第四章 特殊变换及其矩阵

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1教学目标1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系教学重难点了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。

教学过程1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换．（２）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001伸压变换矩阵．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩.变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以1k 0<<为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究． （４）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有： 由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于y 轴的轴反射变换,由矩阵M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M ４=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110确定的变换是关于直线y=x 的轴反射变换． 学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（５）将一个平面图形绕一个定点旋转角α得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ．旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转ο180的变换相当于关于定点作中心反射变换．（６）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 ，M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射． （７）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 或⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 为例，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 把平面上的点)y ,x (沿x 轴方向平移｜ky|个单位，当ky ＞０时沿x 轴正方向移动，当ky ＜０时沿x 轴负方向移动，当ky ＝０时原地不动，切变变换有如下性质：（１）x 轴上的点是不动点；（２）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可．3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了)Z k ()1k 2(∈π+角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x 轴的反射再作关于y 轴的反射的复合; 绕原点作了β+α角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了α角度的旋转变换再绕原点作了β角度的旋转变换等等.基础训练１、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ）. Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、31 2、已知矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（ ）A 、恒等变换、反射变换、投影变换B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是（ ）A 、直线x+y=5B 、直线y=5C 、直线x=5D 、点（0，54、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b r ，则向量b r 的坐标为=______________. 5、图中正方形ABCD 在由矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011所确定变换的作用后的图形的 面积为_____________.6、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.解题指导例1、求圆C ：224x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型.解：设P(x,y)是圆C ：224x y +=上的任一点, P 1)y ,x (''是P(x,y) 在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线上的对应点 , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x y x 21002 即 ⎩⎨⎧='='y y x x 2,所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 2 代入224x y +=得 22''44x y += 方程221164x y +=表示的曲线为椭圆 点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键． 例２、若曲线y=x 2（x≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x 2（x≤0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M 对应的反射变换是以y 轴为轴的反射变换，所以M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换．如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵．例３、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A′（0，0）， C′（-3，1），试求矩阵M 并求B′的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为α)20(πα≤≤，则旋转变换矩阵为Ｍ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13 ∴⎩⎨⎧=-=-1cos 23sin 2αα ∴ 故而3πα= ∴Ｍ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321设B′（x,y ）,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321⎥⎦⎤⎢⎣⎡31＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31 ∴)3,1(B -'点评：逆时针旋转角为α时的旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ，若顺时针旋转角为α时，则将上述矩阵中的α换为－α即可．例４、已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A′（11，5），点B （3，-1）变成了点B′（5，1），点C （x ，0）变成了点C′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. 解： （1）设矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡51121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1513∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=+135352112d c b a d c b a ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2143d c b a ，∴M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143 （2）由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20y x 得⎩⎨⎧==23x y x ∴⎩⎨⎧==62y x点评：求变换矩阵通常用待定系数法．例５、给定二阶矩阵M ，对任意向量 αβu r u r和，证明：()M M M αβαβ+=+u r u ru r u r证明：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ur ，22x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r121212121212()()()()()x x a x x b y y a b M y y c x x d y y c d αβ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦u r u r121122121122x x ax by ax by a b a b M M y y cx dy cx dy c d c d αβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦u r u r1212121212121212()()()()ax ax by by a x x b y y cx cx dy dy c x x d y y ++++++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦得证点评：更一般地，可以证明：βλαλβλαλM M M 2121)(+=+，其中21,λλ为任意实数。

高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。

（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。

2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。

运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。

运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。

几类特殊线性变换及其二阶矩阵【教学目标】1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。

2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。

3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。

难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是：在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+⎧⎨'=+⎩③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。

③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。

(,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。

像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵。

数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素元素全为0的二阶矩阵0000⎛⎫ ⎪⎝⎭称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。

求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。

解析：教师板书。

（3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是：在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-⎧⎨'=+⎩，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。

要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。

4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。

所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。

8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。

9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。

矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。