结构力学 第3章静定结构的受力分析

图3.5
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(4)多跨或多层刚架，如图3.6(a)和(b)所示。
2. 规则Ⅱ：两刚片规则
图3.6
【例3.4】计算如图3.7(a)所示三铰刚架的支座反力。 解：去掉支座，代之以反力，得到以整体为研究对象的受力图 ，如图3.7(b)所示。由图知有四个支座反力XA、YA、XB、YB， 即四个未知数，计算步骤如下：
结构力学 3. 三铰拱的受力特性
(1)在竖向荷载作用下，梁没有水平支座反力而拱则有水平推力。 (2)由于推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比跨度荷载相同的简 支梁的弯矩小。 (3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内 轴力较大，且一般为压力，因此，拱主要受压。 (4)由于拱截面上的应力分布较梁截面上的应力分布均匀，因 此，拱比梁能更有效地发挥材料的作用，可适用于较大的跨 度和较重的荷载。由于拱主要是受压，便于利用抗压性能好 而抗拉性能差的材料。
结构力学 4. 静定平面刚架内力图的绘制
静定平面刚架内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。刚架的 内力图是由各杆的内力图组合而成的；而各杆的内力图， 只需求出杆端截面的内力值后，即可按照梁中绘制内力图 的方法画出。 计算和绘制内力图的步骤: (1)计算支座反力 (2)作弯矩图 (3)作剪力图 (4)作轴力图 (5)校核
图3.4
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3.3 静定平面刚架
1.静定平面刚架的特点及分类
刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构，其中全部或 部分结点是刚结点。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一 平面内，且几何组成符合几何不变无多余约束的组成规则面刚架有：
(1)简支刚架，如图 3.5(a)所示。 (2)悬臂刚架，如图 3.5(b)所示。 (3)三铰刚架，如图 3.5(c)所示。
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多跨静定梁的组成特点是：可以在铰结处分解为以单跨梁为单 元的基本部分和附属部分。基本部分与基础组成几何不变的静 定结构，可以独立地承受荷载而保持平衡；附属部分则依靠基 本部分才能组成几何不变的静定结构，承受荷载保持平衡。
2.多跨静定梁内力图的绘制
绘制多跨静定梁内图有以下要点： 多跨静定梁的内力正负号规定及内力图的绘制规定同单跨梁。 计算多跨静定梁的内力就是分别计算各单跨梁的内力；将各单 跨梁的内力图连在一起，就是多跨静定梁的内力图。 直杆的荷载与内力微分关系及内力图特征适用于多跨静定梁。 应该注意的是：在多跨静定梁中间铰结处M=0。可以利用这些条 件校核多跨梁的内力图以及快速绘制其内力图。
图3.9
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联合桁架是由几个简单桁架，按二刚片或三刚片规则所组成的几何不 变且无多余约束的静定结构，如图3.10(a)所示。 复杂桁架指不是按上述两种方式组成的，几何不变且无多余约束的静 定结构，如图3.10(b)所示。 按桁架的外形可分为平行弦桁架(图3.9(b))、三角形桁架(图3.9 (a))、抛物线或折线形桁架(图3.10(c)和图3.10(d))所示。
4. 三铰拱的合理拱轴线
在一定的荷载作用下，拱所有截面的弯矩都为零的拱的轴线 称为合理拱轴线。
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抛物线形桁架上、下弦 杆内力分布均匀。当荷 载作用在上弦杆结点时， 腹杆内力为零；当荷载 作用在下弦杆结点时， 腹杆中的斜杆内力为零， 竖杆内力等于结点荷载。 是一种受力性能较好、 较理想的结构形式。
图3.12
结构力学 5. 组合结构
组合结构是由两类受力性质不同的杆件组合而成。一类 杆件为仅承受轴力的链杆(二力杆)，另一类杆为同时承受弯 矩、剪力和轴力的梁式杆。 静定组合结构的计算方法仍为截面法和结点法，计算步骤 也与其他静定结构相同。在分析组合结构时，一般首先截断 链杆，求出其轴力，然后再根据荷载和所求得的链杆轴力计 算梁式杆的内力。
图3.10
结构力学 3. 桁架的内力分析
(1)桁架杆件轴力正负号规定及斜杆轴力表示
桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时通常假设 杆件的未知轴力为拉力。若计算结果为正，说明杆件受拉； 若计算结果为负，说明杆件受压。
(2)结点法 截取桁架的一个结点为脱离体计算杆件内力的方法称为结点法。由 于结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了一个 平面汇交力系。平面汇交力系可以建立两个平衡方程，能够解算两个 未知力。 (3)结点法 所谓截面法就是用一适当截面将拟求杆件切断，取出桁架的一部分 (至少包含两个结点)作为脱离体，然后利用其平衡条件建立平衡方程， 从而解出拟求杆件的轴力。对每一脱离体可建立三个独立的平衡方程， 解出三个未知轴力。
图3.3
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然后将VD反方向作用于梁BCD的D处，得
最后将VB反方向作用于梁AB的B处，连同B处原有荷载P共同来计 算AB悬臂梁，得
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(3)画弯矩图和剪力图 根据各梁的荷载及反力情况，分段画出各梁段的弯矩图和剪力 图，连成一体即得多跨静定梁的弯矩图和剪力图，如图3.4(a) 、(b)所示。
图3.14
结构力学 2. 三铰拱的反力和内力
(1)结点法与截面法的联合应用
三铰拱是静定结构，有四个支座反力VA、VB、HA和HB。求解需 要四个平衡方程。拱的整体平衡方程有三个，此外，铰C的弯 矩为零，又增加一个平衡方程。这样就能求出支座反力。
(2)内力的计算公式
三铰拱截面的内力有弯矩、剪力和轴力。 内力正负号规定如下：弯矩使拱曲杆内边缘纤维受拉为正， 剪力使脱离体顺时针方向转动为正，轴力以拉力为正。
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3.4 静定平面桁架与组合结构
1.一般概念
桁架是若干直杆两端用铰连接而成的几何不变体系，如图3.8 所示。
图3.8 在平面桁架的计算简图中，通常作下述三条假定： 所有结点都是无摩擦的理想铰。 所有杆轴都是在同一平面内的直线，且通过铰的中心。 荷载和支座反力都作用在结点上，且位于桁架所在的平面内。 凡是符合上述假定的桁架称为理想桁架。
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如图3.8所示桁架的杆件包括弦杆和腹杆两类。弦杆分为上弦杆和下弦 杆。腹杆则分为竖杆和斜杆。弦杆上相邻两结点的距离d称为结间距离。 两支座间的水平距离l称为跨度。支座连线至桁架最高点的距离h称为 桁架高度。桁架高度与跨度之比称为高跨比。
2. 桁架按几何组成和外形分类
按几何组成方式，静定平面桁架可分为：简单桁架、联合桁架和复 杂桁架。 简单桁架是由一个基本铰结三角形开始，逐次增加二元体所组成的几 何不变且无多余约束的静定结构，如图3.9(a)和图3.9 (b)所示。
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【例3.2】试作图3.3(a)所示多跨静定梁的内力图。 解：(1)绘层次图 由梁的几何组成次序可见，先固定AB梁，然后依次固定BCD、DEF各 梁段。由此得层次图3.3(b)。 (2)计算各单跨梁的支座反力 根据层次图3.3(b)，将多跨静 定梁拆成如图3.3(c)所示的单 跨梁。按先附属部分，后基本 部分的顺序，先从DEF梁开始 计算，得
图3.11
结构力学 4. 几种桁架受力性能的比较
现取工程中常用的平行弦、三角形和抛物线形三种桁架， 对相同跨度、相同高度、相同结间及相同荷载作用下的内力 分布(图3.12(a)、(b)、(c))加以分析比较。 平行弦桁架的内力分布很不均匀。上弦杆和下弦杆内力值均 是靠支座处小，向跨度中间增大。腹杆则是靠近支座处内力 大，向跨中方向逐渐减小。其优点是结点构造划一，腹杆可 标准化，因此，可在轻型桁架中应用。 三角形桁架的内力亦很不均匀，端弦杆内力很大，向跨中减 小较快。且端结点处上、下弦杆的夹角小，构造较复杂。由 于三角形屋架的上弦斜坡外形符合屋顶构造要求，适用于较 小跨度屋盖结构。
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(4)结点法与截面法的联合应用
在分析联合桁架时，通常单用结点法不能确定全部杆件的 轴力，这时必须联合运用结点法和截面法。 例如图 3.11所示联合桁架，每个结点都有三个或三个以上的 未知轴力，这时应先用截面法求出两个简单桁架之间联系杆 件的轴力N1、N2、N3，再分别运用结点法对两个简单桁架进行 分析，求出杆件的轴力。
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(1)利用两个整体平衡方程求YA和YB。
校核：
图3.7
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(2)利用铰C弯距为零的方程，求出一个水平支座反力XA或XB，现 以截面C右半部分BC所受外力计算MC，得
(3)利用第三个整体平衡方程，求另一水平支座反力。
结构力学 3. 用截面法求静定平面刚架杆端截面内力
1. 刚架的内力及正负号规定 刚架的内力有弯矩、剪力和轴力。弯矩不规定正负号，只 规定弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一侧。剪力、轴力 的正负号规定与梁相同：剪力以使所在杆段产生顺时针转 动效果为正，反之为负；轴力以拉力为正，压力为负。 2. 杆端截面内力的表示 为了明确表示各杆端截面内力，特别为了区别相交于同一 刚结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两 个脚标，其中，第一个脚标表示内力所属截面，第二个脚 标表示该截面所在杆的另一端。 3. 杆端截面内力计算 杆端截面内力计算的方法是截面法，沿杆端截面截开，在 截开的截面处有三个未知内力M、Q、N；Q和N按正方向画。
图3.1
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当为均布荷载时，两者间的折算关系为：
式中，q'—沿杆轴线每单位长度上的竖向均布荷载； q —沿水平线每单位长度上的竖向均布荷载。
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3.2 多跨静定梁
1.多跨静定梁约束力的计算与几何组成
多跨静定梁是由若干单跨梁用中间铰按照几何不变无多 余约束体系组成规则组成的静定结构。
图3.2 多跨静定梁还有另外的形式
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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
简支斜梁 多跨静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架与组合结构 三 铰 拱
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3.1 简 支 斜 梁
楼梯是房屋的重要组成部分，在进行结构设计时首先应对其进行 内力分析，而楼梯的计算简图通常采用简支斜梁如图3.1所示。 斜梁的轴线是斜直线，与水平面的夹角为 。斜梁所受的荷载有 两种：第一是沿斜杆轴线分布的竖向荷载，如自重；第二是沿水 平线分布的竖向荷载，如使用荷载(活荷载)。