高等数学泰勒公式

泰勒公式展开泰勒公式也称为泰勒中值定理，是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的一个重要考点，常用于函数极限的计算、中值问题和不等式的证明以及函数的无穷级数展开式中，因此大家应该理解并熟练掌握其应用。

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f′′(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f″(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x) 即：f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)即：f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)其中Rn(x)Rn(x)表示泰勒公式的余项，可以估算近似的误差，相当于无穷小将其中的x0x0带入00就可以得到麦克劳林展开，即f(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f′′(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅xnf(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f″(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅xn 然后虽然我们知道了这两个公式,还是不会用诶(当然大佬可能都是知道怎么用的..然而我确是一脸懵233)..下面说两个实例展开y=sin(x)y=sin⁡(x)和y=cos(x)y=cos⁡(x)用y=sin(x)y=sin⁡(x)来说:前置知识:fn(x)=sin(x+nπ2)fn(x)=sin(x+nπ2)(推一下x=1、2、3...x=1、2、3...即可找到公式)然后我们需要求出f(0)f(0)的nn阶导,推一下发现f1(0)f3(0)f5(0)f7(0)=1=−1=1=−1f2(0)=0f4(0)=0f6(0)=0f8(0)=0f1(0)=1f2(0)=0f3(0)=−1f4(0)=0f5(0)=1f6(0)=0f7(0)=−1f8(0)=0也就是f2n−1(0)=(−1)n−1f2n−1(0)=(−1)n−1,f2n(0)=0f2n(0)=0 通过麦克劳林展开可以得到sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!同理可以得到cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!计算近似值前置知识:e=limx→0(1+x)1xe=limx→0(1+x)1x即e=limx→∞(1+1x)xe=limx→∞(1+1x)x因此令f(x)=exf(x)=ex通过麦克劳林展开可以得到ex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅x2+...+e0n!⋅xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅x2+...+e0n!⋅xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rn忽略余项得到ex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn! +Rn带入x=1x=1,e≈1+11!+12!+13!+...+1n!。

高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。

通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。

设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。

根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。

拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。

皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。

泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。

首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。

显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。

接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。

g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。

我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。

常用的泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)泰勒公式介绍：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式的几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

高等数学泰勒公式1 泰勒公式介绍泰勒公式是一种重要的数学计算方法，它可以用来求解函数的数值解。

泰勒公式不像常用的无穷级数展开，而是用数值解的方式给出函数的近似值，从而使其在计算中更接近真实解。

泰勒公式最初是以JohnathanTaylor的名字命名的，但实际上，它可以追溯到叙利亚数学家艾哈迈德·泰勒，他是在1800年代末定义函数的隐函数形式的先驱者。

2 泰勒公式的定义泰勒公式可以被定义为：当f(x)是在点x0内可从某处n次可连续微分的函数时，令微分次数增加到n+1，则有：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} 3 泰勒公式的应用由于泰勒公式的本质是利用函数的多项式区间进行逼近，因此它可以用来求解根问题、最小值、积分以及其他的数学问题。

比如，用泰勒公式求根问题：假设存在一个函数f(x)，当x_0处f(x)可导数且f(x_0)=0时，f(x) = 0可以用泰勒公式写作：f(x) =f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots = 0。

这样，x_0就是f(x) = 0的一个根，而当f''(x) > 0时，x_0是其唯一解。

泰勒公式也可以用来求函数的最大值或最小值，最大值或最小值的函数在泰勒公式处可导数并且函数值为零。

由于泰勒公式可以对函数值的近似表达作出估算，因此也可以用来做积分，将函数分段展开，然后用此泰勒展开式加以求和便可以求出积分值了。

4 泰勒公式的缺点虽然泰勒公式在多个应用中都表现出了优良的数值结果，但泰勒公式也有一定的缺点，比如函数值的计算方式比较复杂、计算量也太大，也有的函数集合不能只靠泰勒公式求解，甚至得到的数值可能不是最精确的值，所以使用时必须谨慎。

微分带皮亚诺余项的
泰勒公式
带拉格朗日余项的拉格朗日中值定理泰勒公式
还有带其它余项的
泰勒公式
带皮亚诺余项的马克劳林公式
带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生0
x x x −=∆
带拉格朗日余项的马克劳林公式
带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, )(U , )( U )( 00x x x x f ∈∀则内可微在设满足拉格朗日中值上或在 )( ] ,[ ] ,[ 00x f x x x x 定理条件)
)(()()(00x x f x f x f −′+=ξ
. 0))(( , 00→−′→x x f x x ξ时则
记 , ))(()( 00x x f x R −′=ξ)
()()(00x R x f x f +=称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
解
解
解
解
解
R
)
(2x
解
解。