三角形斜边上的中线长时8㎝，则斜边是 ㎝ 。

3、已知矩形ABCD ，AC ＝8，则BD ＝ ，OD ＝ 。

4、矩形ABCD 被两条对角线分成的△AOD 的周长是23cm ，对角线长是13cm ，那么AD 长是多少？ 解：C5、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上的一点，30DEA ∠=︒，且AE =求EBC ∠的度数。

.
. 那么矩形的定义也是判 , AC=DB.
要点归纳：矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形ABCD 中，∵AC=BD ，
∴平行四边形ABCD 是矩形.
例1如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO
、CO 、
DO 上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH 是矩形.
1.如图，在▱ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，则下面条件能判定▱ABCD 是矩形的是
（ ）
A ．AC=BD
B ．AC=BC
C ．AD=BC
D ．AB=AD
2.如图，在平行四边形ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD 是矩形吗？为什么？
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
想一想 1.上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成
立 吗？
2.至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有_____个角是直角的四边形是矩形.
，求证：四边形EFGH为
外角∠CAM的平分线，CE⊥
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟
（）
（见幻灯片
21-28）
）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．。

《矩形》矩形的性质与判定经一、自主学习●目标导学1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质，并能运用性质解决实际问题。

2、通过合作、探究、交流，培养自己分析问题解决问题的能力。

●自学生疑1、矩形的定义2、矩形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性3.已知矩形ABCD中，S矩形ABCD=24 cm2，若BC=6 cm，则对角线AC的长是________ cm.二、合作学习●合作探究【探究一】矩形的概念看书自学，了解什么叫矩形？【探究二】矩形的性质1、根据矩形的定义，你可得到哪些性质？边：角：对角线：对称性：2、量量下面矩形的对角线，看看还有什么性质？3、你如何证明这个性质？小组交流一下。

4、归纳矩形的性质：边 角对角线 对称性 用几何语言叙述：练一练：1、矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）A.21B.41C.51D.614.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（ ）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：角：边：斜边上的中线：边与角：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。

八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质导学案（新版）新人教版一、学习目标1、掌握矩形的性质定理及推论。

2、能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。

重点：掌握矩形的性质定理难点：利用矩形的性质进行证明和计算二、自主预（复）习1、自学教材52—53页相关内容，思考、完成下列问题。

拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？当平行四边形移到到一个角是直角时，这时的图形是______形。

2、归纳：矩形定义：_____________________叫做矩形（通常也叫_________）矩形具有平行四边形的一切性质，它还有以下性质：矩形性质定理1：_______________________________；矩形性质定理2：_______________________________、3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD、因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于_______的一半。

4、填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是____________，二是___________。

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_____ 、_____ 、_____ 、_____、5、下列说法错误的是（）A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形6、矩形的对角线把矩形分成的三角形中，全等三角形一共有（）A、2对B、4对C、6对D、8对7、Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为______、8、已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_____cm，_____cm，_____cm，_____cm。

三、合作探究ABCDO例1、如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O ,∠AOB=60，AB=4，求矩形对角线的长。

矩形的判定姓名_________________学号________________学习目标：1. 理解并掌握矩形的判定定理。

2. 能应用矩形的定义、性质、判定等知识，解决有关的证明与计算。

3. 经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力，形成几何分析思路和方法。

活动一。

温故知新1. 什么叫做矩形？2.矩形性质：角：对角线：2. 思考:你能说出他们的逆命题吗？它们一定成立吗？活动二。

探究新知一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。

一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。

甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。

乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。

所以我这个四边形门就是矩形”。

根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。

探究（一）思考：有一个角是直角有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？有三个角是直角是吗:___ 是吗:___ 是吗:___猜想：_____________________________________________________________。

你能证明上述结论吗？试试看。

已知：在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90° 求证：四边形ABCD 是矩形。

(有一个角是直角)(有二个角是直角)AD (有三个角是直角)A B C D ∟∟∟归纳：矩形的判定方法1：______________________________________。

几何语言：∵_____________________________________。

∴_________________________________________________。

探究（二）思考：如果四边形ABCD 的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?AC=BD ；它是吗：____AC=BD; 它是吗：____如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？是矩形吗？将AC 同时向两边拉长，使AC=BD猜猜看：现在的 ABCD 会是一个什么图形？猜想：___________________________________________________。

八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质导学案新版新人教版18、2、1《矩形》矩形的性质学习目标1、认识矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。

2、会应用矩形的概念和性质解决有关问题。

3、经历探索矩形的概念和性质及推论的过程，发展合情推理的意识，培养严密的逻辑推理能力。

重点：矩形的性质及其应用、难点：矩形的性质及其应用、时间分配旧知回顾2分钟、自主探知10分钟合作学习15分练习巩固10分课堂小结3分、学案（学习过程）导案（学法指导）学习过程一、回顾旧知：1、平行四边形就有什么性质？（边、角、对角线）2、三角形具有稳定性，那么平行四边形具有稳定性吗？二、自主探知1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形、2、矩形就有平行四边形的那些性质？（边、角、对角线）3、矩形既然是特殊的平行四边形，还应该具有特殊的性质,请思考探究：矩形还有什么性质？矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等、4、综合总结矩形的性质：矩形性质边对边平行、对边相等角对角相等、四个角都是直角对角线对角线相等且互相平分三、合作学习：1、如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC， BO是什么边上的什么线？你能说说这个结论吗？结论：直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长、四、课堂练习P53练习2学案42—探究5[一、导课：1、复习平行四边形的性质、2、从图形是否具备稳定性入手，理解长方形（矩形）是特殊的平行四边形，总结出矩形的定义，进而明白矩形具有平行四边形的一般性质。

二、自主探知1、教师引导解释强调矩形的定义：先判定是平行四边形在加一个直角。

第2课时矩形的判定1.能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.2.培养综合应用知识分析解决问题的能力.自学指导：阅读课本54页至55页，完成下列问题.(1)角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②有三个角是直角的四边形是矩形.(2)对角线：①对角线相等的平行四边形是矩形.②对角线相等且互相平分的四边形是矩形.知识探究1.根据定义双重性，可以得出判定矩形的一种方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？命题：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：平行四边形ABCD如图，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD，AB=AB得出△ABC≌△BAD,得出∠ABC=∠BAD；又AD ∥BC,得出∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=∠BAD=90°.∴对角线相等的平行四边形是矩形.3.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形.已知：四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.∠A=∠B=90°得出AD∥BC,∠B=∠C=90°得出AB∥DC，得出四边形ABCD是平行四边形，又有角是90°，所以是矩形.自学反馈1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( C )A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等2.矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长5cm.3.如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的角平分线，(1)AB和CD、BC和AD的位置关系？解：AB∥CD，BC∥AD.(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？解：90°.(3)四边形ABCD是( C )A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？解：相等.因为矩形的对角线相等.活动1 小组讨论例如图，在平行四边形ABCD中，E,F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)四边形ABCD是矩形.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.又∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF=CE.在△ABF与△DCE中，AB=CD，BF=CE，AF＝DE，∴△ABF≌△DCE.(2)△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.矩形的判定通常有两种情况：(1)先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等.(2)直接证四边形有三个角是直角.活动2 跟踪训练1.下列四边形中不是矩形的是( C )A.有三个角是直角的四边形是矩形B.四个角都相等的四边形C.一组对边平行且对角相等的四边形D.对角线相等且互相平分的四边形2.如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是( C )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线相等且互相平分3.已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H.求证：四边形EFGH为矩形.证明：∵□ABCD,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°.又BG、AE平分∠ABC与∠BAD,∴∠BAF+∠ABF=90°,即∠AFB=90°,∴∠EFG=∠AFB=90°.同理：∠FEH=∠FGH=∠GHE=∠GFE=90°，∴四边形EFGH 为矩形.4.已知平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm.(1)平行四边形是矩形吗？说明你的理由.(2)求这个平行四边形的面积.(1)是.△AOB 是等边三角形，AO=BO=4 cm 根据平行四边形对角线互相平分，可得AC=BD=8 cm.由对角线相等的平行四边形是矩形可知平行四边形ABCD 是矩形.(2)矩形一边是4 cm ，根据勾股定理可知另一边为2284 =43(cm).故面积为163(cm 2). 活动3 课堂小结矩形的判定方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是平行四边形.。

八年级数学下册 18.2.1 矩形第2课时矩形的判定学案 (新版)新人教版课前预习要点感知矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形、预习练习如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有①④(填写序号)、02当堂训练知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是答案不唯一，如AD＝BC或AB∥CD等、(写出一种情况即可)2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形、求证：四边形ADBE是矩形、证明：∵AB ＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC、∴∠ADB＝90、又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形、知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形3、能判断四边形是矩形的条件是(C)A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直4、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由、解：四边形EFGH是矩形、理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO、∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO、∴OE＝OG，OF＝OH、∴四边形EFGH是平行四边形、∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形、知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形5、如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为12、6、已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线、求证：四边形EFGH为矩形、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180、∵AF，DF平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAE＝∠DAB、∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC、∴∠FAD＋∠FDA＝90、∴∠AFD＝90、同理：∠BHC＝∠HEF＝90、∴四边形EFGH是矩形、03课后作业7、已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)A、OA＝OC，OB＝ODB、AC＝BDC、AC⊥BDD、∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝908、下面命题正确的个数是(C)(1)矩形是轴对称图形；(2)矩形的对角线不小于夹在两对边间的任意线段；(3)两条对角线相等的四边形是矩形；(4)有两个角相等的平行四边形是矩形；(5)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形、A、5个B、4个C、3个D、2个9、(呼和浩特中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点、若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12、10、(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE、求证：四边形BECD是矩形、证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD、∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝CD、又∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE且AD＝BE，AB ＝DE、∵AD＝CD，∴CD∥BE且CD＝BE、∴四边形BECD是平行四边形、∵AB＝BC，∴BC＝DE、∴四边形BECD是矩形、11、(百色中考)如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，DE∥BF，∠1＝∠2(1)求证：△AED≌△CFB；(2)若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由、证明：(1)∵DE∥BF，∴∠E＝∠F、又∵∠1＝∠2，AE＝CF，∴△AED≌△CFB(AAS)(2)四边形ABCD是矩形，理由如下：∵△AED≌△CFB，∴AD＝CB，∠EAD＝∠FCB、∴180－∠EAD＝180－∠FCB，即∠DAC＝∠BCA、∴AD∥BC、∴四边形ABCD为平行四边形、∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90、∴▱ABCD为矩形、挑战自我12、(张家界中考)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC、设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F、(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由、解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO、∴OF＝OC、同理可证：OC＝OE、∴OE＝OF、(2)由(1)知：OF＝OC，OC ＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC、∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC、而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180，∴∠ECF＝∠OCF ＋∠OCE＝90、∴EF＝＝＝13、∴OC＝EF＝、(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF 为矩形、理由如下：连接AE、AF、由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形、又∵∠ECF ＝90，∴四边形AECF为矩形、。

新人教版八年级数学下册第十八章《矩形的性质和判定的应用》导学案学习目标：1．掌握矩形的性质和判定方法．2．能熟练应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明和计算，培养学生的分析能力学习重点：矩形的性质和判定．学习难点：矩形的判定及性质的综合应用．学习过程：一、自学指导（1）矩形概念：（2）矩形性质：边：角：对角线：（3）矩形与平行四边形之间的关系？3. 通过讨论得到矩形的判定方法．判定矩形最基本的判定方法是：矩形判定方法1：（）．矩形判定方法2：（）．二、自学检测：1．下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．下列命题中不正确的是( )。

(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半 (B)矩形的对角线相等(C)矩形的对角线互相垂直 (D)矩形是轴对称图形3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一边长为10，则另一边长为____________4、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( )A、对角相等B、对边相等C、对角线相等D、对角线互相平分5．已知在ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且∠OBC=∠OCB.求证：四边形ABCD 是矩形三、课堂练习6．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )。

(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cmM D CB A7．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )。

(A)14cm(B)28cm (C)20cm (D)22cm8如图,矩形ABCD 的周长为24,M 为BC 的中点,∠AMD=90°,求矩形相邻两边的长.9．如图，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 和∠ECB 的度数．。

18．2 特殊的平行四边形18．2.1 矩形 第一课时教学目标1．掌握矩形的性质，学会运用矩形的性质解决问题．2．经历探索矩形的性质的过程，发展学生主动探索、研究的习惯．3．通过动手操作，感受矩形与平行四边形之间的关系，掌握矩形性质相对于平行四边形性质的相关性和特殊性． 教学重难点重点：矩形的性质． 难点：矩形性质的探究．教学过程一、情境引入请同学们针对以下几个问题进行实验和探究：【问题1】 用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？ 【问题2】 试着改变平行四边形的形状，你能发现平行四边形的内角有什么变化？ 这时教师可从两方面引导学生：对于一般的学生可以通过观察、测量得到结论，对于能力较好的学生要求说明理由．学生通过观察以下图形的变化特征，师生共同引出矩形的概念．Ｋ平行四边形――→有一个角是直角矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．【问题3】 矩形是生活中非常常见的图形，你能举出一些例子吗？学生回答后，教师用多媒体展示图片．如：门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等． 本节课我们就来研究矩形具有哪些性质．【设计意图】 通过动手操作，使学生感受到角度的变化引起了平行四边形形状的变化，使得由平行四边形变化到矩形的过程显得非常直观，便于学生对矩形概念的理解．二、互动新授【问题4】 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？再次让学生操作、观察，然后交流、讨论，得出矩形的性质：(请学生自己完成证明) 矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等．【思考】 如教材图18.2－3，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请同学们观察在Rt △ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，BO 与AC 有什么关系？教材图18.2－3学生交流、讨论后，可证得：(1)BO ＝12BD ＝12AC .由此，我们得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，其中相对的两个三角形全等． 【例1】 如教材图18.2－4，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4.求矩形对角线的长．教材图18.2－4【解】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC 与BD 相等且互相平分，∴OA ＝OB. 又∠AOB ＝60°，∴△OAB 是等边三角形． ∴OA ＝AB ＝4cm ， ∴AC ＝BD ＝2OA ＝8cm. 四、 板书设计五、教学反思本节课教师通过引导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生自己形成对数学知识的理解和有效的学习策略．教学中通过不同问题的设计，使学生在动手操作的同时也能加以理性思考，使活动不流于形式，也满足了不同的学生学习不同的数学的需要．在活动过程中，学生通过动手操作、自主探究发现矩形的性质，使数学活动与知识的学习有机地结合，达到做一题会一类的效果．导学方案一、学法点津学生在学习矩形时，首先要明确矩形是一个平行四边形，同时它必有一个角是直角，所以矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质；矩形的性质是证明线段相等或角相等、线段平行、垂直及求角的大小或线段的长度的重要依据．二、学点归纳总结 1.知识要点总结（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线都相等． 2.规律方法总结18．2 特殊的平行四边形 18．2.1 矩形 第一课时 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质：(1)矩形具有平行四边形的所有性质；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等；(4)矩形是轴对称图形，有两条对称轴．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性主要表现为四个角都是直角和对角线相等． （2）矩形的性质是求线段的长度、角度等问题的常用知识，它可以用来验证两条线段是否相等，两条直线是否平行、两个角是否相等．（3）由于矩形四个角都是直角，则常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决．（4）．矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质．第一课时作业设计一、选择题1．下列说法正确的是( )．A ．平行四边形是矩形B ．矩形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．矩形的对角线不一定相等 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是( )．A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对边平行3．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，斜边上的中线长是( )． A ．13 B ．6 C ．6.5 D ．不能确定 二、填空题 4．在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝10，∠ACB ＝30°，则∠AOB ＝________． 5．矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝2∠BOC ，若对角线AC ＝18cm ，则AD ＝__________．三、解答题6．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AD ＝3cm ，求AB ，AC 的长．Ｋ7．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，求证：BE ＝CF.Ｋ【参考答案】一、1.B 2.C 3.C 二、4.60° 5.9cm三、6.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴AO ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵∠AOD ＝120°，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt △ADB 中，设AB ＝x cm ，则BD ＝2x cm ，由勾股定理得x 2＋32＝(2x )2，解得x ＝3cm ，∴AC ＝BD ＝23cm.7．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OB ＝12BD ，OC ＝12AC ，∴OB ＝OC ，又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO ＝∠CFO ＝90°，又∵∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF ，∴BE ＝CF .第二课时教学目标1．经历探索矩形的判定方法的过程，掌握判定条件，并能运用其解决简单的问题． 2．在探索矩形的判定方法的直观操作和简单的说理活动过程中，培养学生的推理能力． 教学重难点重点：矩形判定方法的探索与运用． 难点：矩形判定方法的探究．教学过程一、情境引入请同学们来看一个问题： 【问题】 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．你知道其中的道理吗？二、互动新授教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并进行分析： 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．当平行四边形的一个角为直角时，另外三个角同时都变为直角，也使两条对角线成为相等的线段．工人师傅检测门窗是否为矩形，可用以下数学知识来说明：如右图，在四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，AD ＝BC ，AC ＝BD.求证：四边形ABCD 是矩形．【证明】 ∵AB ＝DC ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.在△ABD 与△ADC 中，{AB ＝DC ，AD ＝DA ，BD ＝CA . ∴△ABD ≌△DCA ，∴∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∴平行四边形ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．实际上，我们得到矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．【思考】 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？学生交流、讨论后，尝试进行证明．教师评析：四个角是直角的四边形是矩形，至少有三个角是直角的四边形是矩形． 于是，我们又得到矩形的另一个判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形．【例2】 如教材图18.2－5，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ，∠OAD ＝50°，求∠OAB 的度数．教材图18.2－5【解】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.又OA ＝OD ，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°.又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°.三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了矩形的判定定理：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形．四、板书设计五、教学反思本节课采用了“情境——解释——归纳——应用”的教学模式，把知识的学习放到实际情境中，既可激发学生的学习兴趣，又可使学生借助情境发现问题，从数学的角度考察身边的事物现象，提高学生运用数学知识和方法解决问题的能力，使学生初步体会数学建模的思想，体会数学与现实世界的联系．矩形的判定方法比较多，学生易混淆，可以速记为：(1)一个直角＋平行四边形＝矩形；(2)对角线相等＋平行四边形＝矩形；(3)三个直角＋四边形＝矩形；(4)对角线相等且互相平分＋四边形＝矩形．有了速记技巧学生就不会混淆了．导学方案一、学法点津学生用定义来证明矩形时，应分两步：先证明四边形是平行四边形；证明四边形中有一个角是直角．利用对角线相等证明四边形是矩形，也应分两步：先证明四边形是平行四边形，再证明其对角线相等．另外还应注意矩形的判定和性质的区别．二、学点归纳总结1.知识要点总结矩形的判定定理：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)对角线相等的平行四边形是矩形．(3)有三个角是直角的四边形是矩形．2.规律方法总结矩形判定定理与其性质定理是互逆定理．判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判断矩形，只要证明出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判断矩形，可以直接证明出三个角是直角或先证明出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角．第二课时作业设计一、选择题1．下列四边形不是矩形的是( )．A．四个角相等的四边形B．有三个角是直角的四边形C．一组对边平行且对角线相等的四边形D．对角线相等且平分的四边形2．顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，可以添加的一个条件是( )．A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB3．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，那么添加的条件是( )．A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC ＝BD二、填空题4．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，可添加的条件是__________________(写出一个即可)．5．矩形的一条较短边长为6cm，对角线长为12cm，两条对角线交角中较大角为__________．6．如果矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm两部分，那么矩形的周长为________cm.三、解答题7．如图，点M是▱ABCD的边AD的中点，且MB＝MC，求证：▱ABCD是矩形．Ｋ8．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，若动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，则经过几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2?Ｋ【参考答案】一、1.C2.C3.D二、4.∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一)5．120°6.20或22三、7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＋∠D＝180°.又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.又∵MB＝MC，∴△ABM≌△DCM，∴∠A＝∠D＝90°，∴▱ABCD 是矩形．8．解：设经过x秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，则AP＝3x cm，BP＝(16－3x)cm，CQ＝2x cm，∴S四边形PBCQ＝12(CQ＋PB)·BC＝33，即12(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5，∴经过5s，四边形PBCQ的面积是33cm2.。

八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质和判定导学案3（新版）新人教版18、2、1《矩形》矩形的性质和判定班级________ 姓名1、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34，那么这个直角三角形的较小的内角是度、2、如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120，AB=5cm，•那么矩形ABCD 的面积为________、3、矩形的对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝2∠BOC，若AC＝6cm，则AD＝4、若一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线等于、5、矩形的两条对角线的夹角是60，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______、6、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMRP的面积S1，与矩形QCNR的面积S2的大小关系是()A、 S1>S2B、 S1=S2C、 S1<S2D、不能确定7、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A、98B、196C、280D、2848、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A、一般平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形9、若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60，那么AB：AC=______、10、矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点于H，于G，求证：DAEGCBFH11、如图，以△ABC的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD、△BCE、△ACF、请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？12、如图矩形中，延长到，使，是中点、求证：、13、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标 y x PDCBAO备课时间存在问题。

授课人年级八学科数学授课时间课题18.2.1矩形的性质课型新授学习目标1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．学习关键重点矩形的性质难点矩形的性质的灵活应用学教过程一、创设情境独立思考1、阅读课本P52 ～53 页，思考下列问题：（1）什么是矩形？矩形是平行四边形吗？（2）矩形有哪些性质？边：角：对角线：对称性：（3）直角三角形斜边的中线和斜边有什么关系？为什么？二、自学检测1.矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（）A、对角相等B、对角线相等C、对角线互相平分D、对边平行且相等2．已知:四边形ABCD是矩形，（1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_____ ㎝，OB=_____ ㎝（2）若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD=____cm，AB=____cm3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，（1）若BD=3㎝，则AC＝㎝（2）若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝㎝，BD＝㎝三、例题精讲例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．变式1:已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AO D=120°，AC=8，求AB,BC变式2：已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中计算经常要用到直角三角形的性质、勾股定理及方程思想．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用等面积法。

变式3：已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．四、达标检测1．（4分）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm2．（4分）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形3．（4分）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对4．（4分）（1）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．5．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求∠CBE的度数．选做题：（8分）已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．。

18.2 特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时矩形的性质一、新课导入1.导入课题演示平行四边形方框,使方框相邻两边成直角时，让学生尝试说出此时四边形的名称，并板书课题.2.学习目标（1）理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（2）掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.3.学习重、难点重点：矩形的性质及其推论.难点：矩形性质的运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P52内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：观看平行四边形方框改变成有一个角是直角时，边的关系是否发生改变.（4）自学参考提纲：①矩形是平行四边形吗?它具有平行四边形的性质吗？②如图，四边形ABCD是矩形，那么：AD∥BC且AD＝BC，AB∥CD且AB＝CD，∠D=∠B=90°，∵∠A+∠B=180°，∴∠A=∠C=∠D，OA=OC，OB=OD.③矩形还具有哪些一般平行四边形不一定具有的性质呢？结合上图进行论证归纳出来.对于四个角来说有四个角都是直角.对于对角线来说有对角线相等.2.自学:结合自学参考提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生完成参考提纲时存在的困难问题.②差异指导：引导学生通过平行四边形性质及三角形全等知识探究矩形的特殊性质.（2）生助生：学生之间相互交流和帮助.4.强化（1）矩形具有一般平行四边形的性质.（2）矩形具有的特殊性质.1.自学指导（1）自学内容：P53练习以上的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：认真阅读“思考”文字内容，对照图形思考BO与AC之间存在什么关系.（4）自学参考提纲：①如教材中图18.2-3，因为矩形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，即O是AC的中点，BO是△ABC的边AC上的中线.②因为∠ABC=90°，BO是AC的中线，BO=12BD，AC=BD，所以BO=12AC；也就是说直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.③归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.④例1中OA=OB运用了对角线相等和对角线互相平分性质.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生找BO与AC关系的思考过程.②差异指导：指导学生将结论用文字表达出来.（2）生助生：学生相互交流帮助.4.强化：直角三角形的性质:（1）两锐角互余.（2）两直角边的平方和等于斜边的平方.（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.在学习本节课之前，学生对矩形的基本知识有一定的了解，而且有前一节探究平行四边形有关知识作为基础，学生已具有一定的独立思考和探究的能力，所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，促进学生能力的提高.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（共60分）1.(15分)矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线互相平分2.(15分)直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边的中线长是(D)A.26B.13C.8.5D.6.53.(15分)矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，BC=12cm,则△ABO的周长等于18cm .4.(15分)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°.点D是AB边的中点.试判断△BCD的形状，并说明理由.解：△BCD为等边三角形.∵∠ACB=90°,点D是AB的中点，∴CD=12AB=BD.在Rt△ABC中，∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.在△CBD中，CD=BD,∠B=60°,∴△BCD为等边三角形.二、综合应用（20分）5.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5cm，求对角线长.解：对角线长=2×4.5=9（cm）.三、拓展延伸（20分）6.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF.证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，∴OB=OC.又∵∠BEO=∠CFO=90°，∠EOB=∠FOC.∴Rt△EBO≌Rt△FCO, ∴BE=CF.。