第五节曲面平面及其方程
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本授课单元教学目标或要求:介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面,平面是本章中非常重要的一节,本节让学生了解平面的各种表示方法,学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法,会求出各种位置上的平面,了解平面与其法向量之间的关系。
本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等):基本内容:平面方程的几种形式,平面的夹角重点:1.平面方程的求法2.两平面的夹角难点:平面的几种表示及其应用对学生的引导及重点难点的解决方法:首先通过提问过空间一点且与一条直线垂直的平面是否存在这一具体问题,引出空间平面的点法式方程.紧接着对点法式进行变形得出一般式方程,引导学生分析常见的几个特殊平面及其面面间的夹角.平面方程有四种类型:点法式方程,三点式方程,截距式方程和一般式方程,但我们常用的是点法式和一般式。
求点法式方程的关键点往往是法向量,法向量通常采用向量的代数运算求得。
例题:例1:求过三点(2,-1,4)、(-1,3,-2)和(0,2,3)的平面方程。
例2:设平面过原点及点,且与平面垂直,求此平面方程。
例3:研究以下各组里两平面的位置关系:其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法:讲授教学与多媒体教学相结合,结合几何辅助。
本授课单元思考题、讨论题、作业:高等数学(同济五版)本授课单元参考资料(含参考书、文献等,必要时可列出)高等数学(同济五版)P325---P329注:1.每单元页面大小可自行添减;2.一个授课单元为一个教案;3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体;4.授课类型指:理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念,它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成,也可以通过参数方程进行描述。
在数学中,曲面的研究与计算具有广泛的应用,涉及到多个学科领域,如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结,主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先,曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体,它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成,每个平面片都是一个二维平面,它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的,如平面、球面,也可以是弯曲的,如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次,曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面,它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0,其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面,其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²,其中(a, b, c)为球心的坐标,r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面,常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后,曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标,其中参数可以是一个、二个或三个,具体取决于曲面的维度。
例如,球面可以由两个参数θ和φ来表示,其参数方程为x=r·sinθ·cosφ,y=r·sinθ·sinφ,z=r·cosθ,其中r为球的半径,θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程,例如,平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0,球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
第五节 曲面及其方程(导学解答)一、相关知识1.证明如果2220a b c d ++->,那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++= 给出的曲面是一球面,求出球心坐标和半径.证明:原方程可化为:222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-即2222(())(())(())x a y b z c --+--+--=, ∴该曲面为一球面,球心坐标为(,,)a b c ---2.已知椭球面方程2222221x y z a b c++=()c a b <<,试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面.解:不妨设过x 轴的平面z ky =,它与椭球面的交线为222222221x c b k y a b c z ky ⎧++=⎪⎨⎪=⎩,如果该交线是圆,则圆心为原点,又因交线关于x 轴对称并且(,0,0)a ±在这条交线上,故该圆可看成以原点为球心,a 为半径的球与平面z ky =的交线,即222221x k y a a z ky ⎧++⎪⎨⎪=⎩,比较上述两个方程组得2222222()()c b a k b a c -=-,0=. 二、曲面的有关问题1.在空间直角坐标系中,球心在),,(0000z y x P 半径为R 的球面上的点),,(z y x P 满足什么条件?答:点(,,)P x y z 满足2222000()()()x x y y z z R -+-+-=.2.在空间直角坐标系中,满足条件122=+y x 的点),,(z y x P 的集合构成一个什么图形?答:满足122=+y x 的点),,(z y x P 构成了一个以z 轴为对称轴,到对称轴距离为1的圆柱面.3.怎么定义一般曲面的方程?答:若曲面C 上的点的坐标都满足方程(,,)0F x y z =,而不在曲面C 上的点的坐标都不满足方程(,,)0F x y z =,则称方程(,,)0F x y z =为曲面C 的方程.4.二次曲面方程及其分类;答:对于不含交叉项的二次曲面方程:222123142434442220x y z a x a y a z a λλλ++++++=,通过坐标变换可化为下列简单方程之一:222123123(1):0,0;x y z d λλλλλλ+++=≠(1.1)0.d ≠123(1.1.1),,λλλ同号但与d 异号,它表示椭球面.123(1.1.2),,λλλ与d 同号,它表示虚椭球面.(1.1.3)d 与123,,λλλ中的一个同号,它表示单叶双曲面.(1.1.4)d 与123,,λλλ中的两个同号,它表示双叶双曲面.(2)0d =.(1.2.1)123,,λλλ同号,它表示一个点.\(1.2.2)123,,λλλ不全同号,它表示二次锥面.221234(2)20.x y a z d λλ+++=120.λλ≠34(2.1)0.a ≠12(2.1.1),λλ同号,它表示椭圆抛物面.12(2.1.2),λλ异号,它表示双曲抛物面.34(2.2)0.a =12(2.2.1),λλ同号,但与d 异号,它表示椭圆柱面.12(2.2.2),λλ与d 同号,它表示虚椭圆柱面.12(2.2.3),λλ同号,但0d =,它表示一对相交于一条实直线的虚平面. 12(2.2.4),λλ异号,且0d ≠.它表示双曲柱面.12(2.2.5),λλ异号,但0d =,它表示一对相交平面.212434(3)220x a y a z d λ+++=.2434(3.1),a a 中至少有一个不为0,它表示抛物柱面.2434(3.2)0a a ==.1(3.2.1)λ与d 异号,它表示一对平行平面.1(3.2.1)λ与d 同号,它表示一对虚的平行平面.(3.2.3)0d =,它表示一对重合平面.5.求一条平面曲线绕固定轴旋转所得到的曲面S 的方程。
平面与曲面的方程与性质平面与曲面是几何学中两个重要的概念,它们在数学、物理学以及工程学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨平面与曲面的方程及其性质,从而加深对这些几何概念的理解。
一、平面的方程与性质1. 平面的方程平面的方程可以由两点或一点和法向量确定。
设平面上两点P₁(x₁, y₁, z₁)和P₂(x₂, y₂, z₂),则平面上任意一点P(x, y, z)满足以下向量关系式:⃗nP₁ = ⃗nP₂,其中 ⃗nP₁ = ⃗P₁P = ⃗r - ⃗r₁,⃗nP₂ = ⃗P₂P = ⃗r - ⃗r₂,⃗nP₁和⃗nP₂分别为平面法向量与向量表达式(r, r₁和r₂分别为位置矢量),从而可得平面的一般方程:Ax + By + Cz + D = 0,其中 A、B和C为平面法向量的坐标,D为常数。
2. 平面的性质(1)平行与垂直:两个平面平行,则它们的法向量成比例;两个平面垂直,则它们的法向量互相垂直。
(2)交点与夹角:两个平面的交线是直线,交线与一个平面的夹角等于交线与另一个平面的垂直角。
(3)距离:点P到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离可以通过点P 到平面的垂直距离公式计算:d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。
二、曲面的方程与性质1. 曲面的方程曲面的方程根据不同的曲面类型而不同。
例如,球面的方程为:(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²,其中(a, b, c)为球心坐标,r为半径。
2. 曲面的性质(1)曲率:曲面上某一点的曲率是该点切平面上所有切线的曲率半径的倒数。
(2)凸凹性:曲面在某一点处凸面向上,如果其切平面上的任意一条直线段都包含曲面的一部分;曲面在某一点处凹面向上,如果其切平面上的某一条直线段不再包括曲面的一部分。
(3)对称性:曲面可以是对称的,可以通过某个轴或面的旋转、平移、倒置等操作得到对应的曲面。
曲面和平面的交线方程曲面和平面的交线方程是数学中一个重要的概念,它描述了曲面和平面在空间中相交的位置和形状。
在本文中,我们将介绍曲面和平面的基本概念及其交线方程的推导过程。
一、曲面的定义和表示方法曲面是空间中一个连续变化的曲线的集合,可以由方程或参数方程表示。
常见的曲面有圆锥面、椭球面、抛物面等。
为了方便讨论,我们以一般曲面方程形式为例进行说明。
一般曲面方程的一般表示形式为:F(x, y, z) = 0其中,F(x, y, z)为关于x、y和z的多项式函数。
曲面上的点(x, y, z)满足上述方程。
二、平面的定义和方程平面是空间中的一个二维几何概念,由无限多个平行且相交于一点的直线构成。
平面可以通过点法式方程、截距式方程等方法表示。
以平面的点法式方程为例,表示形式为:Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为实数,且A、B和C不全为零。
平面上的点(x, y, z)满足上述方程。
三、曲面和平面的交线方程的推导考虑一个曲面 S 和一个平面 P 的交线 L,假设其交线方程为:L: x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中 t 为参数。
将交线方程代入曲面方程,得到:F(f(t), g(t), h(t)) = 0这个方程表示交线上的点满足曲面方程。
四、特殊情况下的交线方程4.1 直线与曲面的交线方程当平面 P 是一条直线时,交线 L 也是一条直线。
直线与曲面的交线方程可以通过将直线方程代入曲面方程得到。
设直线的方程为:L: x = at + by = ct + dz = et + f将直线方程代入曲面方程,得到:F(at + b, ct + d, et + f) = 0这个方程表示直线与曲面的交点满足曲面方程。
4.2 平面与曲面的交线方程当平面 P 平行于某一坐标轴时,交线 L 为曲线或直线。
交线方程可以通过将平面方程代入曲面方程得到。
设平面的方程为:P: x = ay = bt + cz = dt + e将平面方程代入曲面方程,得到:F(a, bt + c, dt + e) = 0这个方程表示平面与曲面的交线满足曲面方程。
曲面和平面的交线方程曲面和平面的交线方程是描述曲面和平面交线的方程。
曲面和平面都是几何体,曲面是三维空间中的一个二次曲线,平面是一个没有任何曲率的二维几何图形。
当一个平面与一个曲面相交时,交线是平面曲线,其形状可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
本文将介绍曲面和平面的交线方程的基本概念、相关理论和具体案例。
首先,我们来了解曲面和平面的基本概念。
曲面是三维空间中的二次曲线,它可以用一个二次方程表示。
一个二次方程的一般形式是:Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中,A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是实数系数。
当方程的系数满足某些条件时,我们可以得到不同类型的曲面,比如球面、圆柱面、锥面等。
平面是一个没有任何曲率的二维几何图形,它可以用一个一次方程表示。
一个一次方程的一般形式是:Ax + By + Cz + D = 0其中,A、B、C、D都是实数系数。
一个平面可以通过三个点或者一个点和一个法向量确定。
当一个平面与一个曲面相交时,它们的交线是平面曲线,其方程可以通过以下步骤确定:1.确定平面和曲面的方程。
根据给定的条件,可以得到平面和曲面的方程。
2.将平面方程代入曲面方程。
将平面方程的变量表达式代入曲面方程中,可以得到与之相交的曲面上的点坐标。
3.求解方程组。
将得到的点坐标代入曲面方程和平面方程中,可以得到方程组。
通过求解方程组,可以确定曲面和平面的交线方程。
具体情况下,交线方程的形式可能会有所不同。
下面将通过几个具体的实例来解释曲面和平面的交线方程。
例1:平面与球面相交设球面的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 1,平面的方程为x + y + 2z = 0。
将平面方程代入球面方程中,得到方程组:(x + y + 2z)^2 + y^2 + z^2 = 1化简得:2x^2 + 3y^2 + 5z^2 + 4xy + 8xz + 4yz = 1通过求解方程组,可以得到平面与球面的交线方程。