高数第八章(5)平面及其方程

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

一：向量代数与空间几何定理1：设0 ≠a ，则向量b 与a 平行的充要条件为：存在唯一的实数λ，使得a bλ=。

证：充分性：已知一个向量a ，且0 ≠a ，因为规定a λ是一个向量，当0>λ，方向与a相同；当0<λ时，方向与a相反，但方向无论是相反还是相同，都成为两向量共线，即平行，故由a b λ=，所以向量b 与a平行。

必要性：已知a b //，且0 ≠a ，故设b 与a的模长相差一个λ倍关系，即a b =λ，故而b a a==λλ，即a λ的模长等于b 的模长，当b 与a 同向时，令0>λ，则a λ与a 的方向相同，则此次b与aλ同向且等模，故a bλ=；当b与a 反向时，令0<λ，则a λ与a的方向相反，则此次b与aλ仍然同向且等模，故a bλ=仍成立；故又假设存在不等于λ的实数μ满足上面所述的关系，即a b μ=（λμ≠），故a b b)(0μλ-=-=，又0 ≠a ，故μλ=，与假设矛盾，故假设不成立，所以能满足上述关系的实数唯一。

注意：①当02=x 时，而022≠⋅z y ，即),0(22,z y b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====λλz z y y x x 2121210；②当022==y x 时，而02≠z ，即),0,0(2z b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====z z y y x x 21212100λλλ，但是注意到无论λ=z z 21为何值，021==x x λ以及021==y y λ都恒成立，因为00⋅=λ时，λ可以取任意实数。

故就不需要约定z 1与z 2的关系，即⎪⎩⎪⎨⎧====002121y y x x λλ。

**4.向量的混合积cb ac b a ⋅⨯=)(][作用：①可以求平行六面体的体积；②可以判定a，b，c三个向量是否共面。

推导：假设有如图所示的一个平行六面体，设底面积为S ，因为底面为一个平行四边形，故b a b b a a S⨯=⋅><=,sin ，而该六面体的高θcos c h =，根据叉乘的右手规则，得b a ⨯的方向垂直于底面，如图所示，则θ即为b a z⨯=与c 所成的夹角，故该六面体的体积c b a V c z c c z z c b a h S V⋅⨯=⇒⋅=><=⨯=⋅=)(,cos cos θ，故向量的混合积等于一个以a ，b ，c三个向量为邻边的平行六面体的体积；注意到当混合积的值为零时，该平行六面体的体积就为零，也就是说a，b，c三个向量为棱不能构成平行六面体，这种情况就只有三个向量在同一个平面时才能满足，即a，b ，c 三个向量共面。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a （a x，a y,a z），b（b x,b y,b z），则a b （a x b x,a y b y ,a z b z）, a （ a x, a y, a z）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：获—y2—z2；2）两点间的距离公式：AB J（X2 xj2（y2 y i）2（Z2 zj23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,5）投影：Prj u a a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a ba ||b cos1）a a a 24）方向余弦: COSx—,cosr—,cosr2a b a b 0 ）2向量积：c a b 、大小：|a||b sin ，方向：a, b ,c 符合右手规则1)a a 02)a// b a b 0 运算律：反交换律b a a b (三)曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，绕y 轴旋转一周：f(y, Vx 2z 2)绕z 轴旋转一周：f( \ x 2y 2, z) 03、 柱面：F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z 轴，准线为z 0的柱面4、 二次曲面22xy21)椭圆锥面：Q 22za b 2 x2) 椭球面：亍b 22 z2c2x 旋转椭球面： 2a2y 2 a2z 2 c2x2y 2 z 13) 单叶双曲面:2 a b 22c222xy z14) 双叶双曲面:2 a b 22c2 2x y z5) 椭圆抛物面:2 ab 222x y z6) 双曲抛物面（马鞍面）:a 2 b 222x y 17)椭圆柱面： 2 a b 222x y 18)双曲柱面：2 a b 229) 抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 01、般方程：G (x, y,z) 0x x(t)x a cos t 2、参数方程：y y（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)消去z ，得到曲线在面xoy上的投影 G (x, y, z) 0H (x, y) 0 z 0（五）平面及其方程1、 点法式方程： A(xX 。

第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4． 量的模：向量的大小，记为a。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。