带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析

不可压霍尔磁流体力学方程组的全局解与衰减估计吴云顺【摘要】研究三维不可压霍尔磁流体力学(Hall-MHD)方程组的柯西问题.通过纯能量方法得到了全局解的存在性及其最佳收敛率.特别地,还得到了解的高阶导数的最佳衰减率.证明基于纯能量方法和插值方法,没有像半群方法那样使用其线性化方程的衰减分析结果.%We consider the Cauchy problem for incompressible Hall-Magnetohydrodynamics (Hall-MHD) systems in R3.Global solutions and optimal convergence rates are obtained by the pure energy method.In particular,optimal decay rates of the higher-order spatial derivatives of solutions are obtained.Our proof is based on a family of scaled energy estimates and interpolations among them without the linear decay analysis as in a semigroup method.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(056)002【总页数】4页(P212-215)【关键词】霍尔磁流体力学;最佳衰减率;能量方法;Sobolev插值【作者】吴云顺【作者单位】厦门大学数学科学学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O175.29考虑如下的三维不可压霍尔磁流体力学(Hall-MHD)方程组:这里u,B,P分别表示3维的速度、磁场强度以及压强.初始数据u0和B0满足且divu0=divB0=0.关于Hall-MHD方程组解的存在性、大时间行为以及奇异性的研究已经有很多的结果[1-4]．在本文中,考虑Hall MHD方程组柯西问题全局解的存在性及其最佳L2 衰减率．受文献 [5-8] 的启发,本文中在证明最佳衰减率时使用空间并多次使用Gagliardo-Nirenberg 不等式[7-8]．本文中的主要结果如下:定理1 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且存在常数,使得,则方程组(1) 的柯西问题存在唯一的全局解 (u,B),对任意t≥0,满足).进一步,若则对任意t≥0,有并且对l=0,1,…,N,有如下的衰减结果:注1 将上述结果与文献 [7-8] 比较,可以看到在证明全局存在性时仅需要 (u0,B0) 的 H2 范数足够小,而不需要 H3 范数足够小．而且,在证明结论(5)以及下面的结论(6) 时,我们都不需要 (u,B) 的高阶导数估计．推论1 在定理1的条件之下,若将关于的假设替换为u0,B0∈Lp,其中p∈(1,2],则根据不等式其中可以得到如下的结果:C0(1+t)-σp,l,l=0,1,…,N,其中的σp,l由下式给出在这一节中,我们给出 (u,B)的低阶和高阶的能量估计.表示 f 的 k 阶空间导数,定义如下:定义则有如下的估计:引理1 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且 (u,B) 为方程组 (1) 柯西问题的强解,则有证明将方程组(1)的第1式和第2式分别乘以u和B,然后相加并分部积分即得．引理2 若(u0,B0)∈HN,N≥2,且 (u,B) 是方程组 (1) 柯西问题的强解,则有N.证明将作用于方程组(1),而后在等式两边乘以并且在R3 上分部积分,可以得到J1+J2+J3+J4.下面将对上述J1～J4项分别进行估计．对于J1项,由于与具有相同的形式,故仅需估计对于这一项,有当根据Gagliardo-Nirenberg不等式可得这里α,θ 满足:根据式(14)可知,故当l≥[(k+1)/2]+1,使用相似的方法,可以得到估计:所以,由式(13) 和 (15),有再联合式(11)与(16),有类似于式(17),对项,有结合式(18)与(17),可得J1注意到,在式(13)右边的第2行和第3行中,将u替换为B,其结果仍然成立．所以可得J2J3最后估计J4．根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式,采用与文献 [9]引理2.2相同的方法,可以得根据式(22),得到J4结合式(19)～(21)以及(23),即得到式(9),则完成了引理2的证明．关于解的全局性，令可以断言,若足够小,则对∀t<+∞,有否则,选取,使得 1-4C(2+)>a>0,根据 T*的定义,有T*>0.再根据引理2以及T*的定义,将式(10)从0到 T* 积分,可以得到这样就得到矛盾．而且,如果,且则对于k∈N+,可以得到如下估计对∀t>0,将式(24)从0到t积分,有在本节中,我们将会多次使用下述不等式,证明细节可以参考文献 [10]．其中引理3 若且,则对∀ t>0,有证明将Λ-s 作用于方程组(1),并且将所得结果乘以(Λ-su,Λ-sB),然后在R3 上积分,可得T1+T2+T3+T4+T5.下面分别估计T1～T5项.对于 T1,可以如下估计类似地,可以得到对于T5,有根据式(29～33),结合式(26),最终得到下面,来估计有联合式(34),就有再结合式(25),得到当由于(u,B)不一定在L2(R+×R3)之中,故首先需要获得一些关于的衰减来闭合不等式．应用不等式联合式(37)与(24),可以得到解此常微分不等式,可得k=0,1,…,N.基于上述估计,对于也可以闭合式(34),首先,回顾下述不等式:注意,若则也能得到 (u0,B0)属于根据式(40),有(1+t)-1/4.将式(42)代入到式(34) 中,则可得对于s∈[1/2,3/2),下述结果成立由于则根据式(34),类似得到证毕.定理1的证明关于解的全局存在性在推导L2先验估计时已经得到．衰减估计的结果主要是由解不等式(39)得到．当s∈[0,1/2)时,证明由式(40) 得到．注意到,根据引理3的证明,当其中1/2≤s<3/2时,式(40) 的衰减结果仍然是成立的．这是由于式(38)和(39)对0≤s<3/2 均是成立的．【相关文献】[1] ARICHETOGARAY M,DEGOND P,FROUVELLE A,et al.Kinetic formulation and global existence for the Hall-Magneto-hydrodynamics system[J].Kinetic & RelatedModels,2011,4(4):901-918.[2] CHAE D,SCHONBEK M.On the temporal decay for the Hall-magnetohydrodynamic equations[J].Journal of Differential Equations,2013,255(11):3971-3982.[3] CHAE D,DEGOND P,LIU J G.Well-posedness for Hall-magnetohydrodynamics[J].Annales de Linstitut Henri Poincare Non LinearAnalysis,2014,31(3):555-565.[4] BALBUS S A,TERQUEM C.Linear analysis of the Hall effect in protostellar disks[J].The Astrophysical Journal,2001,552(1):235-247.[5] MATSUMURA A,NISHIDA T.The initial value problems for the equations of motion ofviscous and heat-conductive gases[J].J Math Kyoto Univ,1980,20:67-104.[6] MATSUMURA A,NISHIDA T.The initial value problem for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids[J].Proc Japan Acad Ser A,1979,55:337-342.[7] GUO Y,WANG Y.Decay of dissipative equations and negative Sobolevspaces[J].Communications in Partial Differential Equations,2012,37(12):2165-2208. [8] WANG Y.Decay of the Navier-Stokes-Poisson equations[J].Journal of Differential Equations,2012,253(1):273-297.[9] TAN Z,ZHANG X.Decay estimates of the coupled chemotaxis-fluid equations inR3[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2014,410(1):27-38.[10] STEIN E M.Singular integrals and differentiability properties offunctions[M].Princeton:Princeton University Press,1970:119.。

磁流体力学magnetohydrodynamics磁流体力学magnetohydrodynamics结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。

导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。

此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。

对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。

磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。

磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题，如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。

磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律，如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。

等离子体和液态金属都是导电流体。

前者包括99%以上的宇宙物质，后者包括核动力装置中的携热介质（如钠、钾、钠钾合金）、化学工业中的置换剂（如钠、钾、汞）、冶金铸造工业中的熔融金属等。

地球表面一般不存在自然等离子体，但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。

因此，磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系，还在天体物理研究（如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响）、受控热核聚变和工业新技术（如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等）中得到发展和应用。

基础磁流体力学以流体力学和电动力学为基础﹐把流场方程和电磁场方程联立起来﹐引进了许多新的特徵过程﹐因而内容十分丰富。

宇宙磁流体力学更有其特色。

首先﹐它所研究的对象的特徵长度一般来说是非常大的﹐因而电感的作用远远大于电阻的作用。

其次﹐其有效时间非常久﹐所以由电磁原因引起的某些作用力纵然不大﹐却能产生重大效应。

磁流体力学大体上可以和流体力学平行地进行研究﹐但因磁场的存在也具有自己的特点﹕在磁流体静力学中的平衡方程﹐和流体静力学相比﹐增加了磁应力部分﹐这就是产旁际母荨T硕г诖帕魈辶ρе杏兄煌暮濠o它研究磁场的“运动”﹐即在介质流动下磁场的演变。

与正压流体中的涡旋相似﹐磁场的变化也是由对流和扩散两种作用引起的。

流体力学方程组可以从体系的动理学方程的矩方 程得到；也可以从物理上比较直观的、唯象的方 法导出。现在应用前一种方法推导磁流体力学方 程组。
4.1 速度矩及矩方程
1. 速度矩
建立宏观与微观的联系
等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，
设α类粒子的分布函数为
f (r, v,t)
它满足动理学方程
ftv frm F fv ft c,
2
Q1nmv2v Kuupq 2
K u 为流体宏观流动带走的总动能；
u p 为流体宏观流动时压强张量做的功率
当u=0时，以上两项都为0；
q 称热流矢量，即使u=0，也存在，它是由碰撞
产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。
2. 速度矩方程
在动理学方程中的各项乘以 ( ，v ) 并对 积d v 分，即可
Enskog展开方法截断, 方程组就可封闭 。
封闭的双流体方程组
n
t
(n u )
0
n
m
du dt
p
n F
R
3 2
n
d T dt
p u
Q
0
q 0
上共面10方个程，组中含有独不p立是未独n知立T函的数，：正n好α、方u程α、数T目α(α也=i1,e0)
个。
pkl mnwkwl plk
如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局 域性麦克斯韦分布
f(r,v,t)n(r,t) 2T m (r,t) 3/2exp 2 m (w r,2t)
用局域性麦克斯韦分布得
p k k n (r,t)T (r,t)p (r,t)
3
nmw2 pkk 3nT3p k1 p的对角项就是热压强。

（7-40）
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热， 这种加热的功率密度是电流密度 （ j = qnu ） 与电场强度（ E ）的乘积； 3. 碰撞时的能量变化。 利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu / 2 + 3T / 2 ，以及能量
2
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
∂u 3 mu 2 ∂n 3 ∂T + mnu ⋅ + ( T + n ) ∂t 2 ∂t 2 2 ∂t J G ∂ (n K ) mu 2 +divq + div( π ⋅ u) + div(nu ) + Zenu ⋅ E = ∂t 2
δn =( ν i − ν r )n δt
这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为 g = vk = uk ，引入通量密度张量，量 g υl 为
g υl = υk υl =
方程（7-25）式第二项成为
Pkl π p = uk ul + δkl + kl nm mn nm
其中 (7-8)
plk = nm wk wl = nm ∫ wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
2 ，当麦克斯韦分布时，有 称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk
pkk = nT = p
由此可以定义粒子系的总动能
（7-10）
n K =
1 3 1 3 Pkk = nmu 2 + p ∑ 2 k =1 2 2
（7-29）
86
div(n gυ ) = ∑
l
∂ (n g υl ) ∂xl

三维Hall-magnetohydrodynamic方程的整体小解
于洋海;王慧;吴星
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)3
【摘要】该文研究R^(3)上的不可压缩的带霍尔效应的磁流体力学方程的Cauchy 问题.假设初始速度的水平分量或水平分量的和及初始磁场的B˙_(2,1)^(1/2)范数充分小,该文证明了该方程存在整体光滑解,改进了Chae和Lee(J.Differ.Equ.2014)的结果.
【总页数】9页(P586-594)
【作者】于洋海;王慧;吴星
【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院;河南农业大学信息与管理科学学院【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.Navier-Stokes方程耦合Smoluchowski方程在三维空间中的整体强解
2.关于同余方程x＋ay≡b（modN）的最小解和绝对最小解
3.2m阶Schrodinger方程组在实指数Sobolev空间中的整体小解
4.三维地核磁流体力学方程组在临界Fourier-Besov 空间中的整体适定性
5.架构三维知识体系构建整体关联教学——以“一元二次方程”复习课为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。

§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,)n r tα、流速火(,)ru tα及温度(,)rT tα的定义为：(,)(,,)r v r vn t d f tαα=⎰（3-1）(,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f tααα=⎰（3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r vBk n t T t d m u f tαααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v v qfqEfg E d g d m m qEg f d m qE gm ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

1
0
(B •
)B
1
0
B
x1
(Be1)
e1
x1
( B2
20
)
e2
B2
0R
e3
e1
B
e2 R
第17页/共31页
所以洛仑兹力
f
B2
20
B2
0R
e2
(
e2
x2
e3
) x3
洛仑兹力在与磁场垂直的平面内，第一项是为压强力，第二项是磁场应力。 横向压强力的存在说明磁力线在横向上互相排斥。磁场应力则表明磁力线 弯曲会产生一个指向曲率中心的回复力，类似橡皮棒被外力弯曲的情形。
E*
jz
ce ei
1
2 ce
/
2 ei
E*
磁场垂直方向电导率降低 出现垂直于电场、磁场的霍尔电流
第15页/共31页
§3.1 磁流体力学方程组 §3.2 磁压力和磁张力 §3.3 磁冻结和磁扩散 §3.4 均匀定磁场中的漂移
第16页/共31页
磁场 B 中的电流 j 会受到洛仑兹力作用 f ＝ j x B， 而根据麦克斯韦方程有
en
e
me ei
ce B ei
第14页/共31页
令B＝B ex
j
σ
•
E*
等离子体的电导率张量
σ
1
c2e
/
2 ei
1
c2e
0 0
/
2 ei
0 1
ce / ei
0
ce / ei
1
若E＝Eex，有 j＝σE*
磁场平行方向电导率不变
若E＝Eey，有
jx 0

§3.1 磁流体力学方程组 §3.2 磁压力和磁张力 §3.3 磁冻结和磁扩散 §3.4 均匀定磁场中的漂移
§3.1 磁流体力学方程组
磁流体模型
磁流体模型是将等离子体看成是导电流体，当导电流体在电磁场中运动时会激起感应 电流，感应电流在磁场中受到磁场的洛仑兹力作用，导电流体的运动状态会发生改变， 同时感应电流会对导电流体进行欧姆加热。在磁流体模型里，等离子体的每种成分的 局域性质都由其密度、温度和平均速度所确定，这三个量是时间、空间的函数。 磁流体模型的适用条件 等离子体的空间特征长度远大于粒子的平均自由程 所研究的物理过程的特征时间内粒子的碰撞次数足够多
memi ei
me ei
等离子体电导率
热压力梯度项 ▽рe 出现则说明非均匀加热或密度不均匀的等离子体由于热
电效应或者扩散效应导致电流产生，即电子压强梯度等效于有一附加电场。
பைடு நூலகம்
令
E*

E

u

B

1 en
pe
则 j E* ce j B B ei
等离子体的电导率张量
σ

1

c2e
•B 0
运流电流
j (E u B) qu
只考虑传导电流、感应电流
理想磁流体力学方程组
电导率无穷大、不传热、无粘滞
• ( u) 0
t
du p j B
dt
d ( p ) 0
dt
E B t
B 0 j
而根据麦克斯韦方程有
j 1 B
0
所以 f j B 1 ( B) B 1 B2 1 (B • )B

第6章磁流体力学不稳定性§6.1概论等离子体能够被磁场约束并处于力学平衡状态。

一个处于力学平衡状态的等离子体位形，当它受到某种扰动，偏离平衡态时，等离子体将如何反应？是越来越偏离平衡态，最后导致平衡态被破坏呢，还是很快将扰动抑制住回到平衡态．前者是不稳定平衡，后者是稳定平衡．但当磁流体处在非热力学平衡态，其内部存在着可以转换成扰动能量的自由能时，在合适的条件下有些扰动就可能发展成为在大范围、长时间、能量超过热噪声水平的大幅度集体运动．这种集体运动就称为不稳定的模式，相应现象就称为磁流体的不稳定性．研究等离子体的各种不稳定性，阐明其物理机制，探索抑制不稳定性的方法，一直是受控核聚变研究的重要课题．磁约束等离子体可以处于力学平衡状态，但它不是完全的热力学平衡态．等离子体处于非热力学平衡状态意味着等离子体具有较高的自由能，因而必然会产生从较高能量状态过渡到较低能量状态的宏观或微观运动．等离子体偏离热力学平衡态大体有两类方式．一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局域性和不均匀性；另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布．由于前一种原因产生不稳定性时，等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，因而称为宏观不稳定性。

由后一种原因产生的不稳定性称为微观不稳定性．宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，因而也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动力学不稳定性．由于磁流体力学不稳定性在磁约束核聚变等离子体中具有更重要的地位，处理方法也相对地比较容易，因此本节仅讨论磁流体力学不稳定性．下面我们将首先从分析流体的瑞利一泰勒不稳定性（Rayleigh－Taylor instability）入手，这样做物理图像清晰，易于理解．然后讨论在分析磁流体力学不稳定性中得到广泛应用的能量原理．在这基础上分析几种主要的宏观不稳定性，最后讨论等离子体电阻对不稳定性的影响．下面是几种典型的磁流体不稳定模式．例1．瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor）不稳定性（图4．1）；例2．开尔文一亥姆霍兹（Kelvin－Helmholtz）不稳定性（图4．2）；例3．腊肠型不稳定性（图4．3）；例4．弯曲型不稳定性（图4.4）；例5. 磁岛（图4.5）；例6. 磁重联（图4．6）．每种不稳定的扰动在其演化过程中都会依次经历下面三个阶段：线性阶段、非线性阶段及饱和阶段．在线性阶段，扰动的幅度较小，不同类型的扰动彼此之间并不相互作用，扰动对它所处的平衡态也无影响，这时扰动的幅度是随时间指数增长的．在非线性阶段，扰动幅度增大到会反过来使原有的平衡量作一定调整（因此改变了自己得以不稳定增长的初始条件，使馈入的自由能量减少），并达到开始和其他扰动模式相互作用（从而彼此间交换能量）的程度，从而使增长率木断下降．这时扰动幅度是依次随时间的不同幂次（一般是从高幂到低幂次）而增长的．当时间的幂次最后降低到零时，就达到了演化的终点——扰动的幅度不再随时间增加，而一直保持极大值，这就是饱和．本章只讨论磁流体的线性不稳定性．线性不稳定性的基本描述方法（1）简正模法先将描述所研究对象的状态量写成平衡量（零级量）和扰动量（一级小量）之和，然后把它们代入所用的磁流体方程组，从中减去平衡方程并略去二级小量就得到了线性化的方程组．对这些方程作（时间）拉氏变换和（空间）傅氏变换,(,)exp()k A t A i i t ωω=⋅-r k r 后可能出现下列几种情况：（i ）全部空间坐标都能进行傅氏变换．这样线性微分方程组就变成了线性的齐次代数方程组，它的有非平凡解的条件（系数行列式为零）就给出了关于()k ωω=的色散关系．例如上一章中平板几何位形下的阿尔文波的色散关系正是由这种方式得到的．（ii ）只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程组．这时要设法先得到它的通解，然后利用边条件或连接条件也可以得到()k ωω=的色散关系．例如上一章中，柱坐标下阿尔文波的色散关系就是这样求得的．（iii ）所得出的约化微分方程如果是奇异的，如上一章中连续谱阿尔文波所满足的方程(2)能量原理（仅对理想磁流体适用）§6.2瑞利一泰勒不稳定性这是一种经典的流体不稳定性．因为这种不稳定性是由重力驱动的，故又称重力不稳定性．让我们来研究图3.25所示的一个容器．该容器内盛有两种不同质量密度的液体，上面的液体质量密度大，下面的质量密度小．两种流体之间有明显的分界线．显然，质量密度梯度ρ∇由下向上，受到的重力由上向下，用G -∇来表示．液体的平衡方程是()0tρρ∂+∇⋅=∂u (1) d G dtρρ=-∇u (2) 式中u 是流体元的速度．流体达到平衡0=u ．现在假定在交界面上出现了一个微扰动，其形式为1111(),()i t i t x e u u x e ωωρρ--== (3)这样，密度和流体速度便可写成：01011,ρρρ=+=+=u u u u (4)从这里开始，参数下标为0表示平衡量，参数下标为1表示扰动量．将（4）式代入平衡方程（3），我们得到质量守恒方程10110()0tρρρ∂+∇⋅=⋅∇=∂u u （5） 在整理上式时，已考虑到流体是不可压缩的，10∇⋅=u ．将（3））式代人（5）式便得到1ρ表达式：101i ρρω⋅∇=u （6） 同样可以得到扰动后的动量方程和1u 的表达式：101d G dtρρ=-∇u （7） 110G i ρωρ=∇u （8） 将（6）式和（8）相结合使得到如下的方程：200G ρωρ∇=-∇⋅． （9）（9）式说明，当流体的密度梯度方向跟受到的重力方向相反时就会产生不稳定性，此时20ω<，这就是说重流体在上面轻流体在下面的这种平衡是不稳定的．只要有微扰（轻轻晃动），就会破坏原来的平衡状态，直到达到另一种新的平衡态为止．这时重流体在下，轻流体在上，正好跟原来交换了位置，所以这种不稳定性也叫做交换不稳定性．现在我们采用类比的方法来研究约束在磁场中的等离子体．假定磁场与等离子体之间达到了平衡，中间有明显的分界面．就是说在等离子体中没有磁场，在磁场中没有等离子体．这时，等离子体除了受到重力之外，还受到磁场的作用力，包括磁场梯度引起的力B μ∇和磁场的弯曲引起的力2||()mv ⋅∇b b ．当然这是指单个粒子受到的力，我们把它们当作等效重力（跟流体情况作类比），记作eff G ∇，2||()eff G B mv μ∇⇒∇+⋅∇b b (10)将2,2mv W B B μ⊥⊥== ()B Bκ⊥∇⋅∇≡≈b b 以及粒子能量W W W ⊥=+代入上式并对整个麦克斯韦速度分布函数积分，我们可以得到作为流体元的等效重力：0eff B B G P B B ρ⊥∇∇⎛⎫∇→+ ⎪⎝⎭ （11）对干各向同性等离子体，||,B B P P ⊥⊥∇≈∇≈，因此 02eff B G PBρ⊥∇∇≈ 因为在低β情况下 2c c B B R κ⊥∇==-R 所以 202e eff eP G R ρ∇=-R （12） 将（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不稳定性的方程202002e e P R ρωρρ∇=⋅R （13） 上式说明，当磁场曲率e R 与等离子体密度梯度0ρ∇方向相反，即00e ρ⋅∇<R ，就会产生不稳定性．这种不稳定性条件也可以表示为磁场梯度与等离子体密度梯度同向，即00B ρ∇⋅∇>．如图3.26（a ）所示．从图中可以看出，这时的磁力线是凹向等离子体的．这种曲率被称为“坏曲率”．图3．26（b ）画出了稳定的磁场位形．此时，磁场曲率c R 与等离子体压强梯度P ∇（或密度梯度0ρ∇）同向．磁力线凸向等离子体，这种磁场位形的曲率被称为“好曲率”．在实际的磁场位形中，曲率矢量ˆκ往往不断改变方向．也就是说，在某个地方是“好曲率”，在另一个地方则变成“坏曲率”．如在简单磁镜场中，在中心部位是“坏曲率”，而在“咽喉”部位则是“好曲率”．因此，有必要引入“平均曲率”的概念．定义： 磁力线管的比容U ，它是磁力线管的几何体积V δ与管内的磁通量δΦ的比值：V Sdl δδ=⎰，B S const δδΦ==，S dl V Sdl Bdl B B δδδδ⎛⎫===Φ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ V dl U Bδδ==Φ⎰ 平均曲率的定义为211R l l c c d d B dl BB R B B B B dl B B B dl B ψψψψψψ∇∂-⋅=⋅=∇∂∂⎛⎫=-∇ ⎪∂⎝⎭∂=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰ 因此，平均曲率半径为 1c dl B dl R Bψψ∂∇∂=⎰⎰ 前面得到的稳定条件（好曲率）是曲率与P ∇同向，即0c P ∇⋅>R ，在聚变等离子体中，一般都是中心密度大，即/0P P r ∇∂∂<；因此稳定条件要求0c R <．这就相当于要求220dl U V B ψψψ∂∂∂==<∂∂∂⎰ 其中()V ψ为磁面包围的体积．因此，即()V ψ有极大值，其中必有磁场极小值，这相当于平均磁阱．这说明位于磁阱的等离子体是稳定的．与之相反，位于磁山“磁山”的等离子体是不稳定的，§6.2 等离子体的能量原理不考虑离子和电子的效应，可将等离子体作为单流体来处理。

高等等离子体物理（一）线性理论（研究生教材）王晓钢北京大学物理学院2009 年2 月等离子体的流体理论1.等离子体的流体描述1.1 等离子体的双流体模型1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD ）模型1.3 电子磁流体（E-MHD ）模型1.4 理想磁流体力学（MHD）方程组1.5 位力定理1.6 变分原理2.理想磁流体平衡2.1磁场与磁面2.2Z-箍缩与花箍缩2.3一维平衡与螺旋箍缩2.4Grad-Shafra no 方程3.等离子体的理想磁流体稳定性3.1能量原理3.2扭曲模与交换模3.3 一维稳定性，直柱托卡马克4.磁流体力学波4.1线性磁流体（MHD ）方程4.2非磁化等离子体中的磁流体波4.3磁化等离子体中的磁流体波5.均匀等离子体中的波（双流体理论）5.1 双流体模型5.2 介电张量与色散关系5.3 静电波简介5.4准静电波与准电磁波5.4电磁波简介1.等离子体的流体描述1.1等离子体的双流体模型等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。

一般意义上的等离子体由带正电的离子和带负电的电子组成。

由于带电粒子之间的Coulomb长程相互作用，等离子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。

因此，除特殊的非中性（一般是强耦合的）等离子体之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。

这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论，我们在后面将进一步详细论述。

基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的分布函数及其满足的方程（如Vlasov方程或者Fokker-Planek方程等，取决与碰撞项的形式，这里用类Markov过程的碰撞项（f° - f）/ •三丫（f° - f））出发，我们得到“双流体”方程组：连续性方程（统计方程的零阶矩）平' n：=0，（I-01）:t动量方程（力平衡方程，统计方程的一阶矩）n：m「u：. U =, u B ,n:.q：. E n.m：m，（1-02）- c状态方程（对统计方程各阶矩的“不封闭链” （Hierarchy ）的一种截断）芒u -. 5 . 一u；（I-03）-tCoulomb 定律（Poisson 方程）v E= 4八n：q：., （I-04）Fayraday 定律 12Bc .t 这里:=i,e ;对〉类粒子来说：n ：.是粒子数密度, 荷，u ：.是流体速度，p ：. = n ：「.是理想气体近似下的分压强；而’-:是〉类与1类 粒子之间的碰撞频率(当：•二：时为自碰撞)。

第62卷 第1期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .12024年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023210带阻尼项和时滞项的三维磁流体方程解的适定性张明娇,宋小亚,李晓军(河海大学数学学院,南京211100)摘要:用F a e d o -G a l e r k i n 方法研究有界区域上具有非线性阻尼项和时滞项的三维磁流体方程,解决了解的适定性问题.首先,证明当αȡ16/5时强解的存在性;其次,利用G a g l i a r d o -N i e r n b e r g 不等式证明强解的唯一性.关键词:三维磁流体方程;阻尼;时滞;适定性中图分类号:O 175.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)01-0063-15W e l l -P o s e d n e s s o f S o l u t i o n f o rT h r e e -D i m e n s i o n a lM a g n e t o f l u i dE q u a t i o n sw i t hD a m p i n g a n dD e l a y Te r m s Z H A N G M i n g j i a o ,S O N G X i a o y a ,L IX i a o ju n (C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,H o h a i U n i v e r s i t y ,N a n j i n g 211100,C h i n a )A b s t r a c t :W e u s e dt h e F a e d o -G a l e r k i n m e t h o dt oi n v e s t i g a t et h et h r e e -d i me n s i o n a l m a g n e t of l u i d e q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a r d a m p i ng t e r m s a n d d e l a yt e r m s o n a b o u n d e d d o m a i n a n d s o l v e d t h e p r o b l e m o fw e l l -p o s e d n e s so ft h es o l u t i o n s .F i r s t l y ,t h ee x i s t e n c e o fs t r o n g s o l u t i o n s w a s p r o v e n w h e n αȡ16/5.S e c o n d l y ,t h eu n i q u e n e s s o f s t r o n g s o l u t i o n sw a s p r o v e nb y u s i n g t h eG a g l i a r d o -N i e r n b e r g i n e q u a l i t y .K e y w o r d s :t h r e e -d i m e n s i o n a lm a g n e t o f l u i d e q u a t i o n ;d a m p i n g ;d e l a y ;w e l l -p o s e d n e s s 收稿日期:2023-05-26.第一作者简介:张明娇(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事无穷维动力系统的研究,E -m a i l :m j i a o z @126.c o m.通信作者简介:李晓军(1970 ),男,汉族,博士,教授,从事无穷维动力系统的研究,E -m a i l :l i x ju n 05@h h u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201180)和中央高校基本科研业务费专项基金(批准号:B 230201041).磁流体方程是流体力学中N a v i e r -S t o k e s 方程和电动力系统中M a x w e l l 方程的耦合.磁流体动力学在等离子体物理㊁天体物理及控热核聚变和工业新技术中应用广泛.文献[1-2]研究有界区域上磁流体方程的适定性,证明了二维磁流体方程弱解和全局强解的存在唯一性,并得到了三维磁流体方程局部强解的存在唯一性㊁弱解的存在性和全局强解的唯一性.三维不可压磁流体方程弱解的唯一性和强解的全局存在性目前尚未得到证明.因此,带阻尼项的三维磁流体方程受到研究者的广泛关注,并从不同角度进行了研究.阻尼项主要用于描述各种物理现象,如阻力㊁摩擦效应㊁多孔介质流动和一些耗散机制等[3-4].关于带阻尼项的三维磁流体方程的研究已取得了丰富成果,例如,在满足下列条件之一时:1)αȡ4,βȡ4;2)3<αɤ72,72α-5ɤβɤ3α+5α-1;3)72<α<4,5α+72αɤβɤ3α+5α-1;4)4ɤαɤ173,5α+72αɤβ<4;5)173<αɤ7,5α+72αɤβɤ3α+5α-1.文献[5]证明了带阻尼项的三维磁流体方程强解的适定性;文献[6-7]研究表明,临界指数3至关重要,文献[6]对上述条件进行了优化,在满足下列条件之一时:1)3ɤαɤ278,βȡ4;2)278<αɤ72,βȡ72α-5;3)72<α<4,βȡ5α+7α-1;4)αȡ4,βȡ1.得到了带阻尼项的三维磁流体方程强解的适定性.上述结果表明,带阻尼项的三维磁流体方程强解适定性的临界指数是αȡ3,而不是α>3.为更真实描述物理学与生物学等领域内的自然现象,关于三维磁流体方程本文引入了时滞项.时滞效应主要用于描述物理和生物等领域内的时间延迟效应,时滞效应的影响通常体现为:当想通过施加外力控制系统时不仅要考虑到系统的当前状态而且还要考虑系统的历史状态.与不带时滞项的三维磁流体方程相比,该模型中g 1(t ,u t ),g2(t ,B t )的非自治固有性会导致一些困难,尤其是紧性方面的困难.例如:文献[8]证明了带时滞项的二维磁流体方程强解的适定性;当B =0时带时滞项的磁流体方程简化为带时滞项的N a v i e r -S t o k e s 方程,文献[9]研究了带时滞项的二维N a v i e r -S t o k e s 方程强解的适定性.基于此,本文主要考虑带阻尼项与时滞项的三维磁流体方程,证明其解的存在性和唯一性,同时确定阻尼项中的最优指数.所以本文的研究结果不仅丰富了无穷维动力系统的内容,而且在流体动力学模型后续的研究中具有促进作用.1 预备知识考虑有界域上具有非线性阻尼和时滞项的三维磁流体方程:∂u ∂t (x ,t )-Δu (x ,t )+(u (x ,t )㊃∇)u (x ,t )-(B (x ,t )㊃∇)B (x ,t )+∇p (x ,t )+∇B (x ,t )22+u (x ,t )α-1u (x ,t )=f (x ,t )+g 1(t ,u t (x ,r ))+g 2(t ,B t (x ,r )), (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ), r ɪ(-h ,0),∂B ∂t (x ,t )-ΔB (x ,t )+(u (x ,t )㊃∇)B (x ,t )-(B (x ,t )㊃∇)u (x ,t )+ B (x ,t )β-1B (x ,t )=0, (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ),di v u (x ,t )=0, d i v B (x ,t )=0, (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ),u (x ,τ)=u τ(x ), B (x ,τ)=B τ(x ), x ɪΩ,u (x ,t )=0, B (x ,t )=0, (x ,t )ɪ∂Ωˑ(τ,+ɕ),u (x ,t )=ϕ(x ,t -τ), B (x ,t )=φ(x ,t -τ), (x ,t )ɪΩˑ(τ-h ,t ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï),(1)其中Ω⊂ℝ3为有界开集,αȡ1,βȡ1为正常数,u (x ,t ),B (x ,t )分别表示速度场和磁场,p (x ,t )表示压力场,f (x ,t )表示外力,g 1(t ,u t ),g2(t ,B t )表示时滞项.令1ɤp ɤɕ,下面引入一些函数空间和算子:L p (Ω)=(L p (Ω))3, 1(Ω)=(H 1(Ω))3,10(Ω)=(H 10(Ω))3, -1(Ω)=(H -1(Ω))3,46 吉林大学学报(理学版) 第62卷H 2(Ω)=(H 2(Ω))3, H 2(Ω)=2(Ω)ˑ2(Ω). 通过考虑通常的抽象空间,可将系统(1)进行简化,令V ={u ɪ(C ɕc (Ω))3,d i v u =0},V =V 在10(Ω)中的闭包={u ɪ10(Ω),d i v u =0},H =V 在2(Ω)中的闭包={u ɪ2(Ω),d i v u =0,u∂Ω=0},V *={u ɪ-1(Ω),d i v u =0}表示V 的对偶空间.定义H ,V 空间上的内积如下:(u ,v )ʒ=ð3i =1ʏΩu i (x )v i (x )d x , ∀u ,v ɪH ,(u ,v )ʒ=ð3i ,j =1ʏΩ∂u i ∂x j (x )∂v i∂x j(x )d x , ∀u ,v ɪV ,并且V =V ˑV , =H ˑH , V *是V 的对偶空间.则有⊂=*⊂*,并且其中的映射是连续且稠密的.下面定义3个算子A 1,A 2ɪL (V ,V *),A ɪL (,*):<A 1u ,φ>=(∇u ,∇φ), ∀u ,φɪV ,<A 2B ,ρ>=(∇B ,∇ρ), ∀B ,ρɪV ,<A ξ,Ψ>=((ξ,Ψ))=(∇u ,∇φ)+(∇B ,∇ρ), ∀ξ=(u ,B ), Ψ=(φ,ρ)ɪ.可将A 1,A 2,A 视为(H ,H ,)上的无界算子,定义域为D (A 1)={u ɪV ,A 1u ɪH }, D (A 2)={B ɪV ,A 2B ɪH }, D (A )=D (A 1)ˑD (A 2).由文献[1]可得D (A 1)=2(Ω)ɘV , D (A 2)=2(Ω)ɘV , D (A )=H 2(Ω)ɘ. 下面引入三线性形b :b (u ,v ,w )=((u ㊃∇)v ,w )=ð3i ,j =1ʏΩu i (x )∂v i∂x i w j d x , ∀u ,v ,w ɪV ,可知三线性形b 在空间(1(Ω))3上是连续的,且有b (u ,v ,v )=0,∀u ɪV , ∀v ɪ1(Ω),b (u ,v ,w )=-b (u ,w ,v ), ∀u ɪV , ∀v ,w ɪ1(Ω). 引理1[10]对任意的u =(u 1,u 2,u 3)ɪℝ3,记F (u )=u α-1u ,则F (u )在ℝ3中连续可微,并且F (u )=∂F (u )1∂u 1∂F (u )1∂u 2∂F (u )1∂u 3∂F (u )2∂u 1∂F (u )2∂u 2∂F (u )2∂u 3∂F (u )3∂u 1∂F (u )3∂u 2∂F (u )3∂u æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷3=u α-3(α-1)u 21+u2(α-1)u 1u 2(α-1)u 1u 3(α-1)u 1u 2(α-1)u 22+u2(α-1)u 2u 3(α-1)u 1u 3(α-1)u 2u 3(α-1)u 23+u æèçççöø÷÷÷2.则F (u )是正定的,且有(F (u )v )㊃w ɤc u α+3v w , ∀u ,v ,w ɪℝ3,其中正常数c 仅依赖于Ω.引理2[10] 以下事实成立:1)u2uα-1+1ɕɤ1,∀αȡ3及∀u ɪℝ3;2)(u α-1u -vα-1v ,u -v )ȡ0,∀αȡ1及∀u ,v ɪℝ3.56 第1期 张明娇,等:带阻尼项和时滞项的三维磁流体方程解的适定性下面对时滞项进行适当的假设[9,11].设(X ,Y )是B a n a c h 空间,g :ℝˑC X ңY 且下列条件成立:(i )对所有的u ɪC X ,映射t ɪℝңg (t ,u )ɪY 是可测的;(i i )对于每个t ɪℝ,g (t ,0)=0;(i i i )存在L g >0,使得∀t ɪℝ及∀u ,v ɪC X ,有 g (t ,u )-g (t ,v ) Y ɤL gu -v C X . (i v )存在θ0ȡ0,C g >0,使得对∀θɪ[0,θ0],∀τɪt 及∀u ,v ɪC 0([τ-h ,t ];X ),有ʏt τe θsg (s ,u s )-g (s ,v s ) 2Y d s ɤC 2g ʏtτ-h e θs u (s )-v (s ) 2X ds . 下面针对时滞项引入一些空间:C =C 0([-h ,0];), C =C 0([-h ,0];),L 2=L 2(-h ,0;), L 2=L 2(-h ,0;);其对应的范数分别为ξ C =s u p r ɪ[-h ,0] ξ(r ) , ξ C =s u p r ɪ[-h ,0] ξ(r ) , Φ 2L 2=ʏ0-h Φ(s ) 2d s =ʏ0-h ϕ(s ) 2d s +ʏ-h ψ(s ) 2d s , ∀Φ=(ϕ,ψ)ɪL 2, Φ 2L 2=ʏ0-h Φ(s ) 2*d s =ʏ0-h ∇ϕ(s ) 2d s +ʏ0-h ∇ψ(s ) 2d s , ∀Φ=(ϕ,ψ)ɪL 2.2 强解的存在性及唯一性定理1 设u τɪα+1(Ω)ɘV ,B τɪβ+1(Ω)ɘV ,Φ=(ϕ,ψ)ɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H );g 1:[τ,T ]ˑC 0([-h ,0];H )ңH 满足假设条件(i )~(i v )(X =H ,Y =H ,L g =L g 1,C g =C g 1);g 2:[τ,T ]ˑC 0([-h ,0];H )ңH 满足假设条件(i )~(i v )(X =H ,Y =H ,L g =L g 2,C g =C g 2).如果下列条件之一成立:1)165ɤα<278,72α-5ɤβɤ5;2)278ɤα<4,4ɤβɤ5;3)4ɤα<7,βȡ5α+72α;4)αȡ7,βȡ3.则有u ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL ɕ(τ,T ;α+1(Ω))ɘL 2(τ,T ;D (A 1))ɘL 2(τ-h ,T ;V )ɘC 0([τ,T ];V ),∂u ∂t ɪL 2(τ,T ;H ), ∇u (α+1)/2ɪL 2(τ,T ;H ), u (α-1)/2∇u ɪL 2(τ,T ;H ),B ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL ɕ(τ,T ;β+1(Ω))ɘL 2(τ,T ;D (A 2))ɘL 2(τ-h ,T ;V )ɘC 0([τ,T ];V ),∂B ∂tɪL 2(τ,T ;H ), ∇B (β+1)/2ɪL 2(τ,T ;H ), B (β-1)/2∇B ɪL 2(τ,T ;H )ìîíïïïïïïïï,ξ=(u ,B )是系统(1)的强解且唯一.证明:记w j =(σj ,ζj )(j =1,2, ),其中σj ɪ2(Ω)ɘ10(Ω)是A 1在V 上的特征函数,0<δ1<δ2< 是其对应的特征值;ζj ɪ2(Ω)ɘ10(Ω)是A 2在V 上的特征函数,0<κ1<κ2< 是其对应的特征值.由S c h m i d t 正交化法,可设{w j }ɕj =1是空间的正交基且是空间的标准正交基,并且当j ңɕ时,有δj ңɕ,κj ңɕ.由w j ɪ和的定义可得d i v w j =0,d i v δj =0,d i v κj =0.故有(∇p (t ),σj )=-(p (t ),d i v σj )=0,∇B m (t )22,σæèçöø÷j =-B m (t )22,d i v σæèçöø÷j =0.66 吉林大学学报(理学版) 第62卷对每个固定的正整数m ,设u m (x ,t )ʒ=ðm j =1d j m (t )σj , B m (x ,t )ʒ=ðmj =1e j m (t )ζj .(2) 考虑下列有限维近似系统:∂u m ∂t (t ),σæèçöø÷j -(Δu m (t ),σj )+b (u m (t ),u m (t ),σj )-b (B m (t ),B m (t ),σj )+ (u m (t )α-1u m (t ),σj )=(f (t ),σj )+(g 1(t ,u m t (r )),σj )+ (g 2(t ,B m t (r )),σj ), (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ), r ɪ(-h ,0),∂B m ∂t (t ),ζæèçöø÷j -(ΔB m (t ),ζj )+b (u m (t ),B m (t ),ζj )-b (B m (t ),u m (t ),ζj )+ (B m (t )β-1B m (t ),ζj )=0, (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ),d i v u m (x ,t )=0, d i v B m (x ,t )=0, (x ,t )ɪΩˑ(τ,+ɕ),d j m (τ)=(u τ,σj ), e j m (τ)=(B τ,ζj ),u m τ=P m u τ, B m τ=Q mB τ,u m (x ,t )=0, B m (x ,τ)=0, (x ,t )ɪ∂Ωˑ(τ,+ɕ),u m (x ,t )=P m ϕ(x ,t -τ), B m (x ,t )=Q m φ(x ,t -τ), (x ,t )ɪΩˑ(τ-h ,τìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï),(3)其中P m u τ=ðmj =1(u τ,σj )σj ,Q m B τ=ðmj =1(B τ,ζj )ζj ,j =1,2, ,m .因为{w j }ɕj =1是空间和空间的标准正交基,则对于∀u τɪα+1(Ω)ɘV 及∀B τɪβ+1(Ω)ɘV ,当m ңɕ时,有u m (x ,t )=u m τ=ðmj =1(u τ,σj )σj ңuτ于V ɘα+1,B m (x ,t )=B m τ=ðm j =1(B τ,ζj )ζj ңB τ于V ɘβ+1,u m (㊃+τ)ңϕ(㊃)于L 2V ,B m (㊃+τ)ңψ(㊃)于L 2V .(4) 由常微分方程解的存在性和唯一性性质可知,对每个整数m =1,2, ,均存在式(2)满足式(3)定义在区间[τ,T m ](τ<t m ɤT )上的唯一局部解ξm (x ,t )=(u m (x ,t ),B m (x ,t )).下面给出解ξm (x ,t )=(u m (x ,t ),B m (x ,t ))的一些先验估计.1)对式(3)中第一式和第二式分别乘d j m (τ),e jm (τ),再对j =1,2, ,m 进行求和,得∂u m ∂t(t ),u m (t æèçöø÷)-(Δu m (t ),u m (t ))+b (u m (t ),u m (t ),u m (t ))-b (B m (t ),B m (t ),u m (t ))+ (u m (t )α-1u m (t ),u m (t ))=(f (t ),u m (t ))+(g 1(t ,u m t ),u m (t ))+(g 2(t ,B m t ),u m (t )),∂B m ∂t(t ),B m (t æèçöø÷)-(ΔB m (t ),B m (t ))+b (u m (t ),B m (t ),B m (t ))-b (B m (t ),u m (t ),B m (t ))+ (B m (t )β-1B m (t ),B m (t ))=0ìîíïïïïïïïï.由于b (u m (t ),u m (t ),u m (t ))=0, b (u m (t ),B m (t ),B m (t ))=0,b (B m (t ),B m (t ),u m (t ))=-b (B m (t ),u m (t ),B m (t )),因此通过H öl d e r 不等式㊁Y o u n g 不等式㊁P o i n c a r é不等式,可得d d t u m (t ) 2+d d tB m (t ) 2+2 ∇u m (t ) 2+2 ∇B m (t ) 2+2 u m (t ) α+1α+1+2 B m (t ) β+1β+1=2(f (t ),u m (t ))+2(g 1(t ,u m t ),u m (t ))+2(g2(t ,B m t ),u m (t ))ɤ2 f (t ) u m (t ) +2 g 1(t ,u m t ) u m (t ) +2 g 2(t ,B m t ) u m (t ) ɤ76 第1期 张明娇,等:带阻尼项和时滞项的三维磁流体方程解的适定性3δ12 u m (t ) 2+2δ1 f (t ) 2+2δ1 g 1(t ,u m t ) 2+2δ1g 2(t ,B m t )2ɤ32 ∇u m (t ) 2+2δ1 f (t ) 2+2δ1 g 1(t ,u m t ) 2+2δ1g 2(t ,B m t ) 2,进一步可得d d t u m (t ) 2+d d t B m (t ) 2+12∇u m (t ) 2+2 ∇B m (t ) 2+2 u m (t ) α+1α+1+2 B m (t ) β+1β+1ɤ2δ1 f (t ) 2+2δ1 g 1(t ,u m t ) 2+2δ1g 2(t ,B m t ) 2, ∀t ɪ[τ,t m ].(5)对式(5)中t 在区间[τ,t ]上进行积分,并结合式(4)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,得 u m (s ) 2+ B m (s ) 2+12ʏt τ ∇u m (s ) 2d s +2ʏtτ∇B m (s ) 2d s +2ʏt τ u m (s ) α+1α+1d s +2ʏt τB m (s ) β+1β+1d s ɤ u τ2+ B τ2+2δ1ʏtτf (s ) 2d s +2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}( ϕ 2L 2H+ ψ 2L 2H )+2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}ʏtτ( u m(s ) 2+ B m(s ) 2)d s .(6)利用G r o n w a l l 引理及ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得 u m (t ) 2+ B m (t ) 2ɤ u τ 2+ u τ 2+2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}( ϕ 2L 2H + ψ 2L H 2)+2δ1ʏt τf (s ) 2d æèçöø÷s ˑ1+2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}(t -τ)e x p 2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}(t -τ{}æèçöø÷), ∀t ɪ[τ,t m ].由于ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),故存在正常数K 1(依赖ξτ,Φ,f ,C g 1,C g 2,τ,T ),使得 u m (t ) 2+ B m (t ) 2ɤK 1, ∀t ɪ[τ,T ].(7)利用式(4),(6),(7)可推出ʏt τ-h ( u m (s ) 2+ B m (s ) 2)d s ɤK 1(t -τ)+ ϕ 2L 2H + ψ 2L 2H , ∀t ɪ[τ,T ],12ʏt τ∇u m(s ) 2d s +2ʏtτ∇B m(s ) 2d s +2ʏtτu m(s ) α+1α+1d s +2ʏtτB m(s ) β+1β+1d s ɤu τ2+ B τ2+2δ1ʏtτf (s ) 2d s +2δ1m a x {C 2g 1,C 2g 2}(K 1(t -τ)+ ϕ 2L 2H + ψ 2L 2H ), ∀t ɪ[τ,T ].由于ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),故存在正常数K 2,K 3(依赖ξτ,Φ,f ,C g 1,C g 2,τ,T ),使得ʏtτ-h u m (s ) 2d s +ʏtτ-h B m (s ) 2d s ɤK 2,ʏt τ∇u m (s ) 2d s +ʏt τ∇B m (s ) 2d s +ʏt τu m (s ) α+1α+1d s +ʏt τu m(s )β+1β+1d s ɤK 3, ∀t ɪ[τ,T ].综上可得u m ɪL ɕ(τ,T ;H )ɘL 2(τ-h ,T ;H )ɘL 2(τ,T ;V )ɘL α+1(τ,T ;α+1(Ω)),B m ɪL ɕ(τ,T ;H )ɘL 2(τ-h ,T ;H )ɘL 2(τ,T ;V )ɘL β+1(τ,T ;β+1(Ω)){.(8) 2)对式(3)中第一式和第二式分别乘δj d j m (t ),κj e jm (t ),再对j =1,2, ,m 进行求和,得86 吉林大学学报(理学版) 第62卷∂u m ∂t(t ),-Δu m (t æèçöø÷)-(Δu m (t ),-Δu m (t ))+b (u m (t ),u m (t ),-Δu m (t ))- b (B m (t ),B m (t ),-Δu m (t ))+(u m (t )α-1u m (t ),-Δu m (t ))= (f (t ),-Δu m (t ))+(g 1(t ,u m t ),-Δu m (t ))+(g2(t ,B m t ),-Δu m (t )),∂B m ∂t(t ),-ΔB æèçöø÷m -(ΔB m (t ),-ΔB m )+b (u m (t ),B m (t ),-ΔB m )- b (B m (t ),u m (t ),-ΔB m )+(B m (t )β-1B m (t ),-ΔB m )=0ìîíïïïïïïïïïï,其中(u m (t )α-1u m (t ),-Δu m (t ))=ʏΩ∇(u m (x ,t )α-1u m (x ,t ))∇u m (x ,t )d x =4(α-1)(α+1)2 ∇u m (t )(α+1)/2 2+ u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2,(B m (t )β-1B m (t ),-ΔB m (t ))=ʏΩ∇(B m (x ,t )β-1B m (x ,t ))∇B m (x ,t )d x =4(β-1)(β+1)2 ∇B m (t )(β+1)/2 2+ B m (t )(β-1)/2∇B m (t ) 2.进一步,有d d t ∇u m (t ) 2+d d t∇B m (t ) 2+2 Δu m (t ) 2+2 ΔB m (t ) 2+8(α-1)(α+1)2 ∇u m (t )(α+1)/2 2+2 u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+8(β-1)(β+1)2 ∇B m (t )(β+1)/2 2+2 B m (t )(β-1)/2∇u m (t ) 2=-2(f (t ),Δu m (t ))+2b (u m (t ),u m (t ),Δu m (t ))-2b (B m (t ),B m (t ),Δu m (t ))+2b (u m (t ),B m (t ),ΔB m (t ))-2b (B m (t ),u m (t ),ΔB m (t ))+2(g 1(t ,u m t ),-Δu m (t ))+2(g2(t ,B m t ),-Δu m (t )), ∀t ɪ[τ,T ].(9)由H öl d e r 不等式和Y o u n g 不等式,可得(f (t ),Δu m (t ))ɤ f (t ) Δu m (t ) ɤ14Δu m (t ) 2+ f (t ) 2,(g 1(t ,u m t ),Δu m (t ))ɤ g 1(t ,u m t ) Δu m (t ) ɤ14Δu m (t ) 2+ g1(t ,u m t ) 2,(g 2(t ,B m t ),Δu m (t ))ɤ g 2(t ,B m t ) Δu m (t ) ɤ14Δu m (t ) 2+ g1(t ,B m t ) 2.(10) 下面分两种情形讨论.情形①由Y o u n g 不等式和引理2,可得I 1=b (u m (t ),u m (t ),Δu m (t ))ɤ12 Δu m (t ) 2+12ʏΩu m (x ,t )2u m (x ,t )α-1+1(u m (x ,t )α-1+1)∇u m (x ,t )2d x ɤ12 Δu m (t ) 2+12 u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+12∇u m (t ) 2, αȡ3.(11)下面对其他项进行估计:-b (B m (t ),B m (t ),Δu m (t ))+b (u m (t ),B m (t ),ΔB m (t ))-b (B m (t ),u m (t ),ΔB m (t ))=-ʏΩB m ∇B m Δu m d x +ʏΩu m ∇B m ΔB m d x -ʏΩB m ∇u m ΔB m d x =ð3k =1ʏΩ∂k B m∇B m ∂k u m d x -ð3k =1ʏΩ∂k u m ∇B m ∂k B m d x +ð3k =1ʏΩ∂k B m ∇u m ∂kB m d x =ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂kB m i ∂iB m j ∂k u m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂ku m i ∂iB m j ∂k B m jd x +ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m i ∂i u m j ∂kB m jd x =96 第1期 张明娇,等:带阻尼项和时滞项的三维磁流体方程解的适定性-ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m iB m j ∂i ∂k u m jd x +ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k u m iB m j ∂i ∂k B m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k ∂k B m i ∂i u m jB m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m i ∂k ∂i u m jB m jd x ,(12)结合式(12)及H öl d e r 不等式,可得I 2+I 3+I 4=-b (B m (t ),B m (t ),Δu m (t ))+b (u m (t ),B m (t ),ΔB m (t ))-b (B m (t ),u m (t ),ΔB m (t ))ɤC B m (t ) β+1( ∇u m (t ) 2(β+1)/(β-1)+ ∇B m (t ) 2(β+1)/(β-1))ˑ( ∇2u m (t ) + ∇2B m (t ) ).由G a g l i a r d o -N i r e n b e r g 不等式和S o b o l e v 嵌入定理,得 ∇u m (t ) 2(β+1)/(β-1)ɤC u m (t ) (β-2)/(β+1)6 ∇2u m (t ) 3/(β+1)ɤC ∇u m (t ) (β-2)/(β+1) ∇2u m (t ) 3/(β+1), 2ɤβɤ5.再由上述估计及Y o u n g 不等式,可得I 2+I 3+I 4ɤC B m (t ) β+1 ∇u m (t ) (β-2)/(β+1) Δu m (t ) (β+4)/(β+1)+C B m (t ) β+1 ∇B m (t ) (β-2)/(β+1) ΔB m (t ) (β+4)/(β+1)+C B m (t ) β+1 ∇B m (t ) (β-2)/(β+1) ΔB m (t ) 3/(β+1) Δu m (t ) +C B m (t ) β+1 ∇u m (t ) (β-2)/(β+1) Δu m (t ) 3/(β+1) ΔB m (t ) ɤ332 Δu m (t ) 2+332ΔB m (t ) 2+C B m (t ) 2(β+1)/(β-2)β+1 ∇u m (t ) 2+C B m (t ) 2(β+1)/(β-2)β+1 ∇B m (t ) 2+C B m (t ) 2β+1 ∇B m (t ) 2(β-2)/(β+1) ΔB m (t ) 6/(β+1)+B m (t ) 2β+1 ∇u m (t ) 2(β-2)/(β+1) Δu m (t ) 6/(β+1)ɤ18 Δu m (t ) 2+18 ΔB m (t ) 2+C B m (t ) 2(β+1)/(β-2)β+1ˑ( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2), 2<βɤ5.(13)将式(10),(11),(13)代入式(9),可得d d t ∇u m (t ) 2+d d t ∇B m (t ) 2+ Δu m (t ) 2+74ΔB m (t ) 2+ 8(α-1)(α+1)2 ∇u m (t )(α+1)/2 2+ u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+ 8(β-1)(β+1)2 ∇B m (t )(β+1)/2 2+2 B m (t )(β-1)/2∇u m (t ) 2ɤ f (t ) 2+ ∇u m (t ) 2+C B m (t ) 2(β+1)/(β-2)β+1( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2)+ g 1(t ,u m t ) 2+ g 2(t ,u m t )2ɤ f (t ) 2+C (1+ B m (t ) 2(β+1)/(β-2)β+1)( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2)+ g 1(t ,u m t ) 2+ g 2(t ,u m t )2ɤ f (t ) 2+C (2+ B m (t ) β+1β+1)( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2)+ g 1(t ,u m t ) 2+ g 2(t ,u m t )2, αȡ3, 4ɤβɤ5.(14)由G r o n w a l l 不等式及式(4),对ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得 ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2ɤe x p ʏt τC (2+ u m (s ) β+1β+1)d {}s ˑ ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτ(f (s ) 2+ g 1(s ,u m s) 2+ g 2(s ,u m s) 2)d ()s ɤe x p ʏtτC (2+ u m(s ) β+1β+1)d {}s ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτf (s ) 2d [s +07 吉林大学学报(理学版) 第62卷m a x {C 2g 1,C 2g 2}ʏtτ-h ( u m(s ) 2+ B m(s ) 2)d ()]s ɤe x p ʏtτC (2+ u m(s ) β+1β+1)d {}s ˑ ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτf (s ) 2d s +m a x {C 2g 1,C 2g 2}K ()2, ∀t ɪ[τ,T ].由式(4),(8)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得u m ɪL ɕ(τ,T ;V ),B m ɪL ɕ(τ,T ;V ).对式(14)中t 在区间[τ,t ]上进行积分并结合式(4),可得 ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2+18ʏt τ Δu m (s ) 2ds +74ʏt τΔB m (s ) 2d s +8(α-1)(α+1)2ʏt τ ∇u m (s )(α+1)/2 2d s +ʏtτ u m (s )(α-1)/2∇u m (s ) 2d s +8(β-1)(β+1)2ʏt τ∇B m (s )(β+1)/2 2d s +2ʏtτ B m (s )(β-1)/2∇u m (s ) 2d s ɤ ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτf (s ) 2d s +ʏtτg 1(t ,u m s) 2d s +ʏtτg 2(t ,Bm s) 2d s +C s u p s ɪ[τ,t ](∇u m(s ) 2+ ∇B m(s ) 2)ʏtτ(2+ B m(s ) β+1β+1)d s ɤ ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτf (s )2d s +m a x {C 2g 1,C 2g 2}ʏtτ-h ( u m(t ) 2+ B m(t ) 2)d s +C s u p s ɪ[τ,t ](∇u m(s ) 2+ ∇B m(s ) 2)ʏtτ(2+ B m(s ) β+1β+1)d s .由式(8)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得um ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL 2(τ,T ;D (A 1)), ∇u m (α+1)/2ɪL 2(τ,T ;H ),u m (α-1)/2∇u m ɪL 2(τ,T ;H ), B m ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL 2(τ,T ;D (A 2)),∇B m (β+1)/2ɪL 2(τ,T ;H ), B m (β-1)/2∇B m ɪL 2(τ,T ;H )ìîíïïïï.(15) 情形②-b (B m (t ),B m (t ),Δu m (t ))+b (u m (t ),B m (t ),ΔB m (t ))-b (B m (t ),u m (t ),ΔB m (t ))=ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m i ∂iB m j ∂k u m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k u m i ∂iB m j ∂k B m jd x +ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m i ∂i u m j ∂kB m jd x =-ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k ∂kB m i ∂iB m j u m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂k B m i ∂i ∂kB m j u m jd x +ð3i ,j ,k =1ʏΩu m i ∂k ∂iB m j ∂k B m jd x +ð3i ,j ,k =1ʏΩu m i ∂iB m j ∂i ∂k B m jd x -ð3i ,j ,k =1ʏΩ∂kB m iu m j ∂i ∂k B m jd x ,由H öl de r 不等式,可得I 1+I 2+I 3+I 4=b (u m (t ),u m (t ),Δu m (t ))-b (B m (t ),B m (t ),Δu m (t ))+b (u m (t ),B m (t ),ΔB m (t ))-b (B m (t ),u m (t ),ΔB m (t ))ɤCʏΩu m (x ,t )(∇u m (x ,t )+∇B m (x ,t ))(∇2u m (x ,t )+∇2B m (x ,t ))d x ɤC u m (t ) α+1( ∇u m (t ) 2(α+1)/(α-1)+ ∇B m (t ) 2(α+1)/(α-1))ˑ( ∇2u m (t ) + ∇2B m (t ) ).由G a g l i a r d o -N i r e n b e r g 不等式,可得 ∇u m (t ) 2(α+1)/(α-1)ɤC ∇u m (t ) (α-2)/(α+1) ∇2u m (t ) 3/(α+1), αȡ2.17 第1期 张明娇,等:带阻尼项和时滞项的三维磁流体方程解的适定性由上述估计及Y o u n g 不等式,可得I 1+I 2+I 3+I 4ɤC u m (t ) α+1 ∇u m (t ) (α-2)/(α+1) Δu m (t ) (α+4)/(α+1)+C u m (t ) α+1 ∇B m (t ) (α-2)/(α+1) ΔB m (t ) (α+4)/(α+1)+C u m (t ) α+1 ∇u m (t ) (α-2)/(α+1) Δu m (t ) 3/(α+1) ΔB m (t ) +C u m (t ) α+1 ∇u m (t ) (α-2)/(α+1) ΔB m (t ) 3/(α+1) Δu m (t ) ɤ364 Δu m (t ) 2+364ΔB m (t ) 2+C u m (t ) 2(α+1)/(α-2)α+1 ∇u m (t ) 2+C u m (t ) 2(α+1)/(α-2)α+1 ∇B m (t ) 2+C u m (t ) 2α+1 ∇u m (t ) 2(α-2)/(α+1) Δu m (t ) 6/(α+1)+ u m (t ) 2α+1 ∇B m (t ) 2(α-2)/(α+1) ΔB m (t ) 6/(α+1)ɤ116 Δu m (t ) 2+116ΔB m (t ) 2+C B m (t ) 2(α+1)/(α-2)α+1( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2), α>2.(16)将式(10),(16)代入式(9),可得d d t ∇u m (t ) 2+d d t ∇B m (t ) 2+18 Δu m (t ) 2+158ΔB m (t ) 2+8(α-1)(α+1)2 ∇u m (t )(α+1)/2 2+2 u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+8(β-1)(β+1)2 ∇B m (t )(β+1)/2 2+2 B m (t )(β-1)/2∇u m (t ) 2ɤ f (t ) 2+C u m (t ) 2(α+1)/(α-2)α+1( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2)+ g 1(t ,u m t ) 2+ g 2(t ,u m t )2ɤ f (t ) 2+C (1+ u m (t ) α+1α+1)( ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2)+ g 1(t ,u m t ) 2+ g 2(t ,u m t ) 2, αȡ4, βȡ1.(17)由G r o n w a l l 不等式及式(4),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得 ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2ɤe x p ʏt τC (1+ u m (s ) α+1α+1)d {}s ˑ ∇u τ 2+ ∇B τ 2+ʏtτ( f (s ) 2+ g 1(s ,u m s) 2+ g 2(s ,u m s) 2)d ()s ɤe x p ʏtτC (2+ u m(s ) α+1α+1)d {}s ∇u τ2+ ∇B τ2+ʏtτf (s ) 2d (s +m a x {C 2g 1,C 2g 2}ʏtτ-h ( u m(s ) 2+ B m(s ) 2)d ())s , ∀t ɪ[τ,T ].由式(8)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得u m ɪL ɕ(τ,T ;V ),B m ɪL ɕ(τ,T ;V ).对式(17)中t 在区间[τ,t ]上进行积分并结合式(4),可得 ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2+18ʏtτ Δu m(s ) 2d s +158ʏt τΔB m (s ) 2d s +8(α-1)(α+1)2ʏt τ ∇u m (s )(α+1)/2 2d s +2ʏt τu m(s )(α-1)/2∇u m (s ) 2d s +8(β-1)(β+1)2ʏt τ∇B m(s )(β+1)/2 2d s +2ʏtτB m(s )(β-1)/2∇B m (s ) 2d s ɤ∇u τ 2+ ∇B τ 2+ʏt τf (s ) 2d s +ʏtτ-h g 1(s ,u m s) 2d s +ʏtτ-h g 2(s ,Bm s) 2d s +27 吉林大学学报(理学版) 第62卷C s u p s ɪ[τ,t]( ∇u m (s ) 2+ ∇B m (s ) 2)ʏt τ(1+ u m (s ) α+1α+1)d s ɤ ∇u τ 2+ ∇B τ 2+ʏt τf (s ) 2d s +m a x {C 2g 1,C 2g 2}ʏt τ( u m(s ) 2+ B m (s ) 2)d ()s +C s u p s ɪ[τ,t]( ∇u m (s ) 2+ ∇B m (s ) 2)ʏtτ(1+ u m (s ) α+1α+1)d s .由式(8)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得式(15).综上可知,当αȡ3,4ɤβɤ5或αȡ4,βȡ1时,有式(15).3)对式(3)中第一式和第二式分别乘∂d j m ∂t (t ),∂e jm ∂t(t ),再对j =1,2, ,m 进行求和,得∂u m ∂t (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)-Δu m (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)+bu m (t ),u m (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)-b B m (t ),B m (t ),∂u m ∂t(t æèçöø÷)+ u m (t )α-1u m (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)=f (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)+g 1(t ,u m t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)+g2(t ,B m t ),∂u m∂t (t æèçöø÷),∂B m ∂t (t ),∂B m ∂t (t æèçöø÷)-ΔB m (t ),∂B m ∂t (t æèçöø÷)+bu m (t ),B m (t ),∂B m ∂t (t æèçöø÷)-b B m (t ),u m (t ),∂B m ∂t(t æèçöø÷)+ B m (t )β-1B m (t ),∂B m ∂t(t æèçöø÷)=0ìîíïïïïïïïïïï.由Y o u n g 不等式,可得∂u m ∂t (t )2+∂B m ∂t (t )2+12d d t ∇u m (t ) 2+12d d t∇B m (t ) 2+1α+1d d t u m (t ) α+1α+1+1β+1d d t B m (t ) β+1β+1=f (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)-bu m (t ),u m (t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)+b B m (t ),B m (t ),∂u m ∂t(t æèçöø÷)-bu m (t ),B m (t ),∂B m ∂t (t æèçöø÷)+b B m (t ),u m (t ),∂B m ∂t (t æèçöø÷)+g 1(t ,u m t ),∂u m ∂t (t æèçöø÷)+g 2(t ,B m t ),∂u m ∂t(t æèçöø÷)ɤ38∂u m ∂t (t )2+12∂B m ∂t (t )2+2 f (t ) 2+2 g 1(t ,u m t ) 2+2 g 2(t ,B m t ) 2+ʏΩu m (x ,t )2∇u m (x ,t )2d x +ʏΩB m (x ,t )2∇B m (x ,t )2d x +ʏΩu m(x ,t)2∇B m(x ,t )2d x +ʏΩB m(x ,t)2∇u m (x ,t )2d x =38∂u m ∂t (t )2+12∂B m ∂t (t )2+2 f (t ) 2+2 g 1(t ,u m t ) 2+2 g 2(t ,B m t ) 2+J 1+J 2+J 3+J 4,∀t ɪ[τ,T ]. 下面对J 1,J 2,J 3,J 4进行估计,有以下结果[10]:当αȡ113,βȡ3或3ɤα<113,βȡ72α-5时,J 1=ʏΩu m (x ,t )2∇u m (x ,t )2d x ɤ u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+ ∇u m (t ) 2, αȡ3,J 2=ʏΩB m(x ,t)2∇B m (x ,t )2d x ɤ B m (t )(α-1)/2∇B m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2, βȡ3,J 3=ʏΩu m(x ,t)2∇B m (x ,t )2d x ɤ14ΔB m (t ) 2+C u m (t ) 2(α+1)a +1+C B m (t ) 2(β+1)β+1;当αȡ7,βȡ3或3ɤα<7,βȡ5α+72α时,J 4=ʏΩB m (x ,t )2∇u m (x ,t )2d x ɤ14Δu m (t ) 2+C B m (t ) 2(β+1)β+1+C u m (t ) 2(α+1)α+1.由上述结果可得d d t ∇u m (t ) 2+d d t ∇B m (t ) 2+2α+1d d tu m (t ) α+1α+1+2β+1d dt B m (t ) β+1β+1+14∂u m ∂t (t )2+∂B m ∂t (t )2ɤ4 f (t ) 2+4 g 1(t ,u m t ) 2+4 g 2(t ,B m t ) 2+12Δu m (t ) 2+12ΔB m (t ) 2+2 u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+2 B m (t )(β-1)/2∇B m (t ) 2+2 ∇u m (t ) 2+2 ∇B m (t ) 2+C u m (t ) 2(α+1)α+1+C B m (t ) 2(β+1)β+1ɤ4 f (t ) 2+4 g 1(t ,u m t ) 2+4 g 2(t ,B m t ) 2+12Δu m (t ) 2+12ΔB m (t ) 2+2 u m (t )(α-1)/2∇u m (t ) 2+2 B m (t )(β-1)/2∇B m (t ) 2+C (2+ u m (t ) α+1α+1+ B m (t ) β+1β+1)(2 ∇u m (t ) 2+2 ∇B m (t ) 2+1α+1 u m (t ) α+1α+11β+1B m (t ) β+1β+1).(18) 由G r o n w a l l 不等式及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),得 ∇u m (t ) 2+ ∇B m (t ) 2+2α+1 u m (t ) α+1α+1+2β+1B m (t ) β+1β+1ɤe x p ʏt τC (2+ u m (s ) α+1α+1+ B m (s ) β+1β+1)d {}s ˑ ∇u τ 2+ ∇B τ 2+2α+1 u τ α+1α+1+2β+1 B τ β+1β+æèç1+4ʏtτ f (s ) 2d s +4C 2g 1ʏtτ-h u m (s ) 2d s +4C 2g 2ʏtτ-h B m (s ) 2d s +12ʏtτΔu m(s ) 2d s +12ʏtτΔB m(s ) 2d s +2ʏtτu m(s )(α-1)/2∇u m (s ) 2d s +2ʏtτB m(s )(β-1)/2∇B m(s ) 2d )s , ∀t ɪ[τ,T ].由式(8),(15)及假设条件(i i ),(i v )(θ=0;g 1:X =H ,Y =H ,C g =C g 1;g 2:X =H ,Y =H ,C g =C g 2),ξτɪ,ΦɪL 2,f ɪL 2(τ,T ;H ),可得:当165ɤα<278,72α-5ɤβɤ5或278ɤα<4,4ɤβɤ5或4ɤα<7,βȡ5α+72α或αȡ7,βȡ3时,有u m ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL ɕ(τ,T ;α+1(Ω)),B m ɪL ɕ(τ,T ;V )ɘL ɕ(τ,T ;β+1(Ω)){.对式(18)中t 在区间[τ,t]上进行积分,可得14ʏt τ∂u m∂t(s )2d s +ʏt τ∂B m ∂t (s )2d s ɤ4ʏt τ f (s ) 2d s +4C 2g 1ʏtτ-h u m (s ) 2d s +4C2g 2ʏtτ-h B m (s ) 2d s +12ʏtτ Δu m (s ) 2d s +12ʏt τΔB m (s ) 2d s +2ʏtτu m(s )(α-1)/2∇u m (t ) 2d s +2ʏt τB m (s )(β-1)/2∇B m (s ) 2d s +。

磁流体力学磁流体力学，结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。

结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。

导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。

此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。

对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。

磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。

磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题，如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。

磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律，如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。

等离子体和液态金属都是导电流体。

前者包括99％以上的宇宙物质，后者包括核动力装置中的携热介质（如钠、钾、钠钾合金）、化学工业中的置换剂（如钠、钾、汞）、冶金铸造工业中的熔融金属等。

地球表面一般不存在自然等离子体，但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。

因此，磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系，还在天体物理研究（如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响）、受控热核聚变和工业新技术（如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等）中得到发展和应用。

基础磁流体力学以流体力学和电动力学为基础﹐把流场方程和电磁场方程联立起来﹐引进了许多新的特徵过程﹐因而内容十分丰富。

宇宙磁流体力学更有其特色。

首先﹐它所研究的对象的特徵长度一般来说是非常大的﹐因而电感的作用远远大于电阻的作用。

其次﹐其有效时间非常久﹐所以由电磁原因引起的某些作用力纵然不大﹐却能产生重大效应。

磁流体力学大体上可以和流体力学平行地进行研究﹐但因磁场的存在也具有自己的特点﹕在磁流体静力学中的平衡方程﹐和流体静力学相比﹐增加了磁应力部分﹐它研究磁场的“运动”﹐即在介质流动下磁场的演变。

与正压流体中的涡旋相似﹐磁场的变化也是由对流和扩散两种作用引起的。

如果流体是理想导体﹐磁力线则冻结在流体上﹐即在同一磁力线上的质点恒在同一磁力线上﹐如果电导率是有限的﹐则磁场还要扩散。

假设等离子体满足电中性条件 ne ni n 必须考虑碰撞过程中粒子动量之间的传递相等
M ie M ei
单位时间内电子流传给离子流的动量 单位时间内离子流传给电子流的动量
10
du ( ) p q E J B dt
粒子碰撞时满足 牛顿第三定律
形式相同
由于电子的质量远小于离子的质量 mi me due nme ( ) pe en ( E ue B) M ei dt
d u 两项相加： nm ( ) p J B i dt
离子的速度
双磁流体力学方程组：双磁流体广义欧姆定律 due nme ( ) pe en ( E ue B) M ei dt
me mi M ei M ie ei n (ui ue ) me mi
运动方程最终形式： 碰撞频率
间内动量的传递可以表示成：
njmj (
du j dt
du ( ) p （ M qp q E J B） dt
) p j q j n j ( E u j B) jk n j m j mk m j mk
en 1 u e B ui B J B en
pe en(E u B) J B Mei
me mi M ei M ie ei n (ui ue ) me mi
me mi 1 ei en(ui ue ) me mi e
7
为了简单起见，假设等离子体为高电离度的，对于 高度电离的等离子体，可以把系统看成是由电子气 体和离子气体两种导电流体所组成，分别考虑它们 的运动，同时要考虑它们之间的耦合，这就是双流 模型。

第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。

§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

第四章 磁流体力学平衡§4.1 基本方程，位力定理 4.1.1 平衡方程按照运动方程 ()du u u u P J B dttρρρ∂≡+⋅∇=-∇+⨯∂当体系处于静态、即/0u t ∂∂=时，可得平衡方程()u u P J Bρ⋅∇=-∇+⨯（4.1）在实验室磁约束等离子体中，一般取0u =的近似，故平衡方程组 可以进一步简化成：J B P⨯=∇，B Jμ∇⨯=0B ∇⋅=（4.2）由此方程组，可以直接得到两个不依赖于具体平衡位形的结论：B P ⋅∇=，0J P ⋅∇=（4.3）在存在磁面时，B在磁面上，因此磁面也就是磁通ψ=常数的面．由（4.3）式可知 0||P ∇=，这就是说沿着磁力线压强为常数，但因为磁力线可以达到磁面上的任一点，故整个磁面上各点的压强都一样，即0s P ∇=．这样可以令()PP ψ=，即磁面也是平衡位形的等压面．由（4.3）式可知J 也完全在磁面上．因为，如果当J B时，不用说J一定在磁面上；而若J B⊥时，则可以把J 分成两部分s n J J J ⊥=+，其中s J 是在磁面上而和磁场垂直的电流分量，而n J是既垂直于磁场又垂直于磁面的分量．按（4.3）式s s n n J P J P J P ⋅∇=⋅∇+⋅∇=，其中s P ∇为零；而在其后一项中，一般总有0n P ∇≠，故0n J ≡，这表示电流J只有在磁面上的分量，所以它也是磁面的函数，即()JJ ψ=由前面得到平衡方程的另一种形式22()B BB T P I μμ⎛⎫∇⋅≡∇⋅+-= ⎪⎝⎭ （4.4）其中已利用了0u =。

因为在由||ˆˆ/e b B B== 及 12ˆˆ,ee ⊥⊥构成的直角坐标系中，1122||||ˆˆˆˆˆˆI ee e e e e ⊥⊥⊥⊥=++，故（4.7）式可以进一步表示成 120||||P P P ⊥⊥⊥⊥∇+∇+∇=其中 2222||,BBP P P P μμ⊥=-=+||,P P ⊥分别是平行（磁力线）方向及垂直方向的总压强．因为220||||||(/)P B μ∇=∇=，故最后可得平衡方程120P P ⊥⊥⊥⊥∇+∇=。

圆柱形Hall推力器磁场的设计与数值模拟
赵杰;唐德礼;程昌明
【期刊名称】《火箭推进》
【年(卷),期】2007(033)005
【摘要】霍尔(Hall)推力器的磁场设计是提高其性能的关键技术之一.针对传统环形Hall推力器小型化带来的缺点,提出了圆柱形的Hall推力器.简要对比了环形和圆柱形两种推力器,对圆柱形推力器的工作原理、磁场设计的要求以及利用ANSYS 有限元软件进行的电磁场数值模拟的结果进行了详细分析.结果表明,圆柱形推力器磁路设计是合理的,另外也证明了用ANSYS有限元软件进行电磁场模拟的可靠性.【总页数】5页(P32-36)
【作者】赵杰;唐德礼;程昌明
【作者单位】核工业部西南物理研究院,成都,610041;核工业部西南物理研究院,成都,610041;核工业部西南物理研究院,成都,610041
【正文语种】中文
【中图分类】V434
【相关文献】
1.圆柱形霍尔推力器内等离子体数值模拟 [J], 赵杰;唐德礼;耿少飞
2.用于线性Hall检测的正弦化气隙磁场优化设计 [J], 李勇;胡建辉;陈影
3.磁屏蔽霍尔推力器磁场设计及实验验证 [J], 徐亚男; 康小录; 余水淋; 黄浩
4.2cm电子回旋共振离子推力器离子源中磁场对等离子体特性与壁面电流影响的
数值模拟 [J], 夏旭;杨涓;付瑜亮;吴先明;耿海;胡展
5.Hall推力器羽流数值模拟 [J], 钱中;王平阳;杜朝辉;康小录
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类塞流反应器模型正解的存在性刘志强;聂华;吴建华【摘要】本文考虑了一类较一般的塞流反应器模型.由极值原理给出了模型正平衡态解的先验估计,利用锥映象不动点指标理论及构造同伦映射的方法,并结合特征值理论研究了模型正平衡态解的存在性,得到了模型正平衡态解存在的充分条件.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2009(026)001【总页数】5页(P118-122)【关键词】塞流反应器;不动点指标理论;正平衡解【作者】刘志强;聂华;吴建华【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,西安,710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安,710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安,710062【正文语种】中文【中图分类】O175.261 引言塞流反应器是用于微生物连续培养的一种实验装置。

它不仅可视为对污水处理过程或哺乳动物大肠的模拟，而且它已被广泛地应用于微生物的生产、生物制药、食品加工及生态系统尤其是水生生态系统的管理、预测和环境污染的控制。

因此近年来，不少学者对塞流反应器模型进行了大量的研究，见文献[1-5]等。

本文研究如下塞流反应器模型正平衡态解的存在性。

其中s(x,t),u1(x,t),u2(x,t)分别为反应器中营养物及两竞争物种的浓度。

d0,d1,d2>0分别为s,u1,u2的扩散系数，γ1,γ2>0为产出率，k1,k2>0为物种死亡率。

通常假设反应函数fi(s)满足：fi(0)=0,fi′(s)>0,fi(s)∈C1。

最典型的例子是Monod函数fi(s)=，其中mi,ai>0为常数。

Ballyk等在文献[1]中利用一致持续性理论研究了此模型，主要讨论了随机扩散对物种持续生存的影响，并通过数值模拟说明了当扩散系数适当大时，物种可以共存。

本文利用锥映射上不动点指标理论研究此模型共存解的存在性。

因此，本文主要关注如下平衡态系统。

2 正解的先验估计首先考虑单物种生存和灭绝的条件，即考虑如下单物种系统正平衡解的存在性，唯一性及其解的渐近性态。