2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
圆与圆的位置关系及判定
2 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2， 2 则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，
x1－x22＋y1－y22 r2，圆心距d＝|C1C2|＝
.
则两圆C1，C2有以下位置关系
位置关系 公共点个数
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
相切
相离
D＝ r
D>r
|6k＋4| ∵圆心到直线的距离为 2，∴ ＝ 2， 1＋k2 7 即17k ＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－17.

k2 ＋ 1
k2 ＋ 1
即|3k－1|＝ 5＋5k2，两边平方，
并整理得到 2k2－3k－2＝0，解得 k＝－1，或 k＝2， 2
所以，所求直线 l 有两条， 它们的方程分别为 y＋3＝－1(x＋3)或 y＋3＝2(x＋3)．
2
即 x＋2y＋9＝0 或 2x－y＋3＝0.
方法归纳 与圆相关的弦长问题的两种解决方法： (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利 用勾股定理可求出弦长，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方 程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之 间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法，但很 繁琐，一般不用．
Δ＝ 4b2－ 8(b2－ 2)＝－ 4b2＋ 16.
(1)当 Δ＞0，即－2＜b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点．
(2)当 Δ＝0，即 b＝2，或 b＝－2 时，直线与圆相切，有一个
公共点．
(3)当 Δ＜0，即 b＞2，或 b＜－2 时，直线与圆相离，无公共 点．
方法归纳 判定直线与圆位置关系的方法步骤有： (1)几何方法步骤： ①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径． ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离． ③作判断：当 d＜r 时，直线与圆相交；当 d＝r 时，直线与圆 相切；当 d＞r 时，直线与圆相离．
求此切线的方程． [解] ∵点 A到圆心 C的距离的平方为(4－3)2＋(－3－1)2＝17 ＞1，∴点 A 在圆外． ①若所求的切线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－4)． ∵圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径 1.
∴|3k－1－3－4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， k2 ＋ 1

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������ = ������������ + 2, 解:(方法 1)联立得方程组 消去 y 得 (������-1)2 + ������ 2 = 1, (x-1)2+(kx+2)2-1=0,即(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0. 判别式 Δ=(4k-2)2-4×4×(k2+1)=-16k-12. 当 Δ=0,即-16k-12=0,k=- 时,直线与圆相切; 当 Δ>0,即-16k-12>0,k<- 时,直线与圆相交; 当 Δ<0,即-16k-12<0,k>- 时,直线与圆相离.
2.直线与圆的相切问题 活动与探究 例 2(1)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,求过点 P(2,3)的圆的切线 方程; (2)过点 A(4,-3)作圆 C:(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线的方程. 思路分析:(1)先判断点与圆的位置关系,再利用切线的斜率与圆心 和切点连线的斜率乘积为-1 求出切线斜率.(2)设出切线方程,利用点到 直线的距离等于圆的半径,列出切线斜率所满足的方程,求出斜率,但要 注意分斜率存在、不存在两种情况讨论.
|4+5| 4+1 9 5 9 5 >1=r,∴ 圆与直线相离. 5 |16+3+6| =5=r,∴ 圆与直线相 16+9
=
=
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在有关直线与圆的位置关系问题中,一般不用判别式方法,而是用 圆心到直线的距离与半径的大小关系求解,同时注意充分利用圆的几 何性质以简化运算过程.
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∴直线与圆相交,有两个交点.
由直线与圆的方程得方程组 3������ + ������-6 = 0, ������ 2 + ������ 2 -2������-4 = 0. 解得交点坐标为(2,0),(1,3).
反思若仅判断直线和圆的位置关系,则可直接利用几何法,即比较 圆心到直线的距离和圆的半径的大小;若需要求解直线和圆的交点 坐标,则应该利用代数法,即解由直线方程和圆的方程组成的方程 组.
2
解:设切线方程为 y=- x+b, 即 2x+3y-3b=0. 已知圆的圆心为(0,0), 半径 r=4, 则圆心到切线的 距离 d=
|-3������| 22+32 4 13 . 故所求切线方程为 3
2 3
=4. 解得 b=±
2x+3y+4 13=0
或 2x+3y-4 13=0.
题型一
题型二
题型三
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线及圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.会求过一点的圆的切线方程. 3.能利用直线方程和圆的方程解决一些有关圆的简单问题.
直线与圆的位置关系 直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 设圆心(a,b)到直线 l 的距离是 d,d=
故
|-������+2|
2
=1,解得
������ +1
3 k= . 4 3 11 y= x+ . 4 4
故切线方程为 x=3 或
题型一
题型二
题型三
题型四