甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：压轴大题突破练(二)Word版含答案

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13. (3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

2014高考突破 数学学科（二）——圆锥曲线压轴1. 高考命题回顾例1（轨迹问题）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （2009宁夏、海南） (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线例2（轨迹方程问题）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（2010全国新课标） （1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程例3（圆锥曲线中的切线，距离问题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA u u u r u u r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C 。

（2011全国新课标）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

例4（距离问题）设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（2012全国新课标） (1)若∠BFD=90°，ABD △的面积为p 的值及圆F 的方程；(2)若F B A ,,三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

例5（弦长问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.例6（面积最值问题）平面直角坐标系x Oy 中，过椭圆M ： x 2—a 2 + y 2—b2=1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y- 3 = 0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为 12.（Ι）求M 的方程（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值.2．圆锥曲线方程及性质 ①椭圆与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x ya b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

14年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1．（本小题满分14分）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P 作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，∴②且由N（1，3）是线段AB的中点，得解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N（1，3）是AB的中点，∴又由N（1，3）在椭圆内，∴∴的取值范围是（12，+∞）.直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，∴于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设∴计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）3．（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有极限，且（Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则(Ⅱ)5．已知函数和的图象关于原点对称，且．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式；(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上∴(Ⅱ)由当时，，此时不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.（Ⅲ）①②ⅰ）ⅱ）6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.对定义域分别是D f、D g的函数y=f(x) 、y=g(x),(1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1 x=1(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,P n(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, A N为A N-1关于点P N的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),∴={2,4}.(2) ∵={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1).∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由于,得=2()=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}。

2014年包九中数学压轴模拟卷一（文科）（试卷总分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{1},{0,1,2,4}A x x B =>=，则()R C A B =( )A ．{0,1}B ． {0}C ． {2,4}D ．∅2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题：①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ；②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ；④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233)(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ）5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ）A ．2B ．3C ．—3D ． —26．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．86408．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 48D ． 809． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时， 2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．210． 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．14a ＋34b B ． 34a ＋14b C ．14a ＋14b D ．a ＋34b 11．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [3,4]D ． [2,3]12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在A B C △中，3A π∠=，3B C=，A B ，则C ∠= ． 14．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．15． 已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩， 表示的平面区域的面积为4，点(,)P x y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为．16． 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．三．解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n n n a b b b b =++++-13221222 ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．18． (本小题满分12分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛． 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛．（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．19． (本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D A B C D⊥平面，A D =1，A B ，4B C =． （Ⅰ）求证：B D ⊥P C ；（Ⅱ）当1P D =时，求此四棱锥的表面积．20．（本小题满分12分）已知点M 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C 的左右焦点，12||F F =，01260F MF ∠=，12F MF ∆的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设过椭圆右焦点2F 的直线l 和椭圆交于两点,A B ，是否存在直线l ，使得△2OAF 与△2OBF 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21． (本小题满分12分)设函数2()(1)e ()x f x x kx k =--∈R ，()e x g x =-．（Ⅰ）当0x >时，设()()(1)()h x g x a x a =--+∈R ，讨论函数()h x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1(1]2k ∈，时，()(0)f k g ≥．请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

甘肃省武威市铁路中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题注意事项：所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予记分。

第I 卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1．身高与体重有关系可以用________分析来分析 ( )． A ．残差 B ．回归 C ．等高条形图 D ．独立检验2．数列2，5，10，17，x ，37，…中的x 等于 ( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．复数1－i 的虚部是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i4．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数5．下列是对三角形的分类结构图，其中不正确的是 ( )6．已知扇形的弧长为l ，半径为r ．类比三角形的面积公式：21S 底×高，可推知扇形的 面积公式S 扇形等于 ( )A ．22rB ．22lC ．12lrD ．lr9．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是 ( )． A ．相关系数r 变大B ．相关指数R 2变大C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强10．阅读右图所示的程序框图，它的输出结果是 ( )A ．0B ．4π C ．π D ．1＋4π11．不等式3529x ≤-<的解集为 （ ）A ．[2,1)[4,7)- B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-12．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )． A ．58.5 B ．46.5 C ．60 D ．75武威铁中2013—2014学年第二学期期中考试答题卡高二数学（文科）第II 卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.13．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 14．当32＜m ＜1时，复数z ＝3m －2＋(m －1)i 在复平面上的对应点位于第________象限．15．函数46y x x =-+-的最小值为 .姓名 班级 考场_______________一、选择题（请用2B 铅笔填涂）16．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 D解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.2．已知z1－i＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i答案 A解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．4．若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400答案 B解析∵{1b n}为“调和数列”，∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，b4＋b6＝20，b4·b6≤100.5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()A ．0B ．2 012C ．2 011D ．1答案 D解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C的一条渐近线，则C 的方程为 ( )A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝1 答案 A解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴ab＝2，① 4a 2－1b 2＝1；②解得a 2＝2，b 2＝1.选A.7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )答案 C解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.8． 等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0， 即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C.9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.10．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， F 2A →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，F 2B →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a .F 2A →·F 2B →＝4c 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 2>0，e 2－2e －1<0,1<e <1＋ 2.11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)答案 C解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根，需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －2－ 3解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝12.故sin α＝32，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概率是________． 答案2332解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×3242＝2332. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50, 60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案 75% 71解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是（ ） A ．M ∪P=P B ．M=P C ．M ∪P=MD ．M ∩P=P2.已知复数2(43)(1)a a a i -++-是纯虚数，(a R ∈),则实数a 的值为( ) A ．1 B. 3 C. 1或3 D. －13.若4sin 5α=-，tan 0α<，则cos α的值为( ) A. 35 B. 35- C. 35± D.454. 若等差数列{n a }的前5项的和525S =，且23a =，则7a =( ) A. 12 B. 13 C. 14 D.155. 设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<6.已知命题p ：若220x y +=，则,x y 全为0；命题q ：x R ∃∈，使3sin cos 2x x +=。

则下列命题是真命题的是( )A. p q ∧B. ()p q ⌝∨C. ()p q ∧⌝D. ()p q ⌝∧ 7．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，在△ABC 所在平面内有一点P ，满足,0=++CP BP PA ,||λ=PD 则λ的值为( )A ．1B ．2C ．21 D ．41 8. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c 若A a B c C b sin cos cos =+，则△ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定10. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（)11.设a R ∈，函数()=x x f x e ae -+的导函数'()f x 是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A. ln 22- B. ln 2- C. ln 22D.ln 212.已知函数()2-+=x e x f x ，()3ln 2-+=x x x g .若实数a ，b 满足()0=a f ，()0=b g ，则( )A. ()()b f a g <<0B. ()()a g b f <<0C. ()()b f a g <<0D. ()()0<<a g b f 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,2=，()6,x =，若向量//，则实数x 的值为 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ，3a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S .15.已知O 为坐标原点，点()2,3M ，若()y x N ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥401y x y x ，则⋅的最大值为 .16. 函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . 武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（三）数学（文）答 题 卡一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. . 15. . 16. .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分)等差数列{}n a 中，47=a ，9192a a =. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若nn na b 1=，求数列{}n b 的前n 项和为n S .19. （本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1)cos(32cos =+-C B A .⑴求角A 的大小；⑵若ABC △的面积35=S ，5=b ，求C B sin sin 的值.21.(本题满分12分)已知函数32()3f x ax bx x =+-(,)a b ∈R ，在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值.22. (本小题满分12分)已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.（R a ∈） ⑴当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；⑵若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．高三数学文阶段性测试（三）参考答案三、解答题(本大题70分)18.(本小题满分12分) 解(1)f(x)=4cosx(sinxcos6π+cosxsin 6π)－1 ……………………………… 2分2x-1= ……………………………… 4分 =2sin(2x+6π)， ∴ 函数f(x)的最小正周期为π……………………………6分(2)∵ -6π≤x ≤4π, ∴ -6π≤2x+6π≤23π, ……………8分 ∴ 当 2x+6π=2π,即x=6π时，函数f(x)取得最大值2；……10分当 2x+6π= -6π,即 x= -6π时，函数f(x)取得最小值-1………12分20．解：（Ⅰ）由21n n S a =-得，1211-=--n n a s -------------------------1分 当，n 时2≥1n a --=n n s s ,)12()12(1---=-n n n a a a---------------------------3分2,211==∴--n nn n a a a a ---------------------------4分{}n a ∴是以2为公比的等比数列 ---------------------------5分 令n=1得11121,1,a a a =-∴={}n a ∴的通项公式是12n n a -= ---------------------6分 （Ⅱ）由1121121(21)()22n n n n n n a b n b n ---⋅=-==-⋅得 -------------------------- 7分 0211111()3()(21)()222n n T n -∴=⋅+⋅++-⋅--------------------------8分 1211111()3()(21)()2222n n T n ∴=⋅+⋅++-⋅--------------------------9分相减得：12121111112112()2()2()(21)()32222222n n n n n n T n ---=+⋅+⋅++--⋅=-- --- ---11分311216,22n n n n T ---∴=------------------------------------12分22解：（1）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，xx x x x f 11)(2+=+='；-------2分对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ， ∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，-------3分∴21)()(2max e e f x f +==，21)1()(min ==f x f .------5分（2）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，+∞）上恒成立 ,∵xx a x x ax x a x a x a x g ]1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--=' ------6分① 若21>a ，令0)(='x g ，得11=x ，1212-=a x ，当112=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，+∞)上是增函数，+∞→+∞→-+∞→x ax x ln ,2)21-(a ,x 2有时,)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意； -------8分当211x x ≤=，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上是增函数，+∞→+∞→-+∞→x ax x ln ,2)21-(a ,x 2有时有)(x g ∈()1(g ，+∞)，也不合题意；------9分② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ， 从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ，由此求得a 的范围是[21-，21]. -------11分综上述，a 的取值范围是[21-，21]. ------12分。

一、选择题（本题有12个小题，每小题4分，共48分）1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367' 化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin1-化简的结果为 （ ）A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B. 4π-=x C. 8π=x D. π=x5．下列命题正确的是（ ）A 、第二象限角必是钝角B 、终边相同的角一定相等C 、相等的角终边必相同D 、不相等的角终边必不相同6．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )．A －.513B ． 513 C.512 D ．－5127．三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ）A.sin A > cos BB. sin A < cos BC. sin A =cos BD. sin A 与cos B 大小不确定8．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 （ ） A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππC ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2(x ∈R )是( )． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法确定二、填空题（本题有4个小题，每小题4分，共16分） 13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________ 14．比较大小0508cos 0144cos 15．函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________16．终边落在y 轴的角α的集合是__________________________________武威铁中2013—2014学年第二学期期中试卷姓名 班级 考场_______________高一数学（命题人：李俊元，审核人：张庚年）一、选择题（4分×12＝48分）二、填空题（4分×4＝16分）13． 14．______________________15． 16．______________________ 三、解答题（ 5小题，共56分。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛2C －π6＝1.∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1，∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B ) ＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6， ∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率． 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3． 如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ； (2)若SE ＝1，求三棱锥E －SBC 的高．(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF . 由BC 在平面SBC 内， 得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b nm .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和． 解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n . ＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b nm 不成立， ∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012)＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b nm 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ， 令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n.(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.。

选择填空限时练选择填空限时练(一)(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 A解析 U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y <12，∴∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.选A. 2． 满足z (2－i)＝2＋i(i 为虚数单位)的复数z 在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )222＋12＝3＋4i 5＝35＋45i.∴z 对应点⎝⎛⎭⎫35，45在第一象限．选A.3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为 ( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞) 答案 C解析 x ≤0时，由f (－4)＝f (0)得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴x ＝－2，即－b2＝－2，∴b＝4.又f (－2)＝0，∴c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋4x ＋4 (x ≤0)，因此f (x )≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1，解得x >0或－3≤x ≤－1.4． 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115 D.3716答案 A解析 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定 义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故 本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2. 5． 公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 a 3a 11＝16⇔a 27＝16⇔a 7＝4⇔a 16＝a 7×q 9＝32⇔log 2a 16＝5.6． 以下有关命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，有x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 p ∧q 为假，则至少一个为假，故C 错． 7． 设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0最多有两个实根． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④答案 C解析 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．①正确； 当b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ， 若x ≥0，f (x )＝0无解，若x <0， f (x )＝0有一解x ＝－c ，②正确； 结合图象知③正确，④不正确．8． 若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ，b 的等差中项为12，α＝a ＋1b ，β＝b ＋1a，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意知a ＋b ＝1，α＋β＝a ＋1b ＋b ＋1a ＝1＋1a ＋1b ＝1＋1ab ，由a ，b ∈(0，＋∞)，得a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，因而ab ≤14，则α＋β的最小值为5.9． 函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )答案 D解析 由函数解析式得f (x )是奇函数， 故图象关于原点对称，排除A 、B 选项． 根据函数有两个零点x ＝±1，排除C 选项．10．若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.16π3B.19π3C.19π12D.4π3答案 B解析 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1.设该正三棱柱的外接球半径为R ，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×23＝23，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122＝1912，则该球的表面积为4πR 2＝19π3.11．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4. 由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列， 可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π，① 2x 3＝π2＋x 4，②由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos5π6＝－32. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC→＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A.263B.433C.463D.233答案 C解析 由题意可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝2，又∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|， ∴|BC →|＝2|AC →|.∴|OC →|＝|AC →|.又∵AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →. ∴|OC →|＝|AC →|＝ 2.如图，在Rt △AOC 中，易求得C (1，－1)，代入椭圆方程得124＋(－1)2b 2＝1⇒b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83.∴c ＝263，2c ＝463.故选C.二、填空题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0，则不等式x ＋xf (x )≤2的解集是________．答案 (－∞，1] 解析 (1)当x ≥0时， 原不等式可化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1，即0≤x ≤1；(2)当x <0时，原不等式可化为x 2－x ＋2≥0， 得⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥0恒成立，即x <0. 综合(1)(2)知x ≤1， 所以解集为(－∞，1]．14．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF →1|＝3|MF →2|，则此双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x解析 由双曲线的性质可推得|MF →2|＝b ， 则|MF →1|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF →1|＝c ， cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－ac ，又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2， 即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22x .15．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由a ⊥b 得，4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232＝6.当且仅当“32x ＝3y ”时， 即y ＝2x 时，上式取“＝”． 此时x ＝12，y ＝1.16．给出以下四个命题，所有真命题的序号为________．①从总体中抽取样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，若记x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，则回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )；②将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ③已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分不必要条件；④命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |≥2，则－2<x <2”． 答案 ①②③解析 y ＝cos 2x 向右平移π3得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.。