高一数学 3.1.1《方程的根与函数的零点》教案(新人教A版必修1) 河北专用

3.1.1 方程的根与函数的零点（教案）第一课时教学目标1、知识与技能（1）了解函数零点的概念；（2）理解函数的零点与方程的根的联系；（3）掌握函数零点存在的判断方法。

2、过程与方法（1）通过自主探究，合作交流，经历“特殊→一般”、 “类比→归纳→应用”的过程，领会函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；（2）感悟由具体到抽象的研究方法；（3）培养学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观（1）体验探究的乐趣；（2）认识到万物的联系与转化，培养学生用联系的观点看问题；（3）养成严密思考的良好学习习惯。

教学重点与难点1、教学重点理解函数的零点与方程的根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。

2、教学难点准确理解概念，探究发现函数零点存在的条件。

教学过程（一）课前热身，新课导入求解下列方程的根：1022=+x 20322=--x x 3022=-x 4()01lg =-x思考：如何求解方程06-2ln =+x x 的解？ 设计意图：让学生经历由熟悉到陌生的过程，利用复杂无法求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲。

此时开门见山地提出用函数的思想解决方程根的问题，点明本节课的课题。

（二）启发引导，形成概念探究：方程与函数的联系设计意图：以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系，渗透数形结合的思想，为一般的方程与其对应函数的关系作准备。

思考：上述结论对于一般的方程与其对应的函数是否也成立？1022=+x 与22+=x y 2022=-x 与22-=x y 3()01lg =-x 与()1lg -=x y推广：方程()0=x f 有实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴方程()0=x f 不相等实数根的个数⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴0x 是方程()0=x f 的实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴设计意图：结合课前热身已解决的方程的根的问题，通过观察相应函数的图象，将由一元二次方程与相应二次函数得出的结论推广到一般的方程与其对应函数，再一次体会方程与函数的联系，为引入“函数零点”的概念打下基础，体现了由特殊到一般的思想，培养学生的思维能力和归纳能力。

§4.1.1方程的根与函数的零点教学目标： （一）知识与技能：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系. 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法：自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系． （三）情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值. 教学重难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性. 教学过程设计（一）回顾旧知，发现问题 问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念 1、函数的零点：辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（ ）A ．（-1，0），（3，0）；B ．x =-1；C ．x =3；D ．-1和3． 2、等价关系：变式练习： 求下列函数的零点（1）65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=x x f （3）：xy 1=； （四）分组讨论，探究结论（零点存在性）问题4：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？ （1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．（3）观察屏幕上的函数图象：若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是 （相同／互异） 由以上探索，你可以得出什么样的结论？讨论：（1）从这一结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？ （4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？（5）若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内有零点，一定能得出f (a )·f (b )<0的结论吗？ （6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数是唯一的呢？ 变式训练1.若函数()y f x =在区间[],a b 上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 ( )A ．若()()0f a f b >，则不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =B ．若()()0f a f b <，则存在且只存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =C ．若()()0f a f b >，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c =D ．若()()0f a f b <，则有可能不存在实数(),c a b ∈，使得()0f c = 2. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．(),1-∞ B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,+∞ 3. 若函数2()f x x ax b =++的零点是2和-4，则a=,b=.（五）观察感知，例题学习试一试：你能判断出方程 3ln +-=x x 实数根的个数吗？ 六）反思小结,提升能力 1．函数零点的定义2．等价关系 函数Y=f(x)的零点函数Y=f(x)的图象与X 轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断课后思考．求函数22)(x x f x-=的零点个数。

《方程的根与函数的零点》教学设计吉林省通化市第一中学校史俊友一、教学内容解析本节课选自《普通高中课程标准实验实验教课书数学I必修本（A版）》第三章的第一课时《方程的根与函数的零点》。

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应函数的情形。

这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，渗透着重要的数学思想“由特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备。

二、教学目标设置1知识与技能（1）通过对二次函数图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。

（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件。

（3）结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。

2过程与方法（1）通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；（2）通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；（3）通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；（4）通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

3情感、态度与价值观（1）让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；（3）使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

教学重点：零点的概念及与方程的关系；零点存在性的判定。

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

模块必修一第三单元第3.1.1节方程的根与函数零点教学案 课时：第一课时 课型：新授 编者： 日期： 年 月 日 三维目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.自主性学习1、旧知识铺垫 复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关2、新知识学习探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？总结：零点的定义反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？探究任务二：零点存在性定理问题：① 画出二次函数()223f x x x =--的图像,观察函数在区间[-2,1]上有无零点,计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现他们的乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也有这种特点呢？通过函数的图象和计算发现：()()21f f -⋅__0，()223f x x x =--在（－2，1）有零点_______，它是2230x x --=的根。

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3。

1.1方程的根与函数的零点【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。

●为必须记忆的内容【学习目标】:1,结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；2，结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。

3,体会化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想。

【学习重点】：零点的概念及零点存在性的判定.【学习难点】：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

【教学过程】：一，自主探索,讨论展示问题一，请解出下列方程的根,并画出对应函数的图像。

(1）2x +1=0 对应函数y=2x+1结论:（2）0322=--x x 对应函数322--=x x y结论：（3）观察课本86页图3.1。

1对于二次函数来说你能得出什么结论？●零点定义:对于 ，我们把 叫做函数y=f （x ）的零点.这样函数的零点就是 ,也是 。

●方程f （x)=0有实根⇔ ⇔ 。

基于以上结论,对于不能顺利解出根的方程，我们可以 。

问题二，观察问题一（1）函数图象，函数12)(+=x x f 在区间[]1,1-有零点。

)1(-f 0，)1(f 0 ，即)1()1(f f •- 0.问题三，观察下面函数()y f x =的图象， 在区间[,]a b 上 零点;)()(b f a f • 0；在区间[,]b c 上 零点；)()(b f a f • 0；在区间[,]c d 上 零点；)()(b f a f • 0.●一般的，我们有如果函数y=f(x ）在区间[a,b ］上的图象是 ,并且有 那么,函数y=f(x ）在区间（a ，b ） 内有零点． 即存在c ∈(a,b)，使得f （c)=0，这个c 也就是方程f(x ）=0的根．思考1,为什么强调图象的连续性？2,若函数y=f （x ）在区间［a,b]上连续,且f(a ）·f （b)〈0，则f(x ）在区间（a ，b ）内会是只有一个零点么？3。

“方程的根与函数的零点”【教学目标】一、知识与技能1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系,让学生领会方程的根与函数零点之间的联系,了解零点的概念.2、以具体函数在某区间上存在零点的特点,探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数,理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.二、过程与方法1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点.由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口,探究方程的根与函数的零点的关系,以探究的方法发现函数零点存在的条件.2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律,渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想,培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.三、情感、态度、价值观努力营造平等、民主的课堂气氛,以学生为主体,营造学习氛围,使学生产生热爱学习数学的积极心理,引导学生进行积极主动的学习,培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想,培养学生的辨证思维能力,以及分析问题解决问题的能力．从易到难,使学生体会到学习数学的成功感,体验规律发现的快乐．【教学重点】1、体会函数的零点与方程根之间的联系；2、掌握函数零点存在的判定方法.【教学难点】函数零点存在的判定方法及其运用.【教学方式与手段】电脑,多媒体,黑板．【教学过程设计】（一）设问激疑,引出新知方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题,古今中外的数学家已经作了大量的工作,取得辉煌的成果,比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》,比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”,此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年,挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.随着计算机技术的发展,方程的数值解法得到了广泛的运用,如二分法,牛顿法、弦截法等,今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图：了解数学史,激发学生学习兴趣.】 问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ； （2）0652=+-x x ； （3）062ln =-+x x .问题2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并写出函数图象与x 轴交点的坐标.提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？ 结论：方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立？【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备.】（二）总结归纳,形成概念 1、函数的零点：对于函数y=f （x ）,我们把使方程f （x ）=0的实数x 叫做函数y=f （x ）的零点.辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（ ）A ．（-1,0）,（3,0）；B ．x=-1；C ．x=3；D ．-1和3． 问：零点是一个点吗？说明：①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】2、你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？ 等价关系：方程f （x ）=0有实数根函数y=f （x ）的图象与x 轴有交点 函数y=f （x ）有零点【设计意图：引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感悟其中的思想方法；通过引导,学生自己归纳出三者之间的关系,并且明确提出转化思想.】 3、归纳函数的零点与方程根的关系函数的零点与方程的根有什么联系和区别？联系：（1）数值上相等：求函数零点就是求方程的根. （2）存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点区别：零点对于函数而言,根对于方程而言．【设计意图：进一步理解零点的概念,灵活运用三者之间的关系.以上关系说明：函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础．】 （三）初步运用,示例练习例1：求函数)1lg()(-=x x f 的零点. 求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点变式练习：求下列函数的零点.(1)65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=xx f【设计意图：让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．】 （四）实例探究,发现定理 重温《小马过河的故事》问题4：观察下列三组画面,请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？①②③【设计意图：通过形象的生活问题,为引出函数零点存在性定理做准备.】问题5：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下,函数y ＝f(x) 观察下面函数)(x f y =的图象1、在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(f2、在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．3、在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 函数零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[b a ,]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间（b a ,）内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f .这个c 也就是方程0)(=x f 的根.【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手,引导学生结合函数图象,通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系.总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析.】 定理辨析与灵活运用：练习：判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例.（1）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内有且仅有一个零点.（ ）（2）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(>⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内没有零点.（ ）（3）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且在区间（b a ,）内存在零点,则有0)()(<⋅b f a f .（ ）（4）已知函数)(x f y =在区间[b a ,] 满足0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内存在零a bcxyO d点. （ ）函数零点存在定理的四个注意点： （1）函数是连续的. （2）定理不可逆.（3）至少存在一个零点,不排除更多.（4）在零点存在性定理的条件下,如果函数具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点.【设计意图：通过对定理中条件的改变,将几种容易产生的误解正面给出,在第一时间加以纠正,从而促进对定理本身的准确理解.】 （五）观察感知,例题学习例2（教材第88页）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数. （1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则f (2) f (3)<0,这说明函数f (x )在区间(2,3)内有零点． 又由于函数f (x )在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负,可得如下表格：f (－ － ＋ ＋x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.-1.31.13.45.67.89.912.114.2结合函数的单调性,f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ,分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图,从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在的区间,即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．通过例题分析,能根据零点存在性定理,使用多种方法确定零点所在的区间,并且结合函数性质,判断零点个数．解法3作为选讲内容,视学生基础而定.】试一试：你能判断出方程 3ln 2+-=x x 实数根的个数吗？ 【设计意图：学以致用,练习强化学生的解题能力.】 小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数()y f x =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．口诀：函数零点方程根,形数本是同根生.是否存在端点判,函数连续要记清. 【设计意图：归纳总结函数零点的求法,通过口诀加深对本节内容的理解记忆.】 基础检测1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续,且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定 3、方程10x x-=的一个实数解的存在区间为（ ） A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(1,2) 4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数,且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .能力提升（可供学生课外做作业）6. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）m 为何值时,函数的图象与x 轴有两个零点； （2）若函数至少有一个零点在原点右侧,求m 值. 思考题：方程x x=-2在区间______内有解,如何求出这个解的近似值？请预习下一节．【设计意图：练习强化学生解题能力,并利用拓展延伸对于零点存在取件进一步精确化,为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．】 （六）反思小结,提升能力学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！ 1．函数零点的定义2．等价关系 函数Y=f(x)的零点函数Y=f(x)的图象与X 轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断【设计意图：引导学生从知识和数学思想上去归纳总结.让学生对本节课有个完整的,系统的认识.培养他们的概括能力,同时也对本节课起到反馈的作用.及时评价与反馈,注重个体差异性.】 （七）板书设计。

3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)教学目标：知识与技能：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.过程与方法：零点存在性的判定.情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定.一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系?先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型.方程x22x30与函数y 2 x2x3;方程 2x2x10与函数y 2 x2x1；方程 2x2x30与函数y 2 x2x3;交点的横坐标.二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数y f (x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f (x)的零点(zero point ).显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.一兀二次方程ax bx c0(a0)有两不同根就是相应的—次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)无实数根就是相应的二次函数y 2 ax bx c0的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2bx c0(a 0)的根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴的再请同学们解方程, 并分别画出三个函数的草图.方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x 轴有交点 函数y f(x)有零点.2、函数零点的判定:第I 组能说明他的行程中一定曾渡过河 ，而第n 组中他的行程就不一定曾渡过河。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点（教案）【课 型】新授课 【教学目标】（一）知识与技能：1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。

2．培养学生自主发现、探究实践的能力。

（二）过程与方法：通过研究具体二次函数，探究函数存在零点条件和存在零点的判定方法。

从具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。

（三）情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

鼓励学生通过观察类比提高发现、分析、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。

【教学难点】 1、引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理。

2、函数零点个数的确定。

【教学过程】设置情景 提出问题【动手】求解下列一元二次方程①2230x x --= ②2210x x -+= ③2230x x -+= 【动手】画出下列函数的图象，①223y x x =-- ②221y x x =-+ ③223y x x =-+【设问】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠形式和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的解析式有什么关系？2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？3.方程()0f x = 与函数()y f x = 之间存在哪些关系？分析问题 寻找规律【观察】1。

当①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 值等于零时，分别得的什么？【结论】当二次函数①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 等于0 时，即可得到一元二次方程①2230x x --=、②2210x x -+=、 ③2230x x -+=。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学内容分析：本节课选自高中数学人教A版必修1第三章《函数与方程》第一节《方程的根和函数的零点》。

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

学生在学习了基本初等函数之后，对于函数的概念已经有了更进一步的认识，并掌握了研究函数性质的一些方法，初步了解数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法。

函数作为高中的重点知识，有着广泛的应用，与其他数学有着有机联系。

本节课选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的焦点的横坐标之间的关系作为教学的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，充分体现了函数图像与性质的应用。

因此把握课本要从三方面入手：新旧知识的练习，学生的认知规律，数学思想方法。

学生学习情况分析学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，故采用一些形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。

学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。

这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。

但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。

高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案新人教A版必修1四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x--=；（2）0+xx.-26ln=学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223=--的图象。

y x x学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230--=的实数根和函数图象与x轴的交点。

x x学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。

板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。

板书（方程的根与函数零点的等价关系）。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。

如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。