浙教版-数学-八年级上册-2.4 等腰三角形的判定定理 测试题

2.4 等腰三角形的判定定理知识点1.等腰三角形的判定1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是(B)A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形2．如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有(D)图1A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】本题考察特殊的三角形之一“黄金三角形”．∵△ABC为等腰三角形，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，此时△ABD为等腰三角形，△BCD为等腰三角形，又∵BE＝BC＝BD，∴△BDE为等腰三角形，∠AED＝108°，∵∠A＝∠EDA＝36°，∴△AED为等腰三角形，共5个．故选C.3．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是__等腰__三角形．4．如图2，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形，你添加的条件是__BD＝CD____或__∠BAD＝∠CAD__．图2 图35．如图3，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝__5__cm__．6．如图4，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.图4(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC；(2)∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×50°＝80°，∵∠ACE＝180°－90°－80°＝10°.∴∠BOC＝∠BDC＋∠ACE＝90°＋10°＝100°.7．已知：如图5，△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E，F.求证：EF＝BE＋CF.图5证明：∵BO为∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO，又∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理FC＝FO，又∵EF＝EO＋OF，∴EB＋FC＝EO＋OF＝EF.知识点2.等边三角形的判定8．如图6，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.图6(1)求∠C的度数；(2)求证：△ADE是等边三角形．解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°；(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【易错点】把等边三角形当作等腰三角形来判定．9．下列推理错误的是(B)A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形。

八年级数学上2.4等腰三角形的判定定理同步集训（浙教版
带答案）
2．4 等腰三角形的判定定理
1．有下列命题①有两个角是60°的三角形是等边三角形；②一个等腰三角形的底角要小于90°且大于0°；③等腰三角形的顶角与底角相等，那么这个三角形是等边三角形；④一个三角形中，有两个角的度数分别为20°和80°，那么这个三角形是等腰三角形．其中是真命题的是①②③④(填序号)．
2．如果一个三角形一边上的中线恰好与该边上的高重合，那么这个三角形一定(填“一定”或“不一定”)是等腰三角形．(第3题)
3．如图，已知AB＝Ac，∠A＝36°，BD平分∠ABc，则图中等腰三角形的个数为(D)
A 0
B 1
c 2
D 3
4．已知一个三角形的周长为39 c，一边长为12 c, 另一边长为15 c，则该三角形是(c)
A．直角三角形 B．钝角三角形
c．等腰三角形 D．无法确定
5．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是(B)
A．锐角三角形 B．等腰三角形
c．钝角三角形 D．不能确定
6．如图，在△ABc中，∠c＝90°，∠A＝30°，在直线Bc或Ac上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条的点P有(c)
A 2个
B 4个。

2.4 等腰三角形的判定定理一、选择题（共15小题；共75分）1. 下列条件能判定三角形为等边三角形的有( )（1）有一个角是60∘；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高与中线重合的三角形；（4）有一个角为60∘的等腰三角形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 两角的平分线的交点和两边的垂直平分线的交点重合的三角形是( )A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 直角三角形4. 下列四个说法中，正确的有( )①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60∘的三角形是等边三角形；③有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 下面给出的几种三角形：①有两个角为60∘的三角形；②三个外角都相等的三角形；③ 一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一个角为60∘的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6. 下列三角形：① 有两个角等于60∘；② 有一个角等于60∘的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④7. 面关于“等边三角形”的说法不正确的是( )A. 等边三角形的三条边都相等B. 等边三角形的三个内角都相等且都等于60∘C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴D. 等边三角形与等腰三角形具有相同的性质8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD .若AC=5，BC=3，则BD的长为( )A. 1B. 1.5C. 2D. 2.59. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(√3,1)，在y轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 ( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20∘的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( )海里.A. 10B. 20C. 30D. 4011. 将两个全等的各有一个角为30∘的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112. 如图，AB=AC，∠A=36∘，AB的垂直平分线交AC于点D，则下列结论：① ∠C=72∘；②BD是∠ABC的平分线；③ △ABD是等腰三角形；④ △BCD是等腰三角形．其中正确的结论有( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为( )A. 9B. 11C. 12D. 1314. 已知△ABC的三边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条15. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为 ( )A. 2B. 1C. 52D. 32二、填空题（共15小题；共75分）16. 在△ABC中，如果AB=AC，（只添加一个条件），则△ABC为等边三角形．17. 如图，O是△ABC的两条内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC．若△ODE的周长为10 cm，则BC=cm．18. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA=OB=18 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60∘，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 cm．19. 已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=( )∘．20. 一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是．21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1,1)，在x轴上确定点N，使△MON为等腰三角形，则符合条件的点N有个．22. 已知甲船从A处正北方向航行，乙船在A处北偏东60∘方向的B处，则乙船向方向航行，两船正好能相遇（已知两船的速度相同，起始时间相同）．23. 如图所示，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：① ∠EBO=∠DCO；② ∠BEO=∠CDO；③ BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：．24. 如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处，分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC=42∘，∠NBC=84∘，则B与灯塔C的距离为25. 如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60∘,DE交∠ACB的外角平分线于点E，则△ADE是三角形．26. 已知∠AOB=30∘，点P在OA上，且OP=2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=．27. 如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠C=27.5∘，且AB+BH=HC，则∠B=．28. 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60∘，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在Cʹ处，连接BCʹ，则BCʹ的长为．29. 已知三角形的两个内角的度数分别是x∘、y∘，且x2−y2=0，三角形的一边等于7，另一边等于10，则它的周长为．30. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是．三、解答题（共5小题；共65分）31. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，你能判断△ABC的形状吗?请说明理由．32. 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE交于点F，Ⅰ试判断△AFC的形状，并说明理由．33. 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60∘，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．34. 如图，在△ABC中∠BAC=90∘，AD⊥BC，BE平分∠ABC .Ⅰ求证：△AEF是等腰三角形．35. 如图所示，在四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点G，∠ABD=12∘，∠DBC=36∘，∠ACB=48∘，∠ACD=24∘．Ⅰ求证：BG=AC．Ⅱ求∠ADB的度数．答案第一部分1. B2. C3. C4. D5. B6. D7. D8. A9. C 10. D11. B 12. D 13. C 14. B 15. A第二部分16. BC=AB（答案不唯一）17. 1018. 1819. 60或90∘或108∘20. 36∘或180∘721. 422. 北偏西60∘23. ①③24. 180海里25. 等边26. 227. 55∘28. 329. 24或2730. △ABD第三部分31. △ABC是等边三角形.理由如下：∵a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，∴(a−b)2+(b−c)2=0 .即a=b，b=c .∴a=b=c .∵a，b，c是△ABC的三边长，∴△ABC是等边三角形.32. △AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD与△BCE中，∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE( AAS)．∴BA=BC .∴∠BAC=∠BCA .∴∠BAC−∠BAD=∠BCA−∠BCE，即∠FAC=∠FCA .∴△AFC是等腰三角形．33. ∵△ABO是等边三角形，∴∠A=∠B=∠AOB=60∘ .∵AB∥CD，∴∠C=∠A=60∘，∠D=∠B=60∘ .∴∠COD=∠AOB=60∘ .∴△OCD是等边三角形．34. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE .∵AD⊥BC，∴∠ADB=90∘ .∵∠ADB+∠CBE+∠BFD=180∘，∠BAC+∠ABE+∠BEA=180∘，∴∠BFD=∠BEA .∵∠BFD=∠AFE，∴∠BEA=∠AFE .∴△AEF是等腰三角形．35. （1）∵∠ABD=12∘，∠DBC=36∘，∠ACB=48∘，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48∘=∠ACB．∴AB=AC．又∠AGB=∠ACB+∠DBC=48∘+36∘=84∘，∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=84∘，∴∠BAG=∠BGA=84∘．∴BG=BA．∴BG=AC．（2）如图所示，在四边形ABCD外作∠PBA=∠DBA=12∘，并使BP=BD，连接AP，PC．则△PBA≌△DBA，∠BPA=∠BDA．又∠BCD=∠ACB+∠ACD=48∘+24∘=72∘，∴∠BCD=∠BDC．∴BC=BD=BP．又∵∠PBC=∠PBA+∠ABD+∠DBC=12∘+12∘+36∘=60∘，∴△PBC为等边三角形．∴PB=PC．∴△PBA≌△PCA．∴∠BPA=∠CPA=30∘．∴∠ADB=∠BPA=30∘．。

2.4 等腰三角形的判定定理一、选择题1．下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( )A ．∠A ＝30°，∠B ＝60°B ．∠A ＝50°，∠B ＝80°C ．AB ＝AC ＝2，BC ＝4D ．AB ＝3，BC ＝7，△ABC 的周长为102．如图所示，∠A ＝36°，∠ADB ＝108°，则图中共有等腰三角形( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如果一个三角形的一内角平分线与对边垂直，那么这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C ＝72°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，则图中共有等腰三角形( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.如图，△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE//AC 交AB 于点E ，则△BDE 的周长为··（ ）A ．75+B ．425+C ．10D ．12二、填空题6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D.请你再添加一个条件，使△ABC是等腰三角形．你添加的条件是7．试说明：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC(如图所示)．求证：AB＝AC.证明：∵AD∥BC(已知)，∴∠1＝∠B( )，∠2＝∠C( )．又∵AD平分∠CAE(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)，∴∠B＝∠C(等量代换)．∴AB＝AC(8．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点DAB CEE，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____．9.如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，则∠A的度数为10．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝____．三、解答题11．如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，延长BC到点E，使CE＝CD.求证：DB＝DE.12．如图，上午8时，一艘船从A处出发以25 km/h的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝37°，∠NBC＝74°.求从B处到灯塔C的距离．13．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．14．(10分)已知：如图，锐角△ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由15、作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明剪法．我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：2.4答案：1、B2、A3、A4、D5、C6、略7、略8、99、21°10、3 11..略12. 50m/h 13. △AFC是等腰三角形，理由略14、(1)略15。