高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1

高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。

然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。

本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。

矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。

例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。

在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。

矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。

2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。

1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。

比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。

2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。

其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。

3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。

其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。

高考数学中的矩阵转化数学在高考中是一个非常重要的科目，其中矩阵转化是非常重要的一个知识点，它是数字化科学的重要工具之一。

矩阵在现代科学中有着广泛的应用，从人工智能、机器学习到经济学和社会学等领域都能看到它的身影。

本文将探讨高考中的矩阵转化，分析其基本概念、相关性质和应用。

一、矩阵与矩阵转化的基本概念1.1 矩阵的基本概念矩阵是由 m 行 n 列的数表组合而成的，其中每个数是由 a(i,j)表示，其中 i 表示行，j 表示列。

这样，我们就可以用矩阵的方式来表示线性方程组。

例如，下面的矩阵表示一个2 行3 列的矩阵：其中，a(1,1)表示矩阵第一行第一列的数值，a(1,2)表示矩阵第一行第二列的数值，以此类推。

1.2 矩阵的转置矩阵的转置操作是将矩阵的行和列对调，从而形成新的矩阵。

例如，下面的矩阵 A 和其转置矩阵 AT ：1.3 矩阵的加法和减法矩阵加法和减法的操作是将两个矩阵中对应的元素相加或相减，从而得到一个新的矩阵。

例如，下面的矩阵 A 和 B 相加的结果 C：二、矩阵的性质2.1 矩阵乘法的结合律和分配律矩阵乘法满足结合律和分配律。

即，对于任意的矩阵 A、B 和C，有以下性质：- (AB)C = A(BC)（结合律）- A(B+C) = AB+AC（左分配律）- (A+B)C = AC+BC（右分配律）2.2 矩阵的对角线矩阵的对角线是指从左上角到右下角的一条线。

对于一个 n 行n 列的矩阵，其主对角线是从左上角到右下角的一条线，次对角线是从左下角到右上角的一条线。

2.3 矩阵的行、列和秩矩阵的行是由相同的元素组成的一行数，而列则是由相同的元素组成的一列数。

矩阵的秩是其行或列的最大线性无关组数，秩也与行和列的行列式有着密切的关系。

三、矩阵转化的应用3.1 线性变换矩阵在线性代数中的应用非常广泛，最常见的应用就是表示线性变换。

例如，将一个三维空间中的点沿着 x 轴旋转 45 度，就可以使用一个矩阵来表示这个线性变换。

矩阵高考知识点讲解高考数学中的矩阵是一个重要的概念，它在线性代数和几何学等领域中有着广泛的应用。

接下来，我们将对矩阵的相关知识点进行详细的讲解，以帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

一、矩阵的定义与性质1. 矩阵的基本概念矩阵是由数值按照一定的顺序排列而成的一个矩形阵列。

矩阵的行数和列数分别称为其维数，一般用m×n表示。

2. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘运算是常见的矩阵运算。

在运算过程中，要求矩阵具有相同的维数。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指对于两个满足条件的矩阵A和B，通过一系列运算得到一个新的矩阵C。

其中，要求A的列数等于B的行数。

二、矩阵的特殊类型和相关应用1. 单位矩阵单位矩阵是一个特殊的方阵，其主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。

单位矩阵在矩阵乘法中具有特殊的作用。

2. 零矩阵零矩阵是一个全部元素都为0的矩阵。

在矩阵加法和矩阵乘法中，零矩阵分别作为零元素和乘法的零元。

3. 可逆矩阵可逆矩阵是指具有逆矩阵的矩阵。

逆矩阵存在的条件是其行列式不为0。

通过逆矩阵运算，可以求解线性方程组。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

转置矩阵的性质与原矩阵有一些联系，如转置矩阵的转置等于原矩阵。

5. 矩阵在几何学中的应用矩阵在几何学中具有广泛的应用。

通过矩阵变换，可以实现平移、旋转、缩放等几何变换操作。

三、矩阵的行列式与特征值1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵的性质。

行列式的值表示了矩阵所代表的线性变换对体积的影响。

2. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要概念。

特征值表示了线性变换的缩放因子，特征向量表示了在该变换下保持方向不变的向量。

3. 矩阵的对角化对角化是指将矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。

对角化简化了线性变换的计算，并且能够更好地理解和应用矩阵的性质。

四、矩阵的解析几何应用1. 二维坐标变换通过矩阵变换，可以实现平移、旋转和缩放等二维坐标的变换。

高考数学中的矩阵及相关概念近年来，高考数学中出现了越来越多的矩阵相关题型。

矩阵是数学中非常重要的一个分支，它是线性代数的核心内容，具有广泛的应用背景，在科学研究、自然规律探究、技术创新等方面都有重要的作用。

本文将围绕高考数学中的矩阵及相关概念进行一些探讨和分析。

一、什么是矩阵矩阵是由一些数排成的矩形阵列。

矩阵通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵可以进行加减法、数乘、转置等基本运算。

其中，矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换。

矩阵的维数是指矩阵的行数与列数，通常用“行数×列数”的形式表示，例如3×2的矩阵。

如果矩阵的行数和列数相等，则矩阵被称为方阵。

二、矩阵的应用矩阵在不同领域中都有广泛的应用。

以下列举一些常见的例子。

1.计算机图形学计算机图形学中经常使用矩阵来进行平移、旋转和缩放等变换操作。

通过矩阵运算，可以简单而高效地实现各种图形效果。

2.物理学矩阵在量子力学、电动力学等物理学中都有重要应用。

例如，量子力学中的哈密顿量可以表示为一个矩阵，通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以研究物质的能谱和性质。

3.排队论排队论是应用数学的一个分支，研究系统内的随机事件和时间序列。

在排队论中，可以用矩阵来描述系统内的状态转移，从而分析系统的运行效率和性能。

三、矩阵的常用概念1.矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵的性质和特征。

它通常表示为|A|，其中A是一个方阵。

行列式的计算方法较为繁琐，但其应用非常广泛。

例如，可以通过行列式来判断矩阵是否可逆，以及求解线性方程组等问题。

2.矩阵的迹矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和，通常表示为tr(A)。

矩阵的迹具有很多性质，如对于任意两个矩阵A、B，有tr(A+B)=tr(A)+tr(B)，tr(AB)=tr(BA)等。

矩阵的迹也常用于描述矩阵的性质和特征。

3.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵最常用的两个概念之一。

特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。

特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。

1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。

具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。

对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。

上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。

这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。

3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。

也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。

对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。

4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。

正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。

正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。

二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。

1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。

对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。

此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。

此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。

高考数学中的线性代数中的矩阵运算线性代数作为数学中的一个重要分支，经常在高考数学中出现。

矩阵运算则是线性代数中很重要的一个概念，它蕴含着很多的数学知识，也是高考数学中比较常考的知识点。

一、矩阵的定义和运算矩阵是由$m$行$n$列数排成的矩形数组，用$\boldsymbol{A}$表示，即$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$。

矩阵的元素$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列的数，矩阵的个数为$m\times n$个。

当矩阵的行数和列数相等时，即$m=n$时，该矩阵被称为方阵；当矩阵的元素全都为零时，该矩阵被称为零矩阵。

在矩阵中，有加法和数乘的运算。

设$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是两个$m\times n$的矩阵，$k$是一个实数，则有以下定义：1.加法：$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$2.数乘：$k\boldsymbol{A}=(ka_{ij})_{m\times n}$可以看到，加法和数乘的运算是把矩阵的每个元素进行了相应的运算，使得它们们组成的矩阵整体进行了相应的变形。

二、矩阵乘法和逆矩阵矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一个概念，它描述了两个矩阵的相乘过程。

设$\boldsymbol{A}$是$m\times n$的矩阵，$\boldsymbol{B}$是$n\times p$的矩阵，则$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$是$m\times p$的矩阵，其中$\boldsymbol{C}$的元素$c_{ij}$由下式决定：$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_ {k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$可以看到，矩阵乘法描述了两个矩阵相乘后每个元素的变换过程，其结果是一个新的矩阵。

矩阵与变换主标题：矩阵与变换副标题：为学生详细的分析矩阵与变换的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量 难度：3 重要程度：5考点剖析：1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.命题方向：主要考查矩阵与变换，二阶逆矩阵与二元一次方程组及求矩阵的特征值与特征向量。

规律总结：1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．4．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．5．逆矩阵的求法常用待定系数法．6．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB )－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． 7．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －cλ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0.8．求M nα，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M nα＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2求解．知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0－cx ＋λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －cλ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．。

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1教学目标1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系教学重难点了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。

教学过程1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换．（２）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001伸压变换矩阵． 当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩.变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以1k 0<<为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究． （４）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有： 由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于y 轴的轴反射变换,由矩阵M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M ４=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110确定的变换是关于直线y=x 的轴反射变换． 学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（５）将一个平面图形绕一个定点旋转角α得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ．旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180的变换相当于关于定点作中心反射变换．（６）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 ，M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射． （７）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 或⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 为例，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 把平面上的点)y ,x (沿x 轴方向平移｜ky|个单位，当ky ＞０时沿x 轴正方向移动，当ky ＜０时沿x 轴负方向移动，当ky ＝０时原地不动，切变变换有如下性质：（１）x 轴上的点是不动点；（２）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可．3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了)Z k ()1k 2(∈π+角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x 轴的反射再作关于y 轴的反射的复合; 绕原点作了β+α角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了α角度的旋转变换再绕原点作了β角度的旋转变换等等.基础训练１、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ）. Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、31 2、已知矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（ ）A 、恒等变换、反射变换、投影变换B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是（ ）A 、直线x+y=5 B 、直线y=5 C 、直线x=5 D 、点（0，54、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 5、图中正方形ABCD 在由矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011所确定变换的作用后的图形的 _____________.6、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.解题指导例1、求圆C ：224x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型.解：设P(x,y)是圆C ：224x y +=上的任一点, P 1)y ,x (''是P(x,y) 在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线上的对应点 , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x y x 21002 即 ⎩⎨⎧='='y y x x 2,所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 2 代入224x y +=得 22''44x y += 方程221164x y +=表示的曲线为椭圆 点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键． 例２、若曲线y=x 2（x≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x 2（x≤0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M 对应的反射变换是以y 轴为轴的反射变换，所以M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换．如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵．例３、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A′（0，0）， C′（-3，1），试求矩阵M 并求B′的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为α)20(πα≤≤， 则旋转变换矩阵为Ｍ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13 ∴⎩⎨⎧=-=-1cos 23sin 2αα∴ 故而3πα= ∴Ｍ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321 设B′（x,y ）,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321⎥⎦⎤⎢⎣⎡31＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31 ∴)3,1(B -'点评：逆时针旋转角为α时的旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ，若顺时针旋转角为α时，则将上述矩阵中的α换为－α即可．例４、已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A′（11，5），点B （3，-1）变成了点B′（5，1），点C （x ，0）变成了点C′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. 解： （1）设矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡51121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1513 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=+135352112d c b a d c b a ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2143d c b a ，∴M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143（2）由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20y x 得⎩⎨⎧==23x y x ∴⎩⎨⎧==62y x点评：求变换矩阵通常用待定系数法．例５、给定二阶矩阵M ，对任意向量 αβ和，证明：()M M M αβαβ+=+证明：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，22x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121212121212()()()()()x x a x x b y y a b M y y c x x d y y c d αβ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦121122121122x x ax by ax by a b a b M M y y cx dy cx dy c d c d αβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212121212121212()()()()ax ax by by a x x b y y cx cx dy dy c x x d y y ++++++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦得证点评：更一般地，可以证明：λλλλM M M 2121)(+=+，其中21,λλ为任意实数。

高考数学矩阵知识点在高考数学中，矩阵是一个重要的概念，它在代数、几何、线性方程等多个领域中都有广泛应用。

本文将详细介绍高考数学中的矩阵知识点，包括定义、运算、特殊矩阵等内容。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用大写字母表示。

一个矩阵可以用行数和列数来描述，表示为m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵中的每个数称为矩阵的元素，可以记作a_ij，其中i表示行号，j表示列号。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法两个相同维数的矩阵相加，就是将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。

2. 矩阵的乘法（1）数乘：将一个矩阵的每一个元素都乘以一个常数。

（2）矩阵乘法：设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则A与B的乘积C为m×p的矩阵。

C的第i行第j列的元素可以通过A的第i行与B的第j列做内积求得。

即C的第i行第j列的元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置将矩阵的行与列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置。

4. 矩阵的逆如果一个矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵。

三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作O。

2. 设单位矩阵对角线元素为1，其它元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。

3. 对称矩阵如果矩阵A的转置等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A称为对称矩阵。

4. 反对称矩阵如果矩阵A的转置等于它的相反数，即A^T=-A，那么矩阵A称为反对称矩阵。

四、矩阵的应用1. 矩阵在线性方程组中的应用通过构建系数矩阵和常数矩阵，可以使用矩阵运算求解线性方程组，得到方程组的解。

2. 矩阵在几何中的应用矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换，并且可以通过矩阵运算进行组合和求逆，实现复杂的几何变换。

3. 矩阵在代数中的应用矩阵可以用来表示线性映射，例如将一个向量通过矩阵乘法映射到另一个向量空间中。

矩阵变换知识点矩阵变换是线性代数中一个重要的概念，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

矩阵变换可以用于描述几何变换、图像处理、机器学习等多个领域。

本文将逐步介绍矩阵变换的基本概念、常见的变换类型以及其应用。

步骤一：矩阵的基本概念在开始介绍矩阵变换之前，我们首先需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是一个二维数组，由若干行和若干列组成。

我们可以用矩阵来表示一组数据，比如二维坐标、颜色值等。

一个矩阵可以用方括号 [] 来表示，每个元素用逗号隔开，行与行之间用分号分隔。

步骤二：矩阵的乘法运算矩阵变换的核心操作是矩阵的乘法运算。

矩阵的乘法有一定的规则，首先要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。

然后，将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并将结果相加得到新的矩阵元素。

步骤三：平移变换平移变换是矩阵变换中最简单的一种类型。

它可以将一个对象在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向上进行移动。

平移变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示 x 方向的平移量，第二个元素表示 y 方向的平移量。

通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行平移变换。

步骤四：缩放变换缩放变换可以改变对象的尺寸，使其变大或变小。

缩放变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示 x 方向的缩放比例，第二个元素表示 y 方向的缩放比例。

通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行缩放变换。

步骤五：旋转变换旋转变换可以改变对象的方向或角度。

旋转变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示绕原点旋转的角度（正值表示逆时针旋转），第二个元素表示绕其他点旋转的角度。

通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行旋转变换。

步骤六：应用举例矩阵变换在计算机图形学、图像处理以及机器学习等领域都有广泛的应用。

比如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵变换来实现图形的平移、缩放和旋转等操作。

在图像处理中，矩阵变换可以用于图像的仿射变换、几何校正以及图像的去噪等。

在机器学习中，矩阵变换被广泛应用于特征工程、降维和数据预处理等方面。

高考矩阵运算矩阵运算是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，如计算机科学、经济学和物理学等。

在高考数学中，矩阵运算也是一个重要的考点，下面我们来系统地介绍高考中常见的矩阵运算及其应用。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照特定方式排列的数。

在一些教材中，矩阵被定义为一个按照矩形排列的数的集合。

如果一个矩阵的行数和列数都是n，我们称之为一个n阶矩阵。

二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是最基本的矩阵运算。

对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的加法定义为：A + B = (a11 + b11, a12 + b12, ..., ann + bnn)。

而它们的减法定义为：A - B = (a11 - b11, a12 - b12, ..., ann - bnn)。

需要注意的是，矩阵的加法和减法都需要满足相同的行列数。

三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指矩阵中的每一个元素都乘以一个常数。

对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为：kA = (ka11, ka12, ..., kan)。

数乘也可以应用于矩阵的加法和减法，例如：k(A + B) = kA + kB。

四、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中比较复杂的一部分。

对于两个矩阵A和B，它们的乘积定义为：AB = (cij) 其中 cij = a1j * b1i + a2j * b2i + ... + anj * bni需要注意的是，矩阵的乘法需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

五、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

设A = (aij)为一个m x n的矩阵，A的转置记作AT = (bij)，其中bij = aji。

利用矩阵的转置，我们可以将矩阵的行和列进行调整，从而更方便地进行一些运算。

六、矩阵的逆对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB = BA =In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B为A的逆矩阵。

如果一个矩阵不存在逆矩阵，我们称之为不可逆矩阵或奇异矩阵。

【最新】高考数学《矩阵与变换》专题解析(1)一、151．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a【答案】（1）1341,15,28a a a ===，22n a n n =-；证明见解析 （2）2=1n n n a n，211101=001n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测22n a n n =-,根据数学归纳法证明即可；（2）由（1）可构造二阶行列式为21n n n,根据要求可构造三阶行列式为211101001n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；猜测22n a n n =-,证明：当1,2,3,4n =时,22n a n n =-成立； 假设当()5n k k =≥时,22k a k k =-成立,则()()()1111k k k a k a +-=+-,所以()()()()()2221112121123121111k k k a k k k k k k k k k k +++=--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,综上,22n a n n =-成立（2）由（1）,因为2221n a n n n n n =-=⋅-⋅,则可构造二阶行列式为21n n n；因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为211101001n n -,检验,()()()221110121110212001n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力2．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.3．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解.【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】计算对应行列式为()111110121aD bb a b ==-≠，计算得到答案.【详解】4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.4．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．5．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a x a -=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．6．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩（1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题7．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12A A cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值． 【答案】x ，y 的值分别为0，1． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422ab +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．11．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r .【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，即可求3M αr．【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.13．已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求,,x y D D D ；（2）当实数m 为何值时方程组无解；（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =（3）4m ≠方程组有唯一解2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4011m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由411m A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当||0A =，即44011m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解（3）当4011m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-， ∴方程的解集为：2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩． 【点睛】本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．14．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N . (1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组；(2) 用行列式解上述二元一次方程组.【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析 【解析】【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案.【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13m m m ⎛⎫⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m ==-+-，1(3)231x D m m m ==--++- ,12(3)323y m D m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x t y t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ). 【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.15．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】【分析】 (1)代入1a =-直接解不等式即可;(2)由01x x>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+-由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)由01x x>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥, 当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21()1x g x a x +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立,即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤,所以15a -≥-,即4a ≥-,所以a 的取值范围为:[4,)-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.16．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程.【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2.【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2. 试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-= 所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2.考点：旋转矩阵，矩阵变换17．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB; 若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程. 【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=， 从而22188x y +=，即228x y +=. 因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ： 228x y +=.点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．18．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．19．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值． 【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k k λλ-=⎧⎨=⎩ 因为k ≠0，所以a ＝2． 5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．20．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组2342x y x y =⎧⎨-=⎩－ 【答案】17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果.【详解】2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦－ 所以1121123377741241210777x y -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此17107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.。