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磁流体力学方程组磁流体力学方程组是以磁流体流体力学研究的基础，它由几个基本的方程式组成。
它表达了流体内磁场、电场、热场、压强以及流速等信息。
磁流体力学方程组是由马斯特罗夫（Maxwell）、特鲁拉（Truesdell）和伊里希（Erickson）于1952年提出的。
磁流体力学方程组由以下几项组成：磁压力方程（Magnetic Pressure Equation）、磁场方程（Magnetic Field Equation）、电流密度方程（Current Density Equation）、热力学方程（Thermodynamic Equation）、电容方程（Capacity Equation）、压力方程（Pressure Equation）和速度方程（Velocity Equation）。
这几项方程组合在一起，描述了流体内部磁场和电场的变化，以及热场、压强和流速等物理量之间的联系。
磁压力方程式用于描述流体中磁场的强度，它表明，当磁感应强度发生变化时，流体中的压力也会发生变化。
磁场方程则用于描述磁场的强度的变化。
它表明，当流体中的电流密度发生变化时，磁场的强度也会发生变化。
电流密度方程用于描述流体中电流密度的变化，它表明，当流体中的电压发生变化时，电流密度也会发生变化。
热力学方程式是一个微分方程，用于描述流体中热能的变化，它表明，当流体中的电场发生变化时，热能也会发生变化。
电容方程中又包括了电位方程和电势方程，它们用于描述无穷小电荷的电位和电势之间的关系。
压力方程描述了流体中不同位置上的压力之间的关系，它表明，当流体中的速度发生变化时，压力也会发生变化。
速度方程是一个微分方程，用于描述流体中的流速，它表明，当流体中的压力发生变化时，流速也会发生变化。
磁流体力学方程组用于描述流体内磁场、电场、热场、压强和流速等物理量之间的变化关系。
它是用来研究物理及工程学中复杂磁流体系统的基本方法。
磁流体力学方程组可用于研究电机、发电机、风机、离心泵和热交换器等各种磁流体机械系统的动力学特性，也可用于研究磁性材料的物理特性，还可以用于研究磁流体流体动力学方面的问题，如磁流体流变湍流、磁流体热传导等。
AbstractThe main thoughts of this paper is to study high-order accuracy , high resolution and non-oscillatory numerical methods of magneto-hydrodynamics (MHD) equations. Numerical methods of magneto-hydrodynamics equations have a wide range of applications in astrophysics, controlled thermonuclear reaction, the radar system communication, power generation systems, flow control and other fields. The main work of this paper includes two aspects: on the one hand, based on the relationship between magneto-hydrodynamics equations and hyperbolic conservation laws, two kinds of high-order accuracy and high resolution numerical methods of hyperbolic conservation laws are extended to solve magneto-hydrodynamics equations. On the other hand, a kind of the existing staggered central difference schemes for solving magneto-hydrodynamics equations is improved. Its main content include the following several respects :1. The MmB(Maximum and minimum Bounded) difference scheme for hyperbolic conservation laws is applied to solve the magneto-hydrodynamics equations. Based on flux splitting and piecewise linear reconstruction of cell-averaged, by properly selecting the numerical derivative and considering Runge-Kutta TVD time discretization method, a class of two-order accuracy, high resolution and non-oscillatory MmB schemes for solving magneto-hydrodynamics equations is obtained. Furthermore, the extension to two dimensional magneto-hydrodynamics equations is implemented by using dimension-by-dimension method.Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.2. The third-order semi-discrete CWENO (Central weighted essentially non-oscillatory）method for hyperbolic conservation laws proposed by Kurganov and Levy is applied to solve the magneto-hydrodynamics equations. Based on third-order accurate CWENO reconstruction, a class of third-order accurate semi-discrete CWENO methods for magneto-hydrodynamics equations is obtained. Furthermore, the extension to two dimensional magneto-hydrodynamics equations is implemented by using dimension-by-dimension method.Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.3. By improving the staggered central difference scheme for solvingmagneto-hydrodynamics equations proposed by Balbas, Tadmor and Wu, a class of second-order and third-order accuracy, non-staggered, high resolution and non-oscillatory methods for one and two dimensional magneto-hydrodynamics equations is obtained. Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.4. Three classes of schemes in this paper are compared and their advantages and disadvantages are shown. Finally, the further work in future is present .Keywords: magneto-hydrodynamics equations; hyperbolic conservation laws; MmB schemes; CWENO schemes; central difference schemes目 录第一章绪论 (1)1.1 磁流体力学方程的研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 磁流体力学方程的基本理论 (4)1.4 本文的主要工作 (5)第二章磁流体力学方程的MmB格式 (7)2.1 引言 (7)2.2 一维磁流体力学方程的MmB格式 (8)2.2.1 空间离散 (9)2.2.2 时间离散 (10)2.2.3 一维格式的MmB特性 (10)2.3 二维磁流体力学方程的MmB格式 (12)2.3.1 空间离散 (12)2.3.2 时间离散 (14)2.3.3 二维格式的MmB特性 (14)2.4 数值实验 (15)2.4.1 一维MHD激波管问题 (15)2.4.2 二维MHD问题 (17)2.5 小结 (24)第三章磁流体力学方程的CWENO格式 (25)3.1 引言 (25)3.2 一维磁流体力学方程的CWENO格式 (25)3.2.1 一维三阶CWENO重构 (26)3.2.2 一维三阶全离散中心格式构造 (28)3.2.3 一维三阶半离散中心格式构造 (31)3.2.4 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散 (34)3.3 二维磁流体力学方程的CWENO格式 (35)3.3.1 二维三阶CWENO重构 (35)3.3.2 二维三阶半离散中心格式构造 (36)3.3.3 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散 (36)3.4 数值实验 (37)3.4.1 一维MHD激波管问题 (37)3.4.2 二维MHD问题 (39)3.5 小结 (46)第四章磁流体力学方程的中心差分格式 (47)4.1 引言 (47)4.2 交错型中心格式概述 (47)4.2.1 交错型中心格式构造 (47)4.2.2 一阶LxF格式 (49)4.2.3 二阶NT格式 (49)4.2.4 三阶LT格式 (51)4.3 一维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式 (53)4.3.1 一维二阶交错型格式重构 (54)4.3.2 一维二阶非交错型格式构造 (55)4.4 一维磁流体力学方程的三阶非交错型中心差分格式 (56)4.4.1 一维三阶交错型格式重构 (56)4.4.2 一维三阶非交错型格式构造 (57)4.5 二维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式 (58)4.5.1 二维二阶交错型格式重构 (58)4.5.2 二维二阶非交错型格式构造 (61)4.6 数值实验 (62)4.6.1 一维MHD激波管问题 (63)4.6.2 二维MHD问题 (70)4.7 小结 (81)第五章总结与展望 (82)5.1 三类格式的比较 (82)5.2 工作展望 (83)参考文献 (84)攻读硕士学位期间发表的论文 (88)在学期间主要参与的研究项目 (88)致谢 (89)第一章 绪 论1.1 磁流体力学方程的研究背景磁流体力学（Magneto-hydrodynamics，简记为MHD）是用经典流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科，它包括磁流体静力学和磁流体动力学两个分支。
第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。
§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r tα、流速火(,)ru tα及温度(,)rT tα的定义为：(,)(,,)r v r vn t d f tαα=⎰（3-1）(,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f tααα=⎰（3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r vBk n t T t d m u f tαααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v v qfqEfg E d g d m m qEg f d m qE gm ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
磁流体磁化强度计算公式(一)磁流体磁化强度计算公式什么是磁流体磁流体（Magnetorheological Fluid，简称MR液体）是由微米级磁粒子悬浮在液体介质中而形成的一种复合材料。
在外加磁场作用下，磁粒子会发生磁化现象，从而改变整个液体的物理性质。
磁化强度的定义磁化强度（Magnetization Intensity）是指单位体积内磁性物质的总磁矩的大小。
在磁流体的研究中，磁化强度是衡量磁性物质磁化程度的重要物理量。
磁化强度的计算公式在磁流体中，磁化强度可以通过以下公式进行计算：M = V * χ * H其中， - M表示磁化强度； - V表示磁流体的体积； - χ表示磁流体的磁化率； - H表示外加的磁场强度。
磁流体磁化率的计算公式磁化率（Magnetic Susceptibility）是指单位体积内磁性物质在外加磁场作用下的磁化程度，是磁流体磁化强度的一个重要参数。
磁化率可以通过以下公式进行计算：χ = M / (V * H)实例解释假设有一个磁流体样品，其体积为10 cm^3，外加磁场的强度为100 A/m。
已知该样品的磁化率为 H/m。
根据磁化强度的计算公式，可以得到：M = V * χ * H = 10 cm^3 * H/m * 100 A/m = 50 A/m^2所以该磁流体样品的磁化强度为50 A/m^2。
根据磁化率的计算公式，可以得到：χ = M / (V * H) = 50 A/m^2 / (10 cm^3 * 100 A/m) = H/m 所以该磁流体样品的磁化率为 H/m。
结论磁化强度和磁化率是研究磁流体性质时经常使用的参数。
通过以上公式，我们可以根据磁化率和外加磁场的强度计算出磁化强度，或者根据磁化强度和外加磁场的强度计算出磁化率。
这些计算公式为磁流体的应用提供了重要的理论基础。
磁流体方程
1. 磁流体方程组
磁流体方程组是由对磁场的物理变量和磁力线的物理变量耦合
组成的方程组，其中包含磁场的本构方程和磁流体的动量方程，他们可以通过以下方程来表述：
（1）磁场的本构方程：
× B =μoJ+1/cE/t
（2）磁流体的动量方程：
J/t+×(vJ)=σE+μoB/t
其中，B为磁场强度，J是电流密度，E是电场强度，v是电导率，σ是电导率，μo是真空磁导率。
2. 磁流体方程在磁体物理中的应用
磁流体方程在磁体物理中的应用非常广泛。
它用来描述磁性现象和磁体内置物理过程。
它也可用于计算磁场强度，引发磁体现象，描述交流电磁感应及其他磁体物理现象。
此外，还可以用来求解电磁波在特定介质中的传播过程，计算各种微波和电磁设备的参数和性能。
- 1 -。
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
（4） ()()()()()()v v v B v v B v v v v v B vq f q g g d f d m m q g m ∂∂⨯⋅=-⨯⋅∂∂∂=-<⨯⋅>∂⎰⎰ 其中利用了关系：()0v B v∂⋅⨯=∂ 这样得矩方程： ()()()()()v v v v B v v v v c q g g f g g E g d t m t ∂∂∂∂⎛⎫<>+∇⋅<>-⋅<>+<⨯⋅>= ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰ 其中：v a afd <>=⎰为统计平均。
1． 连续性方程设()1v g =，并对v 积分,则(,)[(,)(,)]0r r u r n t n t t t ααα∂+∇⋅=∂ （3-4） 其中利用到0v I d α=⎰，粒子数守恒。
引入电荷密度： (,)r q q n t αααρ= （3-5） 和电流密度： (,)(,)j r u r q n t t αααα= （3-6）将（3-4）两边乘以q α可以得到电荷守恒方程(,)(,)0r j r q t t t ααρ∂+∇⋅=∂ （3-7）将（3-4）两边乘以αm 可以得到质量连续性方程(,)[(,)(,)]0r r u r m m t t t tαααρρ∂+∇⋅=∂ （3-8） 其中(,)(,)r r m t m n t αααρ=是质量密度。
2． 动量平衡方程设()v v g m α=，并对v 积分,则可得()()u u u E j B R q m n m n P t αααααααααααβρ∂+∇⋅+∇⋅=+⨯+∂ （3-9） 其中 (,)()()(,,)r v v u v u r v P t d m f t αααα=--⎰ (3-10)为压强张量。
而 R v d m I αβααβ=⎰ （3-11）利用连续方程（3-4），方程（3-9）可以化成为[]u u E j B R q m n P tααααααααβρ∂+⋅∇=-∇⋅++⨯+∂ （3-12） 该方程中各项的物理意义是：()u u m n tαααα∂+⋅∇∂---流体元的动量变化率；其中u u αα⋅∇ --为对流项； P α-∇⋅ --压强梯度产生的力；E q αρ --电场力；j B α⨯ --洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力；R αβ --为第α类粒子与第β类粒子碰撞时，其动量的变化率。
方程（3．12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数P 及R αβ，，只有通过求解动力学方程，才能严格地计算出 P 及R αβ。
在研究等离子体的磁流体状态时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有：P P I α= （3-13）其中B P k n T ααα=为静压强。
P 的非对角部分仅与等离子体中的粘滞现象有关。
另外，对于不同种类的带电粒子之间的碰撞，动量的变化率可以写成摩擦阻力的形式： ()u uR m n αβαααβαβν≈-- （3-14） 其中αβν为动量输运的平均碰撞频率.3．能量平衡方程 设212()v g m v α=，并对v 积分,并利用连续方程（3-4），动量平衡方积（3.12），最后可以得到能量平衡方程为：3[]:2u u q u R B k n T P Q tαααααααβαβ∂+⋅∇=-∇-∇⋅-⋅+∂ (3-15) 其中： 21()()(,,)2q v v u v u r v m n d f t αααααα=--⎰ （3-16） 为热流矢量，而， 21(,,)2vv r v Q m n d f t αβααα=⎰ （3-17） 为不同种类带电粒子之间的碰撞产生的能量变化。
在高温等离子体系统中，人们对等离子体中带电粒子的能量输运并不是太感兴趣。
在研究等离子体的平衡、稳定及波动过程时，可以认为带电粒子在速度空间的分布基本上趋于各向同性的Maxwell 分布。
因此，通常用状态方程来确定等离子体的压强，从而取代了能量平衡方程。
对于等温过程，有：1p c n αα= （3-18）其中c 1是常数。
对于绝热过程，压强为5/32p c n αα= （3-19） 其中c 2是常数。
这样，对于双流体等离子体，其MHD 方程为：()0u n n tααα∂+∇⋅=∂ （3-20） u u E j B R q m n p t ααααααααβρ∂⎛⎫+⋅∇=-∇++⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-21） ()R u u m n αβαααβαβν=--/E B t ∇⨯=-∂∂ （3-22）000/B j E t μεμ∇⨯=+∂∂ （3-23）0/E q αρε∇⋅= （3-24）0B ∇⋅= （3-25）q q n ααααρ=∑ （3-26）j u q n αααα=∑ （3-27）它们与状态方程耦合，即构成一套封闭的方程组。
后面几章，我们将用这套方程组研究等离于体中的波动过程及稳定性。
§3.3单MHD 方程在上节中，我们是把等离子体看作是由电子流体和离子流体组成的双流体。
实际上，在研究等离子体中某些现象时，也可以把等离子体看成为单一的磁流体。
本节我们的任务就是给出这种单一磁流体的MHD 方程。
首先引入单一磁流体的宏观状态参量：质量密度： (,)(,)r r m t m n t αααρ=∑ （3-28）电荷密度： (,)(,)r r q t q n t αααρ=∑ （3-29）流速： (,)(,)(,)u r r r u m t t m n t ααααρ=∑ （3-30）温度： (,)(,)(,)(,)r r r r m T t t m n t T t ααααρ=∑电流密度； (,)(,)(,)j r r u r t q n t t αααα=∑ （3-31）总压强： P P αα=∑ （3-32）下面建立单流体的流体力学方程（1） 连续性方程将电子成分的质量连续性方程()0u me me e tρρ∂+∇⋅=∂ （3-33）与离子成分的质量连续性方程 ()0u mi mi i tρρ∂+∇⋅=∂ （3-34） 相加，并利用（3-28）及（3-30），则单流体的质量连续性方程为()0u m m tρρ∂+∇⋅=∂ （3-35） （2） 动量平衡方程为了得到单一流体的动量平衡方程，我们假定：等离子体是准中性的，即e i n n n ≈=。
这样根据电子和离子的动量平衡方程，u u E u B R e e e e e e e e ei m n p en en t ∂⎛⎫+⋅∇=-∇-+⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-36） u u E u B R i i i i i i i i ie m n p en en t ∂⎛⎫+⋅∇=-∇++⨯+ ⎪∂⎝⎭（3-37） 得到单一流体的动量平衡方程为 u j B m d P dtρ=-∇+⨯ （3-38） 其中利用了如下简化假设： 由于电子的质量比离子质量小的多，略去了电子的惯性项，和电中性条件：i e n n n ==，及e i P p p =+，j (u )i e en u =-，u u i =，R R ei ie =-。
（3） 广义欧姆定律由关系：i e n n n ==，j (u )i e en u =- ，得：j B u B u B e i en⨯⨯=⨯-， 由关系：()R u u ei e e ei i e m n ν≈-，2/()e ei ne m σν=得：()j R u u ei e e ei i e en m n νσ≈-=略去（3-36）中的对流项， 得： ()/E u B j B j e p en en σ∇=-+⨯+⨯+ (3-40)()[()]j E u B j B e p en σσ=+⨯-⨯-∇这就是广义欧姆定律。
对于简单的欧姆定律有j E σ= （3-41）σ是等离子体的电导率。
因此，广义欧姆定律中，多了如下几项：（1）()u B σ⨯，磁流体运动引起电流；（2）()j B en σ⨯：等离子体受到洛兹力作用而运动产生的电流。
