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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 (2023·广州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练1 (2023·阜阳模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；点A的坐标为(6,4)，得c＝4，设焦点F2(0,4)，F1(0，－4)，则D(0,2m)，故M(0，m)，当直线PQ斜率存在时，如图，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，①②题型二 圆锥曲线的综合问题如图，F(4,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0，(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0).思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0.(1)求抛物线E的方程；当直线AB斜率存在时，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.△ABH面积S的最小值.)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，设A(x若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，∴H也为定点.故△ABH面积S的最小值为22.知识过关(1)求双曲线C的方程；1234由题意得，c＝2，(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，因为点F到直线P A，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，(1)求椭圆C的方程；求直线l的方程，若不存在，请说明理由.因为点F为△EAB的垂心，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，能力拓展3.(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形.(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；由题意得，c＝2，A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，P (x ，y )，12·PA PA k k ①∴a 2＝2b 2，∵a 2＝b 2＋4，∴a 2＝8，b 2＝4，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， ⊥l ，设 ：y ＝－x ＋t ，12B B l 12B B l。
突破疑难系刘2：圆锥曲线解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法 （坐标法）•因此，求 解解析几何问题最大的思维难点是转化， 即几何条件代数化.如何在解析几何问 题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的 关键所在•为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角， 突破思维难点.途径一 “图形”引路，“斜率”搭桥高专示刮方袪与思犠L （2015・童国涉1 ）在宜角 .科.1.币 jc-y a s0 jax + F i d =0» （涉異.占略）（2 ；待在曲4迪总的JL il 昭如F 「 * p （ o 』）的虫 M 叫 j-）./ry, 坐擁寒X Q T 中血裁C ：y = y t ^PM t P X 的斜伞券别和片*£一勺直JR/：J +<f(d>0)j£ 将 ”i 一 tv +。
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2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第八章 直线和圆、圆锥曲线§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分相离相切相交图形量化方程观点Δ___0Δ____0Δ____0几何观点d____r d____r d____r1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)<＝>>＝<图形量的关系外离 _________外切 __________2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2知识梳理相交 _______________内切 ____________内含 _________|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝__________.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|M N|＝________________________.常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.常用结论(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( )(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( )(4)在圆中最长的弦是直径.( )√××√1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是√A.相交B.相切C.相离D.相切或相交2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为√∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为A.±3B.±5√C.3或5D.±3或±5第二部分命题点1 位置关系的判断例1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切√√√若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为A.相交、相切或相离B.相交或相切√C.相交D.相切方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 (1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为√圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交x＝0或3x＋4y－4＝0于A，B两点，则当|AB|＝时，直线l的方程为_____________________.因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.命题点3 切线问题(1)求过点P的圆C的切线方程；由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.∴点P在圆C上.(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4 (2023·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形P AOB的面积的最小值为______.∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，∴P(x0，4－x0)，思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.A.相切B.相交C.相离D.相交或相切√所以直线与圆相交或相切.√例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋ )2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为A.5B.6√C.7D.8因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP，故点P的轨迹C1是以A，B为直径的圆(不包含A，B)，故其轨迹方程为x2＋y2＝m2(x≠0)，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共x－2y＋4＝0弦所在直线的方程为_____________，公共弦长为______.两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.跟踪训练2 (1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为√A.内含B.相交C.外切D.外离圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，故两圆是相交关系.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程__________________________________________________________________________________.x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.。
立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围）问题知识拓展1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。
解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试。
2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件,善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑,注意特定情况下的动点的位置,然后对任意情形加以分析判定,也可转化为平面问题。
对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.3.立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节）或(面积)体积的最值的问题。
其一般方法有：(1）几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2）代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式,利用函数的单调性、有界性,以及不等式的均值定理等，求出最值.题型突破题型一立体几何中的翻折问题【例1】（2019·全国Ⅲ卷）图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②。
(1）证明：图②中的A，C，G，D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE；（2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C,G，D四点共面。
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。
