全等三角形基本图形

全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角•全等多边形的对应边、对应角分别相等•如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' .这里符号徑"表示全等，读作"全等于"•全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形•全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等•全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形•能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“空‘ •全尊三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等•寻找对应边和对应角,常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角•(5)有对顶角的，对顶角常是对应角•全等三角形的判定方法：(1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等•⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等•(3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等•(4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等•(5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路:找夹角TSAS已知两边找直角THL找另一边TSSS边为角的对边一找任意一角一A4S找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一SAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:已知一边一角《边就是角的一条边已知两角＜找两角的夹边T ASA 找任意一边T AAS（1）平移全等型⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等•⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上•⑶等腰三角形的性质走理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）•⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合•⑸等腰三角形的判走走理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等•（7）和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上•它们具有互逆性•角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 •由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2・过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3 . OA = OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍,三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：彫吉三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线•三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半•中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边•中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无^是倍长中线以及中位线走理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等臺关系时，倍长中线的应用更是较为常见•【例1】在初、AC 上各取一点E. D, ^AE = AD 9连接3D 、CE 相交于O 再连结AO . BC 9若Z1 = Z2,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由・【巩固】如图所示，AB = AD 9 BC = DC, E 、尸在AC 上，AC 与BQ 相交于P.图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由.【例2】（2008年巴中市髙中阶段教育学校招生考试）如图，AC//DE 9 BC 〃 EF , AC = DE.求证: AF=BD ・【例3】（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC, AC = BD,求证：ZC = ZD ・【巩固】如图，AC. 3D 相交于O 点，RAC = BD 9 AB = CD 9求证：OA = OD.板块二、三角形全等的判定与应用【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知:如图，B.E.F.C 四点在同一条直线上，AB = DC 9 BE = CF ■ = 求证：OA= OD.A I)【例5】 已知，如图，AB = AC 9 CE 丄AB 9 BF 丄AC 9求证：BF = CE.【例6】E 、F 分别是正方形ABCQ 的CQ 边上的点，且BE = CF •求证：AE 丄BF ・【巩固】E. F. G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE 丄EF, GE = EF.求证:BG + CF = BC ・【例7】 在凸五边形中，Zfi = ZE, ZC = ZD, BC = DE , M 为CD 中点.求证：AM 丄CD.I) C板块三、截长补短类【例1】如图，点M为正三角形的边加所在直线上的任意一点（点3除外），作ZDMV = 60。

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

第十二章全等三角形一、全等三角形1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

注：完全能重合的图形那么固然：形状完全相同，大小固然相等，对应角也相等。

2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

用符号“≌”表示，读作：全等。

3、全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．注意：在写三角形全等的时候一定要把相对应角的顶点对应写，比如上图中写成△ABC≌△A'B'C'，而不能写成△ACB≌△A'B'C'，因为C对应的是C’所以这种写法是错误的。

（重点）4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．例1、下列命题错误的是（）A．全等三角形对应边上的高相等B．全等三角形对应边上的中线相等C．全等三角形对应角的角平分线相等D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等例2、在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．二、（重点）全等的判定【例1】如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．分析：要证明△ABD ≌△ACD ，可看这两个三角形的三条边是否对应相等． 证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中21EOD C BA ,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩D CB A E ∠C=∠FBC=EF∴△ABC ≌△DEF （SAS ）【例】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，•使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？证明：在△ABC 和△DEC 中∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB=DE想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE 的依据是什么？（全等三角形对应边相等）【例】如图在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：AD=AE ．证明：在△ACD 与△ABE 中，∴△ACD ≌△ABE （ASA ）∴AD=AE 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)12CA CD CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩公共角【例】如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ，求证BC=AD ．【思路点拨】欲证BC=•AD ，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里有△ABD 和△BAC ，△ADO 和△BCO ，O 为DB 、AC 的交点，经过条件的分析，△ABD 和△BAC •具备全等的条件．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥BD ，∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）．∴BC=AD ．练习2如图，AD 与CB 交于O ，AO=OD ，CO=OB ，EF 过O 与AB 、CD •分别交于E 、F ，求证：∠AEO=∠DFO ．,,AB BA AC BD =⎧⎨=⎩全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型例1、两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等．A．两边和其中一边的对角对应相等B．三个角对应相等C．两角和一组对应边相等D．两边及第三边上的高对应相等例2、下列命题错误的是（）A．全等三角形对应边上的高相等B．全等三角形对应边上的中线相等C．全等三角形对应角的角平分线相等D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等例3、考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________如右上图所示，AB CD∥，AB CD=，AD与BC交于O，∥，AC DB⊥于E，DF BC⊥于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理AE BC由．例4、如右上图所示，AB CD=，AD与BC交于O，AE BC⊥∥，AC DB∥，AB CD于E，DF BC⊥于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．BAFOEDC例5、如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．（二）角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

专题12.1 全等三角形1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【例题1】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。

【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．【点拨】在利用角边角判定该定理证明全等后，全等三角形对应边相等。

【例题2】已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）A．AC=DF B．AD=BE C．DF=EF D．BC=EF【答案】C．【解析】A．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论正确；B．∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE；∵DB是公共边，∴AB﹣BD=DE﹣BD，即AD=BE；故此结论正确；C．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论DF=EF错误；D．∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，故此结论正确。

【点拨】考查平行线性质，全等三角形对应边相等。

【例题3】如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．【点拨】全等三角形对应角相等。