陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第三章推理与证明归纳推理学案北师大版选修1-2

类比推理学习目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；学习过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个〔两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想，即例3如图，点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，那么1111111=++CC OC BB OB AA OA 〔Ⅰ〕类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论〔Ⅱ〕？并用证明〔Ⅰ〕时类似的方法给出证明。

１。

1 归纳推理1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理． 思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗?[提示］ 不一定正确.因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,其结论还需要证明其正确性．１.下列关于归纳推理的说法错误的是( ） ①归纳推理是由一般到一般的推理过程; ②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理;③归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确； ④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能． A.①② B.②③ Ｃ．①③D ．③④Ａ [归纳推理是由特殊到一般的推理,故①②不正确,易知③④均正确,故选A 。

］ 2.若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ） A ．至多等于3B ．至多等于4ﻬC ．等于５ﻩ D.大于5B [n ＝2时，可以；n =３时,为正三角形,可以；n =4时,为正四面体,可以；n =５时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.]3.由集合｛a 1｝,｛ａ1，a ２｝,{a 1，ａ2,a 3}，……的子集个数归纳出集合{ａ１,a ２，a 3，…，a ｎ｝的子集个数为＿_______．2ｎ[集合｛a 1｝有两个子集∅和{ａ1｝,集合｛a 1，a 2}的子集有∅,{a 1},｛a 2}，{a １,a 2｝共4个子集,集合｛ａ1，a２，ａ3｝有８个子集,由此可归纳出集合{a1，a2，a３，…，a n}的子集个数为2n个.]数式中的归纳推理【例1】(1）观察下列各式:ａ＋b＝1,a2＋b2＝３，a3＋b３=４，a4+ｂ4＝7,a５+b5=１１，……，则ａ1０+b１0=()A.２８ﻩB．７6C.123D.1９9(2)已知f(x)＝错误!未定义书签。

,设f1(x)＝f（x),fｎ(x)=fｎ-１（f n－１（x）)(n〉１，且ｎ∈N＋)，则ｆ3（x）的表达式为_＿＿_＿_＿＿______,猜想f n（x)(n∈Ｎ＋)的表达式为＿______＿．思路点拨:(1）记ａn＋b n=f(n)，观察ｆ(1),f(2),f(3)，ｆ（4)，f(5)之间的关系,再归纳得出结论．（2)写出前几项发现规律,归纳猜想结果.（1)C(2）ｆ3(ｘ)＝＼f（x，1-4x）fｎ(x)=错误!未定义书签。

走进高考中的“合情推理”法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．惟有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题，考查学生的合情推理能力．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1 （高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)f =________；()f n = _________（答案用n 表示）．解析：(1)1f =，观察上图可知(2)4f =，(3)10f =，(4)20f =，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是(1)2n n +，所以(1)()(1)2n n f n f n +=-+， 所以有2(21)(2)(1)2f f ⨯+-=，3(31)(3)(2)2f f ⨯+-=， 4(41)(4)(3)2f f ⨯+-=，…，(1)()(1)2n n f n f n +--=． 以上各式相加，得2222223344()(1)2n n f n f ++++++++=+… 22222(1234)(1234)2n n +++++++++++=……(1)(21)(1)(1)(2)6226n n n n n n n n ++++++==． 所以应该填：10；(1)(2)6n n n ++． 点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求()f n 的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本知识中的思想或方法来设计题目．2．分析式子，寻找规律例2 （高考湖南卷·理）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2005()f x =（ ）Ａ．sin x Ｂ．sin x - Ｃ．cos x Ｄ．cos x -解析：本题若通过递推关系，将前2020项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sin f x x =，10()()cos f x f x x '==，21()()sin f x f x x '==-，32()()cos f x f x x '==-，43()()sin f x f x x '==，…由此继续求导下去，四个一循环，又200550141=⨯+，所以20051()()cos f x f x x ==．故选（C ）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．１．类比旧知识，推出新结论例3 （高考湖北卷·文）半径为r 的圆的面积2()πS r r =，周长()2πC r r =，若将r 看作(0)+，∞上的变量，则2(π)2πr r '=． ① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0)+，∞上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________________________， ②②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出34()π3V R R =，2()4πS R R =． 所以填：324π4π3R R '⎛⎫= ⎪⎝⎭； 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4 （高考四川卷改编）非空集合G 关于运算?茌满足：（1）对任意的a b G ∈，，都有a b G ⊕∈，（2）存在e G ∈ ，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①Ｇ＝｛非负整数｝，⊕为整数的加法．②Ｇ＝｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③Ｇ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法．④Ｇ＝｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法．其中Ｇ关于运算⊕为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过⊕的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为非负整数集中的０．在②中，要满足a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，显然e G ∉．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为零向量．在④中，此时的0e =，不是二次三项式．故填①③．。

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3.3。

1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点;2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题.学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤;并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。

事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的.重点：理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时,找出有效的推理“路线”;教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明.若要证明下列问题:已知a,b〉0,求证2222a b c b c a abc+++≥()()4教师活动:给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论,思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0+≥>，b c bc a所以22+≥,a b c abc()2因为222,0c a ac b +≥>， 所以22()2b c a abc +≥。

1．1 归纳推理归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n}的前四项为2,4,6,8，试写出a n.提示：a n＝2n(n∈N＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．数与式的归纳[例1] (1)1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般结论．(2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论．[精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x[一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．1．试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，…，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是( )A ．60B ．62C ．64D ．94解析：选B 这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为30＋25＝62.2．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为( ) A ．1＋122＋132＋142＋152<95B ．1＋122＋132＋142＋152<116C ．1＋122＋132＋142＋152＋162<95D．1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.3．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：选A (1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．4．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)图与形的归纳[例2] 6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36[思路点拨] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[精解详析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案] B[一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为( )A．76 B．77C．65 D．66解析：选B 归纳可得“梯形数”相邻两项的差依次比前面大1，所以前10个“梯形数”依次是：5,9,14,20,27,35,44,54,65,77.6．由花盆摆成如图所示的图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．解析：前3个图形中花盆数依次为1,7,19，由此归纳这列数的特点为相邻两项的差都是6的整数倍，依次是6，12，…，所以第5个图形中花盆的个数应为19＋18＋24＝61.答案：617．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝______________(用含n的数学表达式表示)．解析：如图，画图可知，f(4)＝5，当n>4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1， 由f (n )－f (n －1)＝n －1，f (n －1)－f (n －2)＝n －2，……f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)1．观察和实验是进行归纳推理的最基本的条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．2．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14D ．100解析：选C ∵13×1＋132＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的 数构成的规律，a 所表示的数是( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f(2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f(3)＝13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f(4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.。

第1课时合情推理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:观察、比较→联想、类推→猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().====【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().+1【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().B.1【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(2013年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().(x)(x)(x)(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72014的末两位数字为()..43【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵72014=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。

第3章推理与证明归纳推理【例1】(１)观察式子:1+错误!<错误!未定义书签。

，1+错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

〈错误!,1+错误!未定义书签。

＋错误!＋错误!未定义书签。

＜错误!,…，由此可归纳出的式子为( )A．１＋错误!未定义书签。

＋错误!+…+错误!未定义书签。

〈错误!B.1+＼f(1，22）＋错误!＋…＋错误!＜错误!未定义书签。

C.1+错误!未定义书签。

+13２＋…+错误!<错误!D．1＋错误!未定义书签。

＋1３2+…＋错误!未定义书签。

〈错误!(2)两点等分单位圆时,有相应正确关系为ｓｉｎα+sin（π+α)=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为ｓin α+sin错误!+sｉｎ错误!未定义书签。

＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为___＿_＿____.思路点拨：(１）观察各式特点,找准相关点，归纳即得.（2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．（1)C (2）sin α＋sin错误!未定义书签。

＋sin(α+π）+sin错误!＝0［（１)由各式特点,可得1＋错误!＋错误!未定义书签。

＋…＋错误!<错误!.故选C.(２)用两点等分单位圆时,关系为sinα+sin（π＋α）=0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α＝π，用三点等分单位圆时，关系为siｎα＋ｓin错误!未定义书签。

+sin错误!=0,此时三个角的正弦值之和为０,且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等,即有错误!未定义书签。

-错误!未定义书签。

＝错误!－α=错误!未定义书签。

．依此类推，可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角为错误!+α＝错误!+α,第三个角为错误!未定义书签。

+α＋错误!未定义书签。

＝π+α，第四个角为π＋α＋错误!＝错误!+α,即其关系为sｉn α＋sｉn错误!+sin(α＋π)+sin错误!=０。