湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题

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长郡中学2021届高三月考试卷（一）数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ） A. {}2x x ≥-∣ B. {}12x x <<∣ C. {}12x x <≤∣ D. {}2xx ≥∣ C根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B x y x ==-∣，再利用交集的运算求解即可. 由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}22A xx =-≤≤∣， 所以{}12A B xx =<≤∣，故选：C. 本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D化简复数z ，进而可得出复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.()()()25342534343434i z i i i i +===+--+，则34z i =-， 复数z 在复平面内对应的点是()3,4-，在第四象限，故选：D.本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础题.3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是 A. 222a b c << B. 22ab cb <C. ac bc <D. ab ac <C∵0a b c ++=且a b c <<，∴0,0a c <>． ∴ac bc <． 选C ．4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.1536AC AB - B. 1536AC AB -+C. 1136AC AB -+D. 1136AC AB --A根据2BD DC =，AE ED =，结合平面向量的加法和减法运算，利用平面向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：因为AE ED =，2BD DC =， 所以()12BE BA BD =+， ()1223BA AC AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 1536AC AB =-，故选：A 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由函数基本初等函数的单调判断函数()f x 的单调性，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(4)0f >，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则11022f m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，(4)60f m =->，解得162m -<<，故“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.故选：B.本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.6. 已知实数a ，b ，c 满足1lg 10b a c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>D设1lg 10ba t c ===，分别表示出,,a b c ，构造函数，利用函数图象比较大小. 设1lg 10ba t c ===，0t >，则10t a =，lgb t =，1c t=，在同一坐标系中分别画出函数10x y =，lg y x =，1y x=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选:D. 本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 7. 已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）A. -5B. -3C. 2-D. -1A由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-可求出tan α值，再将()f x 化为关于cos x 的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值. 由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，有3tan 172tan 3αα+=-，解得tan 2α=，故222()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---， 故当|cos |0x =时，()f x 取最小值5-.故选：A.本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫⎪⎝⎭B. 9221,4ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9221,10ln +⎛⎤⎥⎝⎦D. 9221,10ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C判断()f x 的单调性得出()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k 的范围．解：()'21f x x lnx =--，1()2f x x''=-，∴当12x时，()0f x ''， ()f x ∴'在1[2，)+∞上单调递增，11()()2022f x f ln ∴''=->，()f x ∴在1[2，)+∞上单调递增，[a ，1][2b ⊆，)+∞，()f x ∴在[a ，]b 上单调递增，()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩， ∴方程()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解a ，b ．作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象，则两图象有两交点．若直线(2)y k x =+过点1(2，912)42ln +， 则92210ln k +=， 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为0(x ，0)y ，则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =． 922110ln k+∴<，故选：C ． 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分. 9. （多选题）下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误，然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确，再然后可通过取12x =判断出C 错误，最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项：当(0,)x ∈+∞时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即23x x<恒成立，A 错误；B 项：当(0,1)x ∈时，2log 0x <且3log 0x <，因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>，所以23log log x x <恒成立，B 正确；C 项：当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 1x =，此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；D 项：由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确，故选：BD.关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 当1p =时，4158S =C. 当12p =时，m n m n a a a +⋅=D. 3856a a a a +=+ABC由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=， 又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()1f x x B. 4()f x x = C. 1()2f x x =+ D. ()ln(21)f x x =-ACD由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称，逐项判断即可得解. 由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称， 对于A ，函数()1f x x 的值域为R ，关于原点对称，符合题意；对于B ，函数4y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞， 关于原点对称，符合题意； 对于D ，函数()()ln 21f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意；故选：ACD . 本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）部分图象，下列结论正确的是（ ）A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π ABD根据函数图象求出()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.4π 先利用垂直关系得到2a b ⋅=，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 因为向量2a =，2b =，()a b a -⊥，故2()0a b a a a b -⋅=-⋅=，即22a b a ⋅==.设向量a 与b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，[]cos 0,22a b a b θθπ⋅===∈⋅，故4πθ=.故答案为：4π.14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.94根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．解：424log (4)log log (4)a b ab +==，44a b ab ∴+=，4040a b ab +>⎧⎨>⎩得00a b >⎧⎨>⎩，得414a bab+=， 即1114b a+=， 则111559()()1214444444a b a a b a b b a b ab a +=++=++++=+=， 当且仅当4a bb a=，即2a b =时取等号， 即+a b 的最小值为94，故答案为：94.本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合1的代换是解决本题的关键．15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .162162π+-由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45︒，设等腰三角形的腰长为a ，利用正弦定理可求出a 的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形， 顶角为360458︒=︒， 设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin2a =︒︒， 解得13582sin 2a ︒=，所以三角形的面积211351cos13582sin sin 4532216(21)222S ︒-︒⎛⎫=︒=⋅=+ ⎪⎝⎭， 则每块八卦田的面积为()22116(21)216216m 82ππ+-⨯⨯=+-.故答案为：162162π-.本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16. 已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.1176先写出前几项与1a 的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解{}n a 前48项之和即可.由1(1)21nn n a a n ++-=-，则211a a =+，32132a a a =-=-， 431 57a a a =+=-，5417a a a =-=，65199a a a =+=+，761112a a a =-=-， 8711315a a a =+=-，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因()()()1357451721224a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=⨯=，()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+， 而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+，()()()484811117159561212a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=. 故答案为：1176.本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A =（1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764. （1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩， 则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==，∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 18. 已知()x x mf x e e-=+是偶函数. （1）求实数m 的值；（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）记{}()ln (3)()1ln 32xg x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围.（1）1m =；（2）{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）[]1,3.（1）利用偶函数的定义求解；（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）先写出函数()g ln (3)1ln32xx a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，然后将()0g x ≤转化为ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即23(3)10x x ae a e +--≥恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.（1）因为()x x mf x e e=+是偶函数，则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立， 即xxx xm m e e e e --+=+， 1(1)0x x m e e ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意实数x 恒成立，则1m =；（2）()1xxf x e e =+，1()xx f x e e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上是增函数， 又因为()f x 是偶函数，∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210x x --≥，解得1≥x 或13x ≤-；故不等式的解集为{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）()ln (3)1ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)1ln32xa e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)10x a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即130xa e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩，因为[0,)x ∈+∞，则1334xe <+≤，所以03a <≤， 其次，ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为ln32(3)1x a xa e e+-+≤， 即23(3)10x x ae a e +--≥成立，亦即()()3110x xe ae +-≥成立，因为310x e +>，所以10x ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围为[]1,3.本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为112n S b ⋅=，()*122n n n S S b n N +=+∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . （1）31n a n =-；12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）711623(32)n n ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得3d =，即可求得数列{}n a 的通项公式，再由122n n n S S b +=+，化简得到112n n b b +=，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）可得1111233132nn c n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得n T 即可.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列， ∴2(1)2(22)d d +=+， 即2(1)4(1)d d +=+， 由已知0d >， ∴14d +=， ∴3d =，∴31n a n =-； 由122n n n S S b +=+得：11222n n n n S S b b ++-==， ∴()112g n n b n N b +=∈ 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）111111112(31)(32)233132n nn n n n c b a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21111111111222325583132nn T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112211171113232623(32)12nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为2π. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. （1）单调递减区间为,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（2）[-.（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的递减区间；（2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域.（1）())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈， 因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，函数为()2sin 2f x x =， ,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，∴24x ππ-≤≤-，所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；（2）由题意可得：()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴24333x πππ-≤-≤，∴1sin 43x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()[g x ∈-，即函数()g x 值域为[-.本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6. （1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解. （2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p+=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．22. 已知点,1x e P x ⎛⎫⎪⎝⎭，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. （1）函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）[2,)-+∞.（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得()2sin x f x e x x =-+，求导后可得()0f x '<，即可得解；（2）当0x =时，易得()1f x ≥恒成立；当0x >时，求导得()cos x f x e m x '=++，设()cos x g x e m x =++，求导可得()2g x m >+，按照2m ≥-、2m <-分类，结合函数()f x 的单调性、(0)1f =即可得解.（1）由已知(),1(,sin )sin x xe f x OP OQ x mx x e mx x x ⎛⎫=⋅=⋅+=++ ⎪⎝⎭，当2m =-时，()2sin x f x e x x =-+，()2cos x f x e x '=-+， 当0x <时，1x e <，又cos 1≤x ，则()2cos 0x f x e x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）①当0x =时，()11f x =≥，对于m R ∈，()1f x ≥恒成立； ②当0x >时，()cos x f x e m x '=++， 设()cos x g x e m x =++，则()sin x g x e x '=-， 因为e 1x >，sin 1x ≤，所以()sin 0x g x e x '=->，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)2g m =+，所以()2g x m >+，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增，且()2f x m '>+， （ⅰ）当2m ≥-时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(0)1f =，所以()1f x >恒成立，符合题意； （ⅱ）当2m <-时，(0)20f m '=+<， 因为()'f x 在(0,)+∞上单调递增，又当ln(2)x m =-时，ln(2)()cos 2cos 0m f x e m x x -'=++=+>， 则存在0(0,)x ∈+∞，对于()00,x x ∈，()0f x '<恒成立， 故()f x 在()00,x 上单调递减，所以，当()00,x x ∈时，()(0)1f x f <=，不合题意. 综上，所求m 的取值范围为[2,)-+∞.本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.。

炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1. 设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B =，则实数a 的可能取值组成的集合是（ ）A. {}1,2,3B. {}2,3,4C. {}1,3,4D. {}1,2,42. 已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A. 3B. 5C. 6D. 83. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos2=α（ ）A.1625B. 1625-C.725D. 725-4. 在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（ ） A.12B. 2C. 3D. 45. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6. 若平面向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，则对于任意实数λ，()1a b λλ+-的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 17. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（ ）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A. 10米B. 9.66米C. 9.40米D. 8.66米8. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表：()20P K k ≥ 0.050 0.0100k3.841 6.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 4010. 已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A. b c a a >B.c c ab b a+>+ C. log log b c a a <D.b cb ac a>++ 11. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的最大值为2C. 14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数12. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线3y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.16. 设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17. 在①1c =，ABC的面积为34，②2b c =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=， ________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和nT . 19. 在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知F 为椭圆C的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 21. 设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学参考答案三、填空题13. ()2,+∞ 14. ()*n a n n =∈N15.3716.()0,1四、解答题17. 【解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B +=22sin B B =，又sin 0B ≠所以sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形， 所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为11sin 22ABCS ac B a ===所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且等边三角形，所以3C π=，所以sin C =选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin sin c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：51sin sin sin sin cos cos sin 1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 18.【解】(1)由211n n n a S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1 所以()11n a a n d n =+-= (2)()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦. 19.【解】（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --7. 20. 【解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-= 设()11,A x y ，()22,B x y则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+ 不妨设10y >，20y <，11AF y y ====，同理22BF y y ==所以121111AF BF y y ⎫+=+=-⎪⎭211212y y y y -==24334m ==+ 即1143AF BF +=. 21.【解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x-≥ 又)x ∈+∞ 所以1ln 02x ≥> 所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge ==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞ (2)因为()()22ln f x x a x a x =---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==> 若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点 所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 得()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点 则244ln02a a a a -+-< 又0a > 所以4ln 402a a +-> 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数 且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=-> 所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为322.【解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球 则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：02311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 204191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 利用等比数列求和公式即可得：102111141014191191419459410551010510555105159n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅ (2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈= X 对应的数学期望为： ()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈。

理科数学试题!长郡版"第!< 页!共"页"
!二"选考题#共!$分!请考生在##%#)题中任选一题作答&如果多做&则按所 做的第一题计分!
##!!本小题满分!$分"选修*(*#坐标系与参数方程 在平面直角 坐 标 系 #-& 中&曲 线 +! 的 参 数 方 程 为23#'#0槡#)=!=为 参 4&'!0! #= 数"!以坐标原点为极点&# 轴正半轴为极轴建立极坐标系&曲线+# 的极 坐标方程为'*647! !!"求曲线+! 的普通方程和+# 的直角坐标方程!#"已知点"!#&!"&曲线+! 与+# 的交点为.%1&求 ". 0 "1 的值!
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湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期月考试题(一）本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中,只有一項是符合题目要求的1。

已知集合{}{}22,lg(1)A x x B x y x =-≤≤==-。

则AB =A {}2x x ≥-B {}12x x <<C {}12x x <≤ D. {}2x x ≥2已复数z 满足(34)25z i -=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A 第一象限B 。

第二象限C 第三象限 D.第四象限3.已知实数a ,b ,c 满足a <b <c ，且a +b +c =0,则下列不等式中正确的是 A222a b c << B.22ab cb < C. ac 〈 bcD 。

ab 〈ac4。

在△ABC 中， 2,BD DC AE ED ==,则BE =A 1536AC AB - B 1536AC AB -+ C 。

1136AC AB -+ D 。

1136AC AB - 5.设函数2()log xf x x m=+-，则“函数()f x 在1(,4)2上存在零点”是(1,6)m ∈的A.充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D.既不充分也不必要条件6。

已知实数a ,b ，c 满足1lg 10ba c==，则下列关系式中不可能成立的是A a 〉b 〉cB 。

a 〉c 〉bC 。

c 〉a >bD 。

c >b > a7.已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-则函数2()=sin2tan cos 6f x x x α+-的最小值为A. —5 B 。

—3 C 。

D.—18.设函数2()=ln 2f x xx x -+,若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++,则是k 的取值范围是A 。

A． B． C． D．
7．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1B． C． D．
8．已知函数 ， 有三个不同的零点 ，且 ，则 的值为（）
A． B． C． D．不能确定
9．若a≠b，数列a，x1，x2，b和数列a，y1，y2，y3，b都是等差数列，则 ＝（）
A． B． C．1D．
A． B．
C． D．
12．已知 是球 的直径， 是球 球面上的两点，且 ，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线 是曲线 的一条切线，则 ______．
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7a1，则{an}的公比q的值为_____．
15．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．
选取甲、乙两位小Байду номын сангаас友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．
游戏进行：
一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．

长郡中学2021年高三月考试卷（一）化学得分:本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量90分钟，满分100分可能用到的相对原子质量:H~1 C~12 N~14O~16 Mg~24 Al~27一、选择题（本题有22个小题，每小题2分，共44分。

每小题只有一个选项符合題意）★1.有些科学家提出硅“21纪的能源”，这主要是由于作为半导体材料的硅在太阳能发电过程中具有重要的作用。

下列关于硅及其化合物的如说法正确的是（）Ａ．光导纤维的主要成分是SiO2Ｂ．水泥、玻璃、水晶饰物都是硅酸盐制品Ｃ．白然界中硅元素的储量丰富，并存在大量的单质硅Ｄ．高温下，可在普通玻璃试管内完成焦炭和石英砂（SiO2）制取硅的反应2.下列化学用语表示正确的是（）Ａ．S2-的结构示意图：Ｂ．乙酸的结构简式：C2H4O2Ｃ．中子数为20的氯原子：Ｄ．二氧化碳分子的比例模型：★3.下列有关物质的性质与其应用不对应的是（）Ａ．MgO、Al2O3的熔点高，可制作时高温材料Ｂ．Al具有良好的延展性和抗腐蚀性，可制成铝箔包装物品Ｃ． NaHCO3能与碱反应，在食品工业中用作焙制糕点的膨松剂Ｄ．利用钠蒸气放电发光的性质制造的高压钠灯，可发出射程远、透雾能力强的黄光4.N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是（）Ａ．常温下，0.1molCl2与足量的水反应，转移的电子数为0.1N AＢ．将100mL0.1mol/ L FeCl3溶液滴入沸水中可制得Fe（OH）3胶粒0.01N A Ｃ．1 mol MnO2粉末与足量的浓盐酸共热，转移的电了数目小于2N A Ｄ．乙烯和环丙烷组成的28g混合气体中，氢原子的个数为N A★5.如果家中的食用花生油中不小心混人了大量的水，最简便的分离方法是（）6.下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）①1010)()(=-+OHcHc的溶液中:K+、AlO2-、C1-、Na+②Fe与稀硫酸反应后的溶液中:NH4+、Cl-、Na+、[Fe（CN）6]3-③无色溶液中:K+、Na+、Br-、Cu2+④常温时，水电离出的c（H+）=10-10mol/L的溶液中:Al3+、C1-、SO42-、 CH3COO-⑤某澄清透明的溶液中：Fe3+、NO3-、K+、SO42-Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．④⑤ Ｄ．⑤★7.下列氧化还原反应方程式中，所标电子转移方向或数目错误的是（）8.的同分异构体中，满足下列条件的共有（不考虑立体异构）（）①苯环上只有两个取代基②能发生银镜反应③遇FeCl3溶液发生显色反应Ａ．3 Ｂ．6种Ｃ．9种Ｄ．12种9.利用如图所示装置进行下列实验，能得到相应实验结论的是（）选项①②③实验结论A食盐水电石溴水乙炔可与溴单质发生加成反应B浓硫酸Cu酸性KMnO4溶液验证SO2的还原性C浓硝酸Fe NaOH溶液铁和浓硝酸反应可生成NO2 D浓氨水生石灰酚酞溶液氨气的水溶液呈碱性★10.某有机物的结构如图所示，下列关于该有机物的说法正确的是（）Ａ．与乙苯互为同系物Ｂ．分子中共直线的原子最多有4个Ｃ．甲苯互为同分异构体Ｄ．分子中共平面的碳原子最多有13个11.下列能正确表示相应反应的离子方程式是（）A.用酸性KMnO4溶液与H2O2反应，证明H2O2具有还原性：2MnO 4—+6H ++5H 2O 2=2Mn 2++5O 2↑+8H 2OＢ．向NH 4Al （SO 4）2溶液中滴加Ba （OH ）2溶液至SO 42-恰好沉淀完全； Al 3++2SO 42-+2Ba 2++4OH -=2BaSO 4↓+AlO 2-+2H 2OＣ．用铁做电极电解NaCl 溶液；--+↑+↑=+2OH Cl H 电解O 2H 2Cl 222 Ｄ．将Fe 2O 3加入HI 溶液中：Fe 2O 3+6H +=2Fe 3++3H 2O12.体积为1L 的某溶液屮含有以下离子（忽略水的电离及离子的水解）：用惰性电极电解该溶液，当电路中有6mole —通过时（忽略电解时溶液体积的变化及电极产物可能存在的溶解现象），下列说法正确的是（ ）Ａ．b=2 Ｂ．阴极析出的金属是铜与铝Ｃ．阳极生成了22.4LCl 2 Ｄ．电解后溶液中的c （H +）=2mol/L13.在一定温度下的定容密闭容器中发生反应NH 2 COONH 4（s ）⇌2NH 3（g ）+CO 2（g ），下列能说明该反应已达到平衡状态的是（） Ａ．NH 3在混合气体中的体积分数不变 Ｂ．混合气体的压强不变Ｃ．.混合气体的平均相对分子质量不变 Ｄ．各生成物的浓度之比等于化学计量数之比14.已知工业合成氨的反应为N 2（g ）+3H 2（g ）⇌2NH 3（g ）△H<0。

炎德英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230x x P x --≥=，{}|14Q x x =<<，则P Q =（ ）A.()1,3-B.[)3,4C.()[),34,-∞-+∞D.()(),13,-∞-+∞2.设复数z 满足4z i z i -++=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ） A.22143x y -= B.22143x y += C.22143y x -= D.22143y x += ★3.若01x y <<<，01a <<，则下列不等式正确的是（ ） A.log log 23a a x y <B.cos cos ax ay <C.x y a a <D.a a x y < 4.A4纸是生活中最常用的纸规格.A 系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2、…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同.②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推.这是因为A 这一特殊比例，所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米，118.984.1 1.41÷≈≈A4纸的长度为（ ） A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米★5.函数()sin 2f x x x x =-的大致图像是（ ）A. B.C. D.6.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1~15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ） A.1910 B.3910 C.3455 D.4455★7.已知向量,a b 满足2a =，2b =，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ） A.1 B.-1D. 8.已知函数()7sin ,0,63f x x m x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ）A.103πB.4πC.113πD.不能确定9.若数列12,,,a x x b 与123,,,,a y y y b 均为等差数列（其中a b ≠），则2121x x y y -=-（ ） A.23 B.43 C.32 D.34 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若126F F OM =，则2OMF △与12AF F △的面积之比为（ ）A.481B.427C.25144D.51811.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A.1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.13ln 2ln 6,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.13ln 2ln 6,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.已知SC 是球O 的直径，A 、B 是球O 球面上的两点，且1CA CB ==，AB =S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为（ ）A.52πB.16πC.13πD.4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线()0y kx k =≠是曲线()322f x x x =-的一条切线，则k =__________________. 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为__________.15.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为______________.16.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，若1PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为__________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说眀、证明过程演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分★17.（本小题满分12分）如图，D 是直角ABC △斜边BC 上一点，AC =.（1）若60BAD ∠=︒，求ADC ∠的大小；（2）若2BD DC =，且AB =AD 的长.。

10．已知数列 前 项和为 .且 ， （ 为非零常数）测下列结论中正确的是（）
A．数列 为等比数列B． 时，
C．当 时， D．
答案：AC
解：由 和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．
解：
由 ，得 .
时， ，相减可得 ，
又 ，数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确；
因 ，
，
而 ，
，
所以数列 前48项之和为 .
故答案为：1176.
点评：
本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.
四、解答题
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题
① ；② 的面积为 ；③ .
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .在已知 ， 为钝角， .
（1）求边 的长；
解：
由已知， ， ，因此 ，
∴ ，
所以 ，过点 ，
因此 ， ，又 ，
所以 ，∴ ，
对A， 图象关于原点对称，故A正确；
对B，当 时， ，故B正确；
对C，由 ，有 ， 故C不正确；
对D，当 时， ，所以 与函数 有4个交点令横坐标为 ， ， ， ， ，故D正确.
故选：ABD.
点评：
本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.
解：
由 ，有 ，解得 ，
故 ，
故当 时， 取最小值 .
故选：A.
点评：
本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.
8．设函数 ，若存在区间 ，使 在 ， 上的值域为 ， ，则 的取值范围是

炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A .{}1,3,5,6B. {}1,5C. {}2,5D. {}1,33.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A4纸的长度为（）A.14.8厘米 B. 21.0厘米 C. 29.7厘米 D. 42.0厘米7.函数()sin2f x x x x=-的大致图象是（）A. B. C. D. 8.若非零向量,a b r r满足||||,(2)0a b a b b=+⋅=r r r r r，则,a b r r的夹角为（）．A. 6π B. 3π C. 56π D. 23π9.已知数列{}n a的前n项和为n S，若13,a=()11322n n n S S n---=≥g，则5S=（）A. 324B. 93C. 144D. 4510.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A.π14- B.π12C.π4D.π112-11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. B.C. D. 712.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 15.4cos50tan40-=o o ______．16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.P （20K k ≥）0.100.050.025 0.01 0.0050k2.7063.8415.0246.6357.87918.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求ab的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程． 21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合； （2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()ne n Z +∞∈有零点，求n 的最大值 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(42,)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=.(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值. 23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算11ii+-，再由虚数单位i 的性质求解． 【详解】Q21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， ∴20192019450431()()?1i i i i i i+===--．故答案为D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A. {}1,3,5,6 B. {}1,5 C. {}2,5 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补的混合运算即可求解. 【详解】{}{}071,2,3,4,5,6U x x =∈<<=N ，则{}1,3,4,6U A =ð， 则(){}1,3U A B =I ð.故选：D .【点睛】本题考查了集合的交、并、补混合运算，需掌握交、并、补的概念，属于基础题. 3.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】66log 7log 61>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；60.76log 60.77log ∴<<．故选A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题. 4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A .2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交， 若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误： 若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误： 若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误； 不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A 0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A 4纸的长度为（ ） A. 14.8厘米 B. 21.0厘米C. 29.7厘米D. 42.0厘米【答案】C 【解析】 【分析】根据对折规律可得A 4纸的长度.【详解】由题意，A 0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，则A 1纸的长为2，A 2纸的长为222(2)=， A 3纸的长为23(2)2(2)=A 4纸的长为34(2)2(2)=（厘米）． 故选C【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键. 7.函数()sin 2f x x x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,再求()0fπ>，进行排除，可得选项．【详解】由题意得()()sin 2sin2()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，排除C 、D 选项；当πx =时，()2πππ2ππ0f sin =-=>，因此排除B ，故选A ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．8.若非零向量,a b r r 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=r r rr r ，则,a b r r 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=r r r r r r r ，，所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=r r r r .故选D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13,a =()11322n n n S S n ---=≥g，则5S =（ ） A. 324B. 93C. 144D. 45【答案】B 【解析】 【分析】先由()113?22n n n S S n ---=≥求出n a ，结合等比数列的前n 项和公式，可求出结果．【详解】因为()113?22n n n S S n ---=≥，所以()13?22n n a n -=≥，又13a =满足13?2n n a -=，因此数列{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列. 所以()553129312S -==-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的概念以及求和公式，熟记概念和求和公式即可，属于基础题型.10.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A. π14-B.π12C.π4D. π112-【答案】A 【解析】【详解】由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π. 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π 4. 故选A .11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. 52B.462C.D. 7【答案】C【解析】【分析】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-， MQ ==[]0 ,?1,1y ∈- ∴当0y =-23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】 利用()()110f x f x ++-=可得函数周期为4，进而可得()()20191f f =，令0x =得()10f =，即可求解.【详解】由()()110f x f x ++-=，得()()11f x f x +=--.所以()()()211f x f x f x +=---=--，又()()f x f x -=. 所以()()()()24f x f x f x f x +=-⇒+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数.所以()()()()()()20194504333411f f f f f f =⨯+==-=-=，在()()110f x f x ++-=中令0x =得()10f =.故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性与周期性求函数值，同时考查了求抽象函数的函数值，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】利用443a S S =-求解.【详解】由题得4431697a S S =-=-=.故答案为7【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 【答案】4π 【解析】【分析】求出函数的导函数()1cos 2f x x '=-，进而求出213f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意，函数()1sin 2=-f x x x ，则()1cos 2f x x '=-. 所以21211cos 132322f ππ⎛⎫'=-=+= ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为4π.故答案为：4π 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系，解题的关键是基本初等函数的导数，属于基础题.15.4cos50tan40-=o o ______．【解析】 【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40--=o o oo oo 2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=o o o o oo, 1sin102cos 40⎫-⎪⎝⎭=o o o==考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】由题意分析当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，从而可得以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，长方体的对角线即为外接球直径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，此时以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，3=，设球的半径为R ，则23R =，球的表面积为()229R ππ=.故答案为：9π【点睛】本题考查了多面题的外接球问题以及球的表面积公式，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）有；（2）37【解析】分析】（1）根据列联表计算出2K ，结合附表即可求解.（2）根据分层抽样可得选取的8人中，男生有6人，女生有2人，再利用组合式以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收着开幕式与性别有关.（2）根据分层抽样方法得， 男生3864⨯=人，女生1824⨯=人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人， 再从这8人中，选取2人的所有情况共有2887282C ⨯==种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有11626212C C ⋅=⨯=种， 所以，所求概率123287P ==. 【点睛】本题考查了独立性检验、分层抽样、组合数以及古典概型的概率计算公式，属于基础题. 18.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求a b的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.【答案】（1）2；（2）8 【解析】【分析】（1）对22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=两边同除以2sin B ，即可求得sin 2sin A B =，结合正弦定理即可得解．（2）由余弦定理及2a b =可得c =，再利用余弦定理即可求得cos 8B =，问题得解． 【详解】（1）因为22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，sin 0B ≠， 所以2sin sin 60sin sin A A B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 2sin A B =或sin 3sin A B =-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a A b B ==. （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-== ① 将2a b=，即2a b =代入①，得22253b c b -=，得2c b =， 由余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-=，即：22252cos 222B b b==⨯⨯， 则()214sin 1cos 8B B =-=. 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题． 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】【分析】（1）先连接BD 交AC 于O 点，再根据线面平行的判定定理，即可证明出结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面PAD ，得到CD PD ⊥，再由勾股定理得到AE CE ⊥，设点D 到平面AEC 的距离为h ，根据111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，即可求出结果. 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，90ABC ADC ∠=∠=o ，AC AC =，所以Rt ABC Rt ADC ≅V V ，AB AD =.又AO 为BAD ∠的平分线，所以AO BD ⊥，且O 为BD 中点.又因为E 为PD 的中点，所以OE PB P .因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB P 平面AEC .（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，所以2AD =，CD 23=由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥.在Rt PAD △中，2PA =，2AD =， 所以22PD =2AE ED ==在Rt CDE △中可得14EC =222AC AE EC =+，所以AE CE ⊥. 所以121472AEC S ∆==1223232ACD S ∆=⨯⨯=. 设点D 到平面AEC 的距离为h ， 则111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅， 解得232217h ==【点睛】本题主要考查线面平行的证明，以及点到面的距离，熟记线面平行，线面垂直的判定定理以及性质，即可求解，属于常考题型.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】【分析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y ，即可求得1121,2x x y y =-=，将它们代入24y x =即可得解．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍可得：直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍，即可整理得：122y y =-，设直线AB 的方程为：()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程可得：124y y k+=，124y y ⋅=-，结合122y y =-即可求得：k =± 【详解】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F 由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =， 将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =-整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =-（2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=. 所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±所以直线AB 的方程为：)221y x =±-【点睛】本题主要考查了利用相关动点法求点的轨迹方程，还考查了转化思想及韦达定理，考查方程思想及计算能力，属于中档题．21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合；（2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()n e n Z +∞∈有零点，求n 的最大值【答案】（1）12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；（2）最大值为2- 【解析】【分析】 （1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.（2）当38a =时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()10,,'220f x ax x +∞=+-≥在()0,∞+上恒成立，即 2112a x x ≥-即12a ≥∴实数a 的取值集合是12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （2）38a =时，()()()322'4x x f x x--=，即()f x 在区间20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)2,+∞单调增，()f x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减.()f x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为()2f 且()231ln 412242ln 2ln 20822f -=⨯-++=-=> ()f x ∴在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点. ∴要想函数()f x 在)(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上有零点，并考虑到()f x 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，只须23n e <且()0n f e ≤，易检验()1213108f e e e ---=••+> ()22423122ln 8f e e e e--=•-+2213108e e ⎛⎫=•-< ⎪⎝⎭ 当2n ≤-时，且n Z ∈时均有()0n f e <，即函数()f x 在上有)()1,,n n e e e n Z -⎡⎤⎡⊂+∞∈⎣⎦⎣上有零点. n ∴的最大值为2-【点睛】本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】(1)100x y --=，221(0)124x y y +=>；(2)【解析】【分析】(1) 已知直线l 的极坐标方程，运用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出直角坐标方程.将曲线C 的参数方程进行消去参数α，即可得出曲线C 的普通方程.(2) 利用曲线C 的参数方程表示出Q 点坐标，再写出点P 的直角坐标，便得出中点M 坐标，利用点到直线的距离公式求出点到M 直线l 的距离的最大值.【详解】(1)∵直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C的参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. (2)设,2sin )Q αα(0)απ<<.点P的极坐标)4π化为直角坐标为(4,4).则2,sin 2)M αα++.∴点M到直线的距离d==≤. 当sin()13πα-=，即56πα=时，等号成立. ∴点M到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++， 由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

2020-2021学年湖南省长郡十五校高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x ∈N|x ≤11}，集合A ={0,4，6，8，9，10}，B ={x|3<x <15}，则(∁U A)∩B 中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 若复数z 满足：z(1+2i)=5，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF −C 智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强I(单位：W/m 2)表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I 的函数关系式为L =10lg(aI)，已知I =1013W/m 2时，L =10dB.若要将某列车的声强级降低30dB ，则该列车的声强应变为原声强的( )A. 10−5倍B. 10−4倍C. 10−3倍D. 10−2倍5. 在平面四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为( ) A. 13B. 25C. √36 D. √336. 若多项式x 2+x 10=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10，则a 3=( )A. 56B. −120C. −56D. 1207. 新型冠状病毒肺炎(COVID −19)疫情暴发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测.若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p(0<p <1).该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)最大，此时p0=()A. √155B. √55C. 1−√55D. 1−√1558.已知A(2,2)，B，C是拋物线y2=2px上的三点，如果直线AB，AC被圆(x−2)2+y2=3截得的两段弦长都等于2√2，则直线BC的方程为()A. x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0C. 2x+6y+3=0D. x+3y+2=0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是()A. 2022年我国5G用户规模年增长率最高B. 2025年我国5G用户数规模最大C. 从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D. 这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A. f(x)的解析式可以表示为f(x)=2cos(2x−π6)B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称C. 该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象D. 函数y=f(x)在[−2π3,−π6]单调递减11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为a n，则下列论述正确的有()(参考数据：1.211=7.5，1.212= 9)A. a1=12000B. a n+1=1.2a n−1000C. 2020年小王的年利润为40000元D. 两年后，小王手中现款达41万12.函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则()A. 函数g(x)=f(x)cosx为奇函数B. 函数ℎ(x)=x[f(x)−f(2)]有且只有3个零点C. 不等式x[f(x)−f(2)]≤0的解集为(−∞,−2]∪[0,2]D. f(x)的解析式可能为f(x)=e x+e−x−x2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.4名同学到A、B、C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共______ 有种不同的安排方案．14.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f(x)=______ ．15.已知点A(−√5,0),B(√5,0)，C(−1,0)，D(1,0)，P(x,y)，如果直线PA，PB的斜率之积为−45，记∠PCD=α，∠PDC=β，则sinα+sinβsin(α+β)=______ ．16.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，AC=√2，三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为______；若点M，N分别是△ABC与△PAC的重心，直线MN与球O表面相交于D，E两点，则线段DE 长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)．(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=4，求△ABC面积的取值范围．18.已知正项数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a n与a n+1的等比中项是√2S n．(1)证明：{a n+2−a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}满足：b n=1a n+1a n+2，其前n项和为T n，求使得T n<n2n的n的取值范围．19.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： (1)根据频率分布直方图，求样本平均数x −(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x −作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973． (3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X ，求X 的分布列以及期望值．20. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE为直角梯形，CD//AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)证明：GF//平面ABC ；(2)当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A −BE −D 的余弦值．21.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，点A为C上位于第二象限的动点，(1)若点A的坐标为(−2,3)，求双曲线C的方程；(2)设B，F分别为双曲线C的右顶点、左焦点，是否存在常数λ，使得∠AFB=λ∠ABF.如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22.已知曲线f(x)=e mx−2(a+1)x+32(a∈R)在x=0处的切线斜率为−2a−1．(1)确定m的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x2+2(a+1)2，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}，A={0,4，6，8，9，10}，B={x|3<x<15}，∴∁U A={1,2，3，5，7，11}，(∁U A)∩B={5,7，11}，∴(∁U A)∩B中元素的个数为3．故选：B．可以求出集合U，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由z(1+2i)=5，得z=51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(1−2i)12+22=5(1−2i)5=1−2i，∴z−=1+2i，则复数z−在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z−，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵ln1a <ln1b，∴0<1a<1b，∴a>b>0，而a2>b2得到|a|>|b|，∴ln1a <ln1b是a2>b2的充分不必要条件，故选：C．ln1a <ln1b⇔a>b>0，a2>b2⇔|a|>|b|.根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：已知I =1013W/m 2时，L =10dB ，所以10=10lg(a ×1013)， 解得：a =10−12，∴L =10lg(10−12×I)=10(−12+lgI)，设列车原来的声强级为L 1，声强为I 1，该列车的声强级降低30dB 后的声强级为L 2，声强为I 2，则L 1−L 2=10(−12+lgI 1)−10(−12+lgI 2)=10(lgI 1−lgI 2)=10lg I1I 2=30，所以lg I 1I 2=3，解得：I1I 2=103，即I2I 1=10−3， 即该列车的声强应变为原声强的10−3倍． 故选：C ．由题意可求出a 的值，代入声强级L 与声强I 的函数关系式，设列车原来的声强级为L 1，声强为I 1，该列车的声强级降低30dB 后的声强级为L 2，声强为I 2，通过L 1−L 2=30结合对数的运算性质，即可求出I 2I 1的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了逻辑思维能力及运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】 【分析】根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而可求出cos∠BAD 的值． 本题考查了向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0， 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3， ∴2×22+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3(√3)2=0， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴cos∠BAD =2×√3=√36． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：法一：x 2+x 10=[(x +1)−1]2+[(x +1)−1]10，则a 3=C 103(−1)7=−120，故选D ，法二：对等式：x 2+x 10=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10， 两边连续求导三次得：10×9×8x 7=3×2a 3+4×3×2a 4(x +1)+⋯+9×8×7a 9(x +1)6+10×9×8a 10(x +1)7 令x =−1，得：a 3=−120， 故选：D ．结合多项式的特点，根据系数之间的关系进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式的系数性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由题意可知：该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”， 则前3人检测为阴性，第4人为阳性或前4人检测阴性，第5人为阳性． ∴f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p(0<p <1)，f′(p)=−3(1−p)2p +(1−p)3−4(1−p)3p +(1−p)4=(1−p)2(5p 2−10p +2)=5(1−p)2(p −5+√155)(p −5−√155)，∵0<p <1，∴(1−p)2(p −5+√155)<0，∴0<p <5−√155时，f′(p)>0，5−√155<p <1时，f′(p)<0，∴f(p)在(0,5−√155)上递增，在(5−√155,1)上递减，∴p =5−√155=1−√155时，f(p)最大，即p 0=1−√155． 故选：C ．该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性或前4人检测阴性，第5人为阳性．推导出f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p(0<p <1)，求出f′(p)=5(1−p)2(p −5+√155)(p −5−√155)，由此能求出结果．本题考查概率的运算，涉及到相互独立事件概率乘法公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．8.【答案】A【解析】解：法一：A(2,2)在抛物线y 2=2px 上，故22=2p ×2，即p =1，抛物线方程为y 2=2x ，设B(y 122,y 1),C(y 222,y 2)，∴k BC =y 1−y 212(y 12−y 22)=2y 1+y 2∴直线BC 的方程为：y −y 1=2y1+y 2(x −y 122)，即2x −(y 1+y 2)y +y 1y 2=0，设直线AB(AC)的方程为：y −2=k(x −2)，即kx −y +2−2k =0， 依题意：圆心(2,0)到直线AB(AC)的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√3，由k AB =2y1+2=√3得：y 1=−2+√3，同理：y 2=−2−√3，∴y 1+y 2=−4,y 1y 2=22−(√3)2=83， 故直线BC 的方程为3x +6y +4=0， 故选：A ． 法二：设B(y 122,y 1),C(y 222,y 2)，直线AB ：2x −(y 1+2)y +2y 1=0，依题意：圆心(2,0)到直线AB 的距离d =1√(y1+2)2+4=1，即3y 12+12y 1+8=0,6x 1+12y 1+8=0,3x 1+6y 1+4=0，同理：3x 2+6y 2+4=0，所以直线BC 的方程为3x +6y +4=0， 故选：A ．设出点B 坐标，点C 坐标，可表示出直线BC 的方程，联立即可解出．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：由某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，知：对于A，2022年我国5G用户规模年增长率超过300.0%，达到最高，故A正确；对于B，2029年我国5G用户数达到137205.3万人，规模最大，故B错误；对于C，从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C正确；对于D，这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，后5年的方差小于前5年的方差，故D错误．故选：AC．观察某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，能做出正确判断．本题考查命题真假的判断，考查条形图、折线图的性质等基础知识，考查数据处理能力，是基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=2，14T=π3−π12=π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，由五点作图可知2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)，对于A，f(x)=2sin(2x+π3)=2cos[π2−(2x+π3)]=2cos(π6−2x)=2cos(2x−π6)，所以选项A正确；对于B，f(−5π12)=2sin(−5π6+π3)=−2，所以x=−5π12是函数y=f(x)图象的对称轴，选项B正确；对于C，f(x)的图象向右平移π6个单位，得y=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x的图象，所以C正确；对于D，x∈[−2π3,−π6]，2x+π3∈[−π,0]，函数y=f(x)=2sin(2x+π3)不是单调函数，所以D错误．故选：ABC．由函数f(x)的部分图象求出A、T、ω和φ，写出f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，a1=(1+20%)×10000−1000=11000元，故A错误；由题意a n+1=1.2a n−1000，故B正确；由a n+1=1.2a n−1000，得a n+1−5000=1.2(a n−5000)，所以数列{a n−5000}是首项为6000，公比为1.2的等比数列，∴a12−5000=6000×1.211,即a12=6000×1.211+5000=50000，2020年小王的年利润为50000−10000=40000元，故C正确；=410000元，即41万，故D正确．a24=5000+6000×1.223=5000+6000×921.2故选：BCD．第n月月底小王手中有现款为{a n}，求解首项，判断A；得到递推关系式判断B；推出数列{a n−5000}等比数列，求解利润判断C；求解两年后，小王手中现款判断D．本题考查数列的递推关系式的应用，学生分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若g(x)=f(x)cosx，则g(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=g(x)，则g(x)= f(x)cosx为偶函数，A错误；对于B，设函数F(x)=f(x)−f(2)，F(2)=f(2)−f(2)=0，F(−2)=f(−2)−f(2)= f(2)−f(2)=0，则F(x)在R上有且只有2个零点，所以ℎ(2)=ℎ(−2)=ℎ(0)=0，ℎ(x)在R上有且只有3个零点，B正确；对于C，因为x[f(x)−f(2)]≤0，所以当x<0时，f(x)−f(2)≥0，即f(x)≥f(−2)，可得x≤−2，当x≥0时，f(x)−f(2)≤0，即f(x)≤f(2)，可得0≤x≤2，故x[f(x)−f(2)]≤0的解集为(−∞,−2]∪[0,2]，C正确；对于D，若f(x)=e x+e x−x2，易得f(x)为偶函数，其导数f′(x)=e x−e−x−2x，则有f″(x)=e x+e−x−2≥2−2=0．则f′(x)为R上的增函数，在[0,+∞)上，f′(x)≥f′(0)=0，所以此函数还满足在[0,+∞)上单调递增，D正确．故选：BCD．根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的综合应用，属于综合题．13.【答案】12【解析】解：分两类：(1)A小区安排2人(同学甲及另一名同学)：C31A22=6，(2)A小区只安排同学甲1人：C32A22=6，根据分类计数原理可得6+6=12种，故答案为：12．根据题意，A小区安排2人和A小区只安排同学甲1人，根据分类计数原理可得．本题考查排列组合及分步计数原理的运用，属于基础题．14.【答案】3cosπx【解析】解：选择一个具有周期性的常见偶函数，比如y=cosx，然后利用最大值为3，最小正周期为2，故函数f(x)可以为f(x)=3cosπx(答案不唯一)．故答案为：3cosπx．先考虑一个具有周期性的常见偶函数，然后根据条件求解即可．本题考查了函数的性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及周期性，属于基础题．15.【答案】√5【解析】解：由题意：k PA ⋅k PB =y−0x+√5⋅y−0x−√5=−45(x ≠±√5) 得：x 25+y 24=1(x ≠±√5)，可见C ，D 为两个焦点，如图示：∴sinα+sinβsin(α+β)=|PC|+|PD||CD|=2a 2c=√5，故答案为：√5．根据椭圆的性质表示出sinα+sinβsin(α+β)=ac ，求出答案即可．本题考查了椭圆的性质，考查直线的斜率，三角函数问题，是中档题．16.【答案】√3π2 2√63【解析】解：因为三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2，所以将三棱锥P −ABC 放入一个棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球．因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，所以外接球的半径为R =12PC =√32，所以球O 的体积为V =4πR 33=√3π2．建立如图所示的空间直角坐标系，则O(12,12,12)，M(23,13,0)，N(13,13,13)，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(16,−16,−12)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−16,−16,−16)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,0,13)，所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36，即为弦心距d.所以线段DE =2√R 2−d 2=2√(√32)2−(√36)2=2√63． 故答案为：√3π2；2√63． 将三棱锥P −ABC 放入一个棱长为1的正方体中，利用正方体的外接球即为三棱锥的外接球即可求得半径；建立空间直角坐标系，求出所需点M ，N ，球心O 的坐标，利用向量的坐标运算，得出ON ⊥MN ，然后再利用圆的弦长公式进行求解即可．本题考查了三棱锥的外接球问题，利用空间向量求解立体几何中的长度问题，属中档题．17.【答案】解：(1)∵(a +c)(sinA −sinC)=b(sinA −sinB)，∴(a +c)(a −c)=b(a −b)，即a 2+b 2−c 2=ab ， ∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵C ∈(0,π)， ∴C =π3．(2)由余弦定理得：c 2=a 2+16−2a ⋅4⋅cos π3=a 2−4a +16， ∵△ABC 为锐角三角形，且C =π3，∴{cosA >0cosB >0，可得{b 2+c 2>a 2a 2+c 2>b 2，可得：{16+a 2−4a +16>a 2a 2+a 2−4a +16>16，解得2<a <8，所以△ABC 面积S =12absin π3=√3a ∈(2√3,8√3).【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得a 2+b 2−c 2=ab ，利用余弦定理可求cos C ，结合C ∈(0,π)，可求C 的值．(2)由题意，利用余弦定理可解得2<a <8，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵a n 与a n+1的等比中项是√2S n ，∴2S n =a n a n+1①，又2S n+1=a n+1a n+2②， 由②−①可得：a n+2−a n =2， ∴{a n+2−a n }是等差数列，取n=1，由①得：2a1=a1a2，解得：a2=2，∴a2n−1=1+(n−1)×2=2n−1，a2n=2+(n−1)×2=2n，∴a n=n；(2)解：由(1)可得：b n=1a n+1a n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n=(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2(n+2)由n2(n+2)<n2n得：n+2>2n−1(∗)，不难发现当n=1，2，3满足(∗)，当n≥4时，设f(n)=2n−1−n−2，则f(n+1)=2n−(n+1)−2，∴f(n+1)−f(n)=2n−1−1>0，即f(n+1)>f(n)，∴{f(n)}(n≥4)单调递增，∴f(n)≥f(4)>0，又当n≥4时，n+2<2n−1，∴使得T n<n2n的n的取值范围为{1,2，3}．【解析】(1)先由2S n=a n a n+1得到：2S n+1=a n+1a n+2，两式相减整理得：a n+2−a n=2，即可证明结论，再由a1=1求得a2，进而求得a2n−1与a2n，即可求得a n；(2)先由(1)求得b n，然后利用裂项相消法求得其前n项和T n，进而由T n<n2n得到：n+2> 2n−1，再利用数列的单调性求得满足题意的n即可．本题主要考查等差数列的定义及基本量的计算、裂项相消法在数列求和中的应用，数列的单调性的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，x−=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70．(2)由题意可知，样本方差s2=100，故σ≈√s2=10，所以X～N(70,102)，该厂生产的产品为正品的概率P=P(60<X<90)=P(60<X<70)+P(70<X<90)=12(0.6827+0.9545)=0.8186．(3)X 所有可能为0，1，2，3． P(X =0)=C 30C 53C 83=528， P(X =1)=C 31C 52C 83=1528， P(X =2)=C 32C 51C 83=1556，P(X =3)=C 33C 50C 83=156．所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P52815281556156数学期望E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【解析】(1)结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；(2)分析易知，X ～N(70,102)，而正品概率P =P(60<X <90)=P(60<X <70)+P(70<X <90)，然后结合参考数据即可得解；(3)X 所有可能为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个X 的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可．本题考查频率分布直方图的性质、正态分布以及离散型随机变量的分布列和数学期望，有一定的综合性，但难度不大，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．20.【答案】(1)证明：分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，在梯形ACDE 中，DC//EA ，且DC =12EA ，M ，N 分别为BA ，BE 的中点， ∴MN//EA ，MN =12EA ，∴MN//CD ，且MN =CD ，则四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ，又EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为EB 的中点，∴G 为EN 的中点， 又F 为ED 的中点，∴GF//DN ，可得GF//CM ，又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF//平面ABC ；(2)解：在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，交AC 于H ， ∵平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC =AC ， BH ⊂平面ABC ，BH ⊥AC ，∴BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，又底面ACDE 的面积确定，∴要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2．过点H 作HP//AE ，可知HB ，HC ，HP 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(0,−1,0)，B(1,0，0)，E(0,−1,2)，D(0,1，1)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ABE 的一个法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−y 1+2z 1=0，取y 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)； 设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2+z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2−y 2+2z 2=0，取z 2=2，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)． ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√14=√77． 由图可知，二面角A −BE −D 为钝角， ∴二面角A −BE −D 的余弦值为−√77．【解析】(1)分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，证明四边形CDNM 为平行四边形，得CM//DN ，再由已知向量等式证明GF//DN ，可得GF//CM ，再由直线与平面平行的判定可得GF//平面ABC ；(2)证明BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B −ACDE 的高，由底面ACDE 的面积确定，知要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB =BC =√2.过点H 作HP//AE ，可知HB ，HC ，HP 两两垂直，以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE 与平面DBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −BE −D 的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.【答案】解：(1)∵离心率e=ca=2，∴c=2a，又b2=c2−a2=3a2，∴双曲线方程C：x2a2−y23a2=1，把点A(−2,3)代入双曲线方程得,4a2−93a2=1，解得a2=1，故双曲线C的方程为：x2−y23=1．(2)由(1)知：双曲线方程C：x2a2−y23a2=1，∴B(a,0)，F(−2a,0)，①当直线AF的斜率不存在时，则∠AFB=90°,|FB|=3a,|AF|=b2a=3a，∴∠ABF=45°，此时λ=2．②当直线AF的斜率存在时，设∠AFB=α，∠ABF=β，A(x0,y0)，其中x0<−a，y0>0，因为e=2，故c=2a,b=√3a，故渐近线方程为：y=±√3x，所以α∈(0,2π3),β∈(0,π3)，又tanα=y0x0+2a ,tanβ=−y0x0−a，所以tan2β=−2y0x0−a1−(y0x0−a)2=−2y0(x0−a)(x0−a)2−y02=−2y0(x0−a)(x0−a)2−3a2(x02a2−1)=−2y0(x0−a)(x0−a)2−3(x02−a2)=−2y0(x0−a)−3(x0+a)=y0x0+2a，∴tanα=tan2β，又α,2β∈(0,2π3)，∴α=2β，综上：存在常数λ=2满足：∠AFB=2∠ABF．【解析】(1)利用离心率结合A在双曲线上，求解a，b，得到双曲线方程．(2)双曲线方程C：x2a2−y23a2=1，可得B(a,0)，F(−2a,0)，①当直线AF的斜率不存在时，由等腰直角三角形可得λ．②当直线AF的斜率存在时，设∠AFB=α，∠ABF=β，A(x0,y0)，其中x0<−a，y0>0，利用离心率求解渐近线方程为：y=±√3x，结合α∈(0,2π3),β∈(0,π3)，tanα=y0 x0+2a ,tanβ=−y0x0−a，利用二倍角公式转化求解，推出tanα=tan2β，即可得到结果．本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】(1)定义域为R，f′(x)=me mx−2(a+1)，依题意：f′(0)=m−2(a+1)=−2a−1，所认m=1．所以f(x)=e x−2(a+1)x+32,f′(x)=e x−2(a+1)，当a≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，当a>−1时，令f′(x)=0，得x=ln2(a+1)，当x<ln2(a+1)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,ln2(a+1))上单调递减，当x>ln2(a+1)时，f′(x)>0，f(x)在(ln2(a+1),+∞)上单调递增，综上，当a≤−1时，f(x)在R上单调递增；当a>−1时，f(x)在(−∞,ln2(a+1))上单调递减，在(ln2(a+1),+∞)上单调递增．(2)设g(x)=f(x)−12x2−2(a+1)2，则g(x)=e x−12[x+2(a+1)]2+32，依题g(x)≥0对x∈[0,+∞)恒成立，又g′(x)=e x−(x+2a+2)，令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=e x−1≥0，所以ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=−2a−1，①当−2a−1≥0，即a≤−12时，ℎ(x)=g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(0)=52−2(a+1)2≥0，所以−1−√52≤a≤−1+√52，又a≤−12，所以−1−√52≤a≤−12；②当−2a−1<0，即a>−12时，则存在唯一的x0∈[0,+∞)使ℎ(x0)=0，即e x0−x0−2(a+1)=0，当x∈(0,x0)时，ℎ(x)=g′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，ℎ(x)=g′(x)>0，即x∈(0,x0)时，g(x)单调递减，x∈(x0,+∞)时，g(x)单调递增，故g(x)min=g(x0)=e x0−12e2x0+32≥0，解得0<e x0≤3，从而0<x0≤ln3，又2(a+1)=e x0−x0，而e x−x在[0,+∞)上单调递增，所以1<2(a+1)≤3−ln3，解得−12<a≤1−ln32．综上，实数a的取值范围为[−1−√52,1−ln32]．【解析】(1)对f(x)求导，由导数的几何意义可知f′(0)=0，从而可求得m的值，从而可得f(x)的解析式以及导函数，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解f(x)的单调性；(2)设g(x)=f(x)−12x2−2(a+1)2，由题意可得g(x)≥0对x∈[0,+∞)恒成立，利用导数求得g(x)min，则g(x)min≥0即可求得a的取值范围．本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．第21页，共21页。