【Word版】湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案bytian[ 高考]

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设i 为虚数单位，则复数ii43+= ( ) A ．3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C .考点：１、复数的概念；2、复数的四则运算.2.设集合{1,0,1}M =-，N ＝2{|}x x x ≤，则N M ＝( ) A ． {0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1} 【答案】B . 【解析】试题分析：对于集合N ，因为2x x ≤，所以01x ≤≤，所以{|01}N x x =≤≤，再由集合的交集的定义知，{0,1}M N =，故应选B .考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合间的基本运算.3.“函数x x f a log )(=在区间（0，＋∞）上为增函数”是“3a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B . 【解析】试题分析：若函数x x f a log )(=在区间（0，＋∞）上为增函数，所以1a >，不能推出3a =；反过来，若31a =>，所以函数x x f a log )(=在区间（0，＋∞）上为增函数，所以“函数x x f a log )(=在区间（0，＋∞）上为增函数”是“3a =”的必要不充分条件，故应选B . 考点：1、充分条件；2、必要条件；3、对数函数.4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为( ) A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】C . 【解析】试题分析：由分层抽样的特征知，样本中A 型号产品所占的比例为：15314n =，所以1514703n ⨯==，故应选C . 考点：1、分层抽样.5.已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量b =)1,3(，且a b ⊥，则θtan 的值是（ ）A.33B. 33-C.【答案】C .考点：1、平面向量的数量积；2、同角三角函数的基本关系.6.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．4 【答案】A .【解析】试题分析: 因为抛物线的方程为28y x =，所以其焦点F 的坐标为(2,0)，而双曲线2213x y n-=的一个焦点坐标为：(2=，所以1n =，故应选A . 考点：1、抛物线的定义；2、双曲线的定义.7.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若,22a A B ==，则c o s B =( ) A.53 B.54 C.55 D.56【答案】B .考点：1、正弦定理的应用.8.已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且17184=S S ，则数列}1{n a 的前5项和5T 为 （ ） A ．1631或1611 B ．1611或2116 C ．1611 D ．1631【答案】A . 【解析】试题分析：当公比1q ≠时，设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n n a q-=，所以11nn q S q-=-，所以由17184=S S 可得481111171q q q q--=--，即411117q =+，所以2q =或2q =-，所以12n n a -=或1(2)n n a -=-，所以523412345111111111311222216T a a a a a =++++=++++=或523412345111111111111222216T a a a a a =++++=-+-+=. 当公比1q =时，1,n n a S n ==，所以由4841817S S =≠所以应舍去，故应选A . 考点：1、等比数列；2、等比数列的前n 项和.9.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)()(|x g x f 是奇函数D. |)(|x f 是偶函数 【答案】D.考点：1、函数的奇偶性.10.曲线ln y x x =+在点22(,2)e e +处的切线在y 轴上的截距为( )A ．1B ．－1C ．2e D ．2e - 【答案】A . 【解析】试题分析：因为ln y x x =+，所以'11y x =+，所以2'211x e y e ==+，即曲线ln y x x =+在点22(,2)e e +处的切线方程的斜率为211k e=+，所以其切线方程为：2221(2)(1)()y e x e e -+=+-，令0x =，则2221(2)(1)()y e e e-+=+-，即1y =，故应选A .考点：1、导数的几何意义；2、直线的方程.【思路点睛】本题主要考查了导数的几何意义和直线方程，重点考查学生综合应用学科内知识的能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先求出函数()y f x =的导函数''()y f x =，然后根据导数的几何意义即可求出导函数在点22(,2)e e +处的导数2'x e y=，即其切线的斜率，再由直线的点斜式方程可得出其切线方程，最后令0x =即可求出所求的其切线在y 轴上的截距. 11.数列1，112+，1123++， (1123)++++的前n 项和n S = ( )A.311n n -+ B. 21n n + C. 31n n + D. 43n n + 【答案】B .考点：1、裂项相消法求和；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和裂项相消法求和，属中档题. 解决这类问题的一般方法是：首先根据已知条件归纳出数列的通项公式n a ，然后运用等差数列的前n 项和公式将其进行化简，观察分析其通项公式的特征并运用裂项相消法对其进行求和，最后得出所求的结果. 其解题的关键是能够透过现象看本质，能通过已知条件归纳出数列的通项公式.12.在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为（）A．13B．23C．19D．59【答案】A. 【解析】试题分析：在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，需满足区域30xyx y>⎧⎪>⎨⎪-->⎩，而恰有两条线段的长大于1，需满足11031xyx y>⎧⎪>⎨⎪<--<⎩或10131xyx y>⎧⎪<<⎨⎪-->⎩或01131xyx y<<⎧⎪>⎨⎪-->⎩，所以画出区域，恰有两条线段的长大于1的概率为11131213332P⨯⨯⨯==⨯⨯.考点：1、几何概型；2、二元一次不等式组表示的平面区域.【思路点睛】本题主要考查了几何概型与二元一次不等式组表示的平面区域，属中档题. 其解题的一般思路为：首先设出其中两段的长度分别为,x y，结合已知条件，分别表示出随机分成3段的,x y的约束条件和恰有两条线段的长大于1的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，分别计算各自的面积，最后利用几何概型的计算公式即可求出所求的结果.第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13.已知函数22,0()lg(),0x xf xx x-⎧≥=⎨-<⎩，则[(10)]f f-的值为．【答案】1 2.考点：1、分段函数求值.14.执行如下图的程序框图，那么输出S的值是．【答案】12. 【解析】试题分析：当2,0S k ==时，执行第一次循环体：11,112S k ==-=-；执行第二次循环体： 11,21(1)2S k ===--；执行第三次循环体：12,3112S k ===-；执行第四次循环体： 11,412S k ==-=-；执行第五次循环体：11,51(1)2S k ===--；执行第六次循环体： 12,6112S k ===-；执行第七次循环体：11,712S k ==-=-；……，观察可知：其周期为3，且201267032=⨯+，所以当2012k =时，输出的12S =，故应填12. 考点：1、程序框图与算法.15.三棱锥D ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,2π=∠DCA ，则棱BD 的长为 ．第（14）题图ABCD正视图侧视图第（15）题图【答案】24.考点：1、三视图.【易错点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图及其空间几何体的面积、体积的计算，考查学生空间想象能力和计算能力，属中档题.其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能准确利用已知条件的三视图得出原几何体的空间形状，即不能准确找出该几何体中线线关系、线面关系，导致出现错误；其二是计算不仔细，导致结果出现错误.解决这类问题的关键是正确地处理三视图与原几何体之间的关系.16.已知函数2()()f x x ax a x R =-+∈，在定义域内有且只有一个零点，存在120x x <<， 使得不等式12()()f x f x >成立． 若*n N ∈，()f n 是数列{}n a 的前n 项和．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足10k k c c +⋅<的正整数k 的个数称为这个数列{}n c 的变号数，令41n nc a =-，则数列{}n c 的变号数是 ． 【答案】3.考点：1、二次函数的根的分布；2、数列的单调性；3、数列前n 项和.【思路点晴】本题主要考查了二次函数的性质、递推关系的应用、裂项求和和新定义“变号数”，综合考查了学生的推理能力、创新能力与计算能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先由函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点，可知方程()0f x =的判别式0∆=，解之可得0a =或4a =.分别验证这两种情形是否满足条件，易知只有4a =符合题意.于是可得出函数2()44f x x x =-+，进而得出244n S n n =-+，于是可求出数列n a 的通项公式；从而可得出数列{}n c 的通项公式，运用数列的增减性的定义可判断其增减性，进而确定其变号数.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人． （1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知在本考场参加测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ．在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．【答案】（1）3；（2）2.9；（3）1()6P B =．考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.【易错点晴】本题主要考查频率分布直方图的应用问题，同时也考查了频率、频数与样本容量的应用问题以及平均数的计算问题，属中档题.本题在解答过程中容易出现以下错误：其一是未能读懂题意，以致于不能将所学的统计知识运用到实际问题中去，从而导致出现错误；其二是对统计的基本特征数的计算公式识记不牢，导致出现错误如在频率分布直方图中平均数的计算公式；其三是针对古典概型的计算过程中，往往把基本事件总数或事件B所包含的基本事件的个数漏数或重复计数，进而导致结果出错.18.（本小题满分12分）已知函数21()2sin cos()sin232f x x x x xπ=+++.(1)求函数()f x的最小正周期；(2)求函数()f x的单调递增区间．【答案】（1）22Tππ==；（2）51[,],1212k k k Zππππ-+∈．考点：1、三角函数的恒等变换；2、辅助角公式；3、正弦函数的图像及其性质.【方法点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换、辅助角公式和正弦函数的图像及其性质，属中档题.解决这类问题最关键有以下两步：其一是准确运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数)(x f 的表达式化简为同角的正弦或余弦形式.其二是根据正弦函数或余弦函数的图像及其性质，充分利用整体思想求出其周期性和单调性等.19.（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相互垂直，G 是AF 的中点．（1）求证：AC ED ；（2）若直线BE 与平面ABCD 成45o角，求异面直线GE 与AC 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）33．考点：1、直线与直线、平面垂直的判定定理和性质定理；2、异面直线所成的角的求法.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ，点G 在椭圆C 上，且021=⋅GF GF ，12GF F ∆的面积为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线)0()1(:<-=k x k y l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点)0,3(P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当kk k 21最大时，求直线l 的方程．【答案】（1）12422=+y x ；（2）)1(410:--=x y l .试题解析：（Ⅰ）因为c e a ==，所以a ==，点G 在椭圆C 上，且021=⋅GF GF ，12GF F ∆的面积为2，所以222212121212,2,422GF GF a GF GF GF GF c a +=⋅=+==，解之224,2a b ==，所以椭圆方程为12422=+y x .考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交的综合问题；3、基本不等式的应用. 21.（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数)(x h 的单调区间； （2）若0a =时,函数)(x h 有两个不同的零点21,x x .求证：1221x x e >. 【答案】（1）函数)(x h 在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减.（2）（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①由()0h x =得ln -xb x =，记ln ()xx xϕ=-，则2l n 1()x x x ϕ-'=,所以ln ()xx x ϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当x e=时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e -.又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x1<x2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e >. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x xϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=,所以ln ()xx x ϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e -.又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x1<x2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e > . 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在不等式的证明中的应用.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。

长郡中学2016届高三月考试卷（六）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若全集U R =，集合{}124xx A =<<，{}10x x B =->，则U AB =ð（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤< 2.已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i +4.在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．95.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（ ）A ．2B ．2-C ．98-D ．986.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ） A ．312π B ．36π C ．34π D ．33π7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，4B ．0，3C ．2，4D ．2，38.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（ ） A ．4 B ．14- C ．2 D ．12- 9.已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35- B ．45-C ．35D ．4510.已知C ∆AB 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足C 1P =，则OA +OB +OP 的最小值是（ ）A ．31-B ．111-C ．31+D ．111+11.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若F 2F B =A ，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．512.已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为1的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 2S =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．22第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ．14.若实数x ，y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则x y 的取值范围是 ．15.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意n *∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 的通项公式为n a = ．16.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足F 2F A =B ，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意n *∈N ，都有()21n n S n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()42n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：112n ≤T <．18.（本小题满分12分）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？ （2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++19.（本小题满分12分） 如图甲，O 的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4π∠AB =，D 3π∠AB =．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求证：C D B ⊥E ；（2）在D B 上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分） 定圆:M ()22316x y ++=，动圆N 过点()F3,0且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且C C A =B ，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '． （1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，C 90∠A B =，CD ⊥AB 于点D ，以D B 为直径的O 与C B 交于点E ．（1）求证：C C D D B ⋅E =A ⋅B ；（2）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线:l 11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C :cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()f x x m x =-+，m *∈N ，存在实数x 使()2f x <成立．（1）求实数m 的值； （2）若α，1β>，()()4f f αβ+=，求证：413αβ+>．长郡中学2016届高三月考试卷（六）数学（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBDBACABACA10．A 【解析】由C 1P =及()C 0,2-可得P 的轨迹方程为()2221x y ++=，即cos sin 2x y θθ=⎧⎨=-⎩，∴()2cos ,sin 1θθOA +OB +OP =+-，()()2222cos sin 1θθOA +OB +OP =++-()22222cos cos sin 2sin 1423cos 423θθθθθϕ=+++-+=++≥-（6cos 3ϕ=，3sin 3ϕ=），∴31OA +OB +OP ≥-． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13.80 14.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.2n16.94【解析】令()11,x y A ，()22,x y B ，其中点()00D ,x y ，()F 1,0，由F 2F A =B 得，()12121212x x y y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，∴12122320x x y y +=⎧⎨+=⎩，故1220122032222x x x x y y y y +-⎧==⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减得()()()1212124y y y y x x -+=-，故1221212241y y y k x x y y x AB -===-+-，∴()()212241y y y x +=-，即()22241y x -=-，又2224y x -=-，∴()22414x x -=-，得212x =，∴203524x x -==，AB 中点到抛物线准线距离0914d x =+=． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.【解析】证明：（1）因为()21n n S n a =+， 当2n ≥时，112n n S na --=，两式相减，得()121n n n a n a na -=+-， 即()11n n n a na --=， 所以当2n ≥时，11n n a a n n -=-． 所以11n a a n =． 因为12a =，所以2n a n =． …………………6分 （2）因为2n a n =，()42n n n b a a =+，n *∈N ，因为101n >+，所以1111n -<+． 因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数，所以111n -+在*N 上是单调递增函数．所以当1n =时，n T 取最小值12．所以112n ≤T <．…………………12分18.【解析】（1）这3个人接受挑战分别记为A ，B ，C ，则A ，B ，C 分别表示这3个人不接受挑战．…………………1分这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，共有8种．…………………3分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，{},,C A B ，共有4种．…………………5分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==．…………………6分 （2）根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：()()()()()()2221004515251560407030n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯K ==++++⨯⨯⨯…………………8分251.7914=≈．…………………10分 因为1.79 2.706<．…………………11分所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．…………………12分 19.【解析】（1）在D ∆AO 中，D 60∠OA =，D OA =O ，∴D ∆AO 为正三角形，又E 为OA 的中点，∴D E ⊥AO ，两个半圆所在平面C A B 与平面D A B 互相垂直且其交线为AB ，∴D E ⊥平面C AB ．∴CD B ⊥E ．…………………6分（2）存在，G 为D B 的中点．证明如下：连接G O ，F O ，FG ，∴G D O ⊥B ，AB 为O 的直径，∴D D A ⊥B ，∴G//D O A ，G O ⊄平面CD A ，D A ⊂平面CD A ，∴G//O 平面CD A ．在C ∆AB 中，O ，F 分别为AB ，C B 的中点，∴F//C O A ，F O ⊄平面CD A ，∴F//O 平面CD A ，G F O O =O ，∴平面FG//O 平面CD A ，又FG ⊂平面FG O ，∴FG//平面CD A ．…………………12分 20.【解析】（1）因为点()F3,0在圆:M ()22316x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ．…………1分因为F 4F NM +N =>M ．…………………2分 所以点N 的轨迹E 是以()3,0M -，()F3,0为焦点的椭圆．…………………3分且24a =，3c =，所以1b =．…………………4分所以轨迹E 的方程为2214x y +=．…………………5分（2）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时C 1C 22S ∆AB =⨯O ⨯AB =．…………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22414x k A =+，222414k y k A =+，…………………7分 所以()222224114k x y k A A +OA =+=+．…………………8分由C C A =B 知，C ∆AB 为等腰三角形，O 为AB 的中点，C O ⊥AB ，所以直线C O 的方程为1y x k =-，由22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22C 244k x k =+，2C 244y k =+，()22241C 4k k +O =+．…………………9分 ()()()()()222C C 22224141412C 144144k k k S S kk k k∆AB ∆OA +++==OA ⨯O =⨯=++++．…………………10分由于()()()()()222221445114422k k k k k++++++≤=．所以C 85S ∆AB ≥， 当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时C ∆AB 面积的最小值是85．…………………11分 因为825>，所以C ∆AB 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-．……………12分 21.【解析】（1）由题知0x >，()ln 21f x x ax '=-+，则()()()21ln 1g x f x a x x x '=+-=-+，()1x g x x -'=，当01x <<时，()10x g x x -'=>，()g x 为增函数；当1x >时，()10xg x x-'=<，()g x 为减函数．所以当1x =时，()g x 有极大值()10g =，()g x 无极小值．…………………5分 （2）由题意，()ln 21f x x ax '=-+，（I ）当0a ≤时，()ln 210f x x ax '=-+>在1x >时恒成立，则()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f >=在()1,+∞上恒成立，与已知矛盾，故0a ≤不符合题意．…………………7分 （II ）当0a >时，令()()ln 21x f x x ax ϕ'==-+，则()12x a x ϕ'=-，且()10,1x ∈． ①当21a ≥，即12a ≥时，()120x a xϕ'=-<，于是()x ϕ在()1,x ∈+∞上单调递减， 所以()()1120x a ϕϕ<=-≤，即()0f x '<在()1,x ∈+∞上恒成立．则()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减，所以()()10f x f <=在()1,x ∈+∞上成立，符合题意．…………………9分②当021a <<，即102a <<时，112a>，()12122a x a x a x x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=， 若11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0x ϕ'>，()x ϕ在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0x ϕ'<，()x ϕ在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 又()1120a ϕ=->，所以()0x ϕ>在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()0f x '>在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()f x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()()10f x f >=在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以102a <<不符合题意． 综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………12分22.【解析】（1）在C ∆A B 中，C 90∠A B =，CD ⊥AB 于点D ，所以2CD D D =A ⋅B ，…………………2分因为CD 是圆O 的切线，由切割线定理得2CD C C =E⋅B ．…………………4分所以C C D D E⋅B =A ⋅B ．…………………5分（2）因为F ON ⊥N ，所以22F F N =O -ON ．…………………6分因为线段F O 的长为定值，即需求解线段ON 长度的最小值．…………………7分弦中点到圆心的距离最短，此时N 为BE 的中点，点F 与点B 或E 重合．…………………8分 因此max 1F 22N =BE =．…………………10分 23.【解析】（1）l 的普通方程为()31y x =-，1C 的普通方程为221x y +=， 联立方程组()22311y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点坐标为()1,0A ，13,22⎛⎫B ⎪ ⎪⎝⎭， 所以221310122⎛⎫⎛⎫AB =-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………5分 （2）曲线2C :1cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）．设所求的点为13cos ,sin 22θθ⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭， 则P 到直线l 的距离33cos sin 32232sin 24431d θθπθ--⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d 取得最小值()6214-．…………………10分 24.【解析】（1）因为()x m x x m x m -+≥--=．…………………2分 要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，解得22m -<<．…………………4分因为m *∈N ，所以1m =．…………………5分（2）因为α，1β>，所以()()21214f f αβαβ+=-+-=，则3αβ+=．…………………6分 所以()4114114145523333βαβααβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………………8分 （当且仅当4βααβ=，即2α=，1β=时等号成立）…………………9分 又因为α，1β>，所以413αβ+>恒成立． 故413αβ+>．…………………10分。

2016年湖南长沙长郡中学高三上学期人教A版数学文科第三次月考试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.2. 已知直线是曲线的一条切线，则的值为A. B. C. D.3. 设复数（为虚数单位），若，则的概率为A. B. C. D.4. 已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为A. B. C. D.5. 已知是边长为的正三角形的边上的动点，如图所示，则的值A. 最大为B. 为定值C. 最小为D. 与点的位置有关6. 已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为A. B. C. D.7. 已知椭圆的离心率为，则实数的值为A. B. 或 C. 或 D. 或8. 在数列中，为其前项和，，且，则A. B. C. D.9. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.10. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴是A. B. C. D.11. 过点作抛物线的切线，切点分别为，，若，则A. B. C. D. 或12. 已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知实数，满足不等式组且恒成立，则的取值范围是______．14. 有一个正方体玩具，六个面标注了数字，，，，，．甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为；再由乙抛掷一次，朝上数字为，若，就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为______．15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，若，，则的周长等于 ______．16. 已知双曲线的离心率为，，为双曲线的左、右顶点，为双曲线在第一象限上的任意一点．为坐标原点，若直线，，的斜率分别为，，，记，则的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．18. 在一个不透明的箱子里装有个完全相同的小球，球上分别标有编号，，，．若先随机取出一球，记该球编号为，将球放回箱中，然后再从箱中随机取出一球，将编号记为．（1）求直线与圆没有公共点的概率；（2）若关于的方程至少有一根，就称该方程为“优美方程”，求方程为“优美方程”的概率．19. 如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，为的中点，为边上的点．（1）求证：平面平面；（2）当时，求点到平面的距离．20. 若椭圆和椭圆满足，则称这两个椭圆相似，为其相似比．（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线分别与（）中的两个椭圆交于，两点（点在线段上），求的最大值和最小值．（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为的两个椭圆和交于，两点，为线段上的一点，若，，成等比数列，则点的轨迹方程为．“请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．21. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）令，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）若存在且，使成立，求实数的取值范围．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线上的点到直线的距离为，求的取值范围．23. 已知函数．（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C2. B3. D4. A5. B6. B7. D8. D9. A 10. C11. D 12. D第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）由，得，两式相减得．显然当时，，，即，满足条件，所以数列是以为公比为首项的等比数列，即．（2）由（Ⅰ）得，则．两式相减得，即．显然也适合此式，所以于是，．两式相减，得则18. （1）有放回地取球两次的基本事件共有个．设“直线与圆没有公共点”为事件．由，得，所以，包含的基本事件数为个，所以．（2）若方程的一根，则，即，无解，舍．若方程的一根，则，即．此时，包含个基本事件．若方程的一根，则，即．此时，包含个基本事件．若方程的一根为，则，即．此时，包含个基本事件．综上得“优美方程”包含的基本事件数为个，所以其概率．即方程为“优美方程”的概率为．19. （1）取的中点，连，．，分别为，的中点，所以且．又因为且，所以且．四边形为平行四边形，即平面即为平面．因为平面，所以．又因为，，所以平面，则，于是．又因为，为的中点，所以．因为，所以平面．而平面，所以平面平面．（2）因为，所以为的中点，则，所以．因为，所以，于是，．所以，．令点到平面的距离为，由，得，即，所以，即点到平面的距离为．20. （1）设所求的椭圆方程为，则解得所以所要求的椭圆方程为．（2）①当射线的斜率不存在时，；②当射线的斜率存在时，设射线的方程为，，．由得于是．由得于是．从而．令，则，所以．于是．令，则在上是增函数，所以，即．综合①②，得，即的最大值为，最小值为．（3）过原点的一条射线分别与相似比的两个椭圆和交于，两点，为线段上的一点，若，，成等比数列，则点的轨迹方程为．21. （1），令，得．当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．综上，单调递增区间，单调递减区间为．（2）．①当时，，则单调递减，不可能有两个零点，舍去．②当时，时，，则递减；时，，则递增．所以．由，得，即．注：本小题也可用分离参数法．（3）不妨设，则．不等式等价于，即．令，则在不单调递增．因为，若递增，则，即恒成立．令，则．令，得．22. （1）由消去参数，得．即直线的普通方程为．由，得，即，则，即．所以曲线的直角坐标方程为．（2）在曲线上任取一点，设点到直线的距离为 . 则．所以，，即．23. （1）不等式，即．当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，无解．综上所述，．（2），令所以时，，即．。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M=｛x|x2=x｝，N={x|lgx≤0}，则M∪N=()A．［0,1]B．（0,1]C．[0，1）D．（﹣∞,1］2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n,且﹣=3，则数列｛a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈(﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（) A．1 B．2 C．D．37．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(）A．若m⊥n，n∥α,则m⊥αB．若m∥β,β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α,则m⊥α9．数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（)A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0,+∞）C．(﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞)11．已知向量与的夹角为120°，且||=2,｜|=3，若=+，且⊥,则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊),分别编号为1,2，…,n，买家共有m名（m∈N*,m＜n），分别编号为1,2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．函数y=f(x）的图象在点M（1,f（1)）处的切线方程是y=3x﹣2,则f（1）+f′（1）=．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心,则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,则｜2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．(1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f(x）的图象经过点(1,3），（1）求实数a，b的值；(2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列{b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1)求数列{a n｝，｛b n}的通项公式（2)当d＞1时,记c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E,F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0)=﹣f（x0)成立,则称x0为函数f（x)的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点,求实数b的取值范围；（3)若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x)=xlnx．（l）求f（x)的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M=｛x｜x2=x｝，N={x｜lgx≤0},则M∪N=(）A．[0，1］B．(0，1]C．［0，1） D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}=｛0，1｝,N=｛x｜lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0，1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法,是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（) A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi（a,b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列｛a n｝前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n｝的公差为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3,化简可得2d﹣d=3,解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2｜,y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数．【解答】解：由题意,函数f（x）的定义域为(0，+∞）;由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞)内的零点即是方程｜x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=｜x﹣2｜,y2=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=(）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣)=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈(﹣π，π）,∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．7．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（) A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=(k﹣3,2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7(2k+2）=﹣2(k﹣3）．解得k=﹣．故选:A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α,则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β,n⊥α，则m⊥α,正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1)，则a6=()A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n,当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减,根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列，由a1=1,a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1(n≥2），两式相减得:a n+1﹣a n=3(S n﹣S n﹣1）=3a n,则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3，公比为4的等比数列,所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈(0,+∞）恒成立，则实数x的取值范围是()A．(﹣2，0) B．（﹣∞，﹣2)∪(0,+∞） C．（﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知,只需x2+2x小于的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a,b∈（0，+∞),，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0,解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°,且||=2,|｜=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0,用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解:∵=+,且⊥，∴•=（+)•（）===0．∵向量与的夹角为120°,且｜|=2，｜|=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一"期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊）,分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…,m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解:∵a ij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品,∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1)+f′(1）=4．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点,该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1)=3,且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1)+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f(a)与f′（a)．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•(），再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0,故=（）•（）=（）•（)=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义,两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,则由题意得O(1,1,2）,M(1，0，0）,B（2，2,0）,N（0，2，1），=（0，1，2）,=(1,2，0）,=（﹣1，2，1)，｜|==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===,设平面MNB的法向量=(x，y，z）,则，取x=2，得=(2，﹣1，4）,∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y﹣4｜+｜6﹣x﹣3y|的最大值是15．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0,6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为:15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．(1)求角A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0,得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值,求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②,联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1，整理得:2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣)=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去）,则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），(1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点(1，3），建立方程求解．（2)由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解:（1）∵函数是奇函数,则f（﹣x）=﹣f(x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3）,∴f(1)=3,∴，∵b=0，∴a=2(2）由(1)知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时,，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x)的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列｛a n}，｛b n｝的通项公式（2）当d＞1时，记c n=,求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由(1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：(1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时,a n=2n﹣1，b n=2n﹣1;当时，a n=(2n+79），b n=9•；(2）当d＞1时，由（1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1，∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1)•，∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．(Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可,连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内,满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】(Ⅰ）证明：如图,连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ)解:连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中,sin∠EPD=,∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x）,若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x）的局部对称点．（1)若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2)若函数f（x)=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．(2)根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1,2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2(m2﹣3)=0…（*）在R上有解,再利用换元法,设t=2x+2﹣x,方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f(x）=ax2+x﹣a得f(﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x) 得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0),其中△=4a2,由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x)=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间［﹣1，2］内有局部对称点,∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间［﹣1，2］上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+,其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f(﹣x）=﹣f（x）,∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2（m2﹣3）=0…(＊)在R上有解,令t=2x+2﹣x（t≥2）,则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（＊）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解,需满足条件：即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x)=xlnx．(l）求f（x）的单调区间和极值；（2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx,∴f’（x)=lnx+1,∴f’（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增,f’(x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x)在处取得极小值,极小值为．（2)∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0,∴,令,令h’（x）=0,解得x=1或x=﹣3(舍）当x∈（0，1）时,h'（x）＜0,函数h(x）在(0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h’(x）＞0,函数h(x）在（1，+∞)上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4,即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。