(完整版)第五节平面及其方程教案

平面及其方程说课稿人教版一、说课背景本次说课的内容选自人教版高中数学教材第五章“空间几何”，主要围绕平面及其方程的概念、性质和求解方法进行讲解。

本章节是空间解析几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。

二、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解平面的基本概念，掌握平面方程的推导过程及其应用。

2. 过程与方法目标：通过实例演示和练习，培养学生运用平面方程解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对空间几何的兴趣，培养学生的探索精神和团队合作意识。

三、教学重点与难点1. 教学重点：平面的基本性质，平面方程的推导和应用。

2. 教学难点：平面方程的推导过程，以及如何利用平面方程解决实际问题。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用启发式教学法和探究式学习法，通过问题引导学生自主思考和探索。

2. 教学手段：运用多媒体课件展示平面图形，利用几何画板软件动态演示平面方程的推导过程。

五、教学过程1. 引入新课- 通过回顾上节课的立体几何知识，引出平面几何的概念。

- 通过实际问题（如：如何确定一个平面）激发学生的学习兴趣。

2. 概念讲解- 定义平面：平面是没有厚度的二维几何体，由无限多个点组成。

- 介绍平面的基本性质：平面内任意两点确定一条直线，平面与直线的关系等。

3. 平面方程的推导- 介绍平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0。

- 通过实例演示如何从三个不在一条直线上的已知点推导出平面方程。

- 讲解法向量的概念及其在平面方程中的作用。

4. 平面方程的应用- 通过例题讲解如何求解平面与直线的交点问题。

- 探讨平面方程在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等。

5. 课堂练习- 设计针对性练习题，让学生巩固平面方程的推导和应用。

- 分组讨论，鼓励学生相互合作，共同解决问题。

6. 课堂小结- 总结平面及其方程的主要内容。

- 强调平面方程在解决实际问题中的重要性。

重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：课题：第五节平面及其方程教学目的及要求：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学步骤及内容：一、平面的点法式方程1.平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2.平面的点法式方程已知平面上的一点M 0 (x0 , y0 , z0 ) 和它的一个法线向量n = {A, B, C}，对平面上的任一点M (x, y, z) ，有向量M 0M ⊥n，即n ⋅MM = 0代入坐标式，有：A(x -x0 ) +B( y -y) +C(z -z) = 0 （1）此即平面的点法式方程。

旁批栏：| A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 |A 2 +B 2 +C 2 ⋅ A 2 + B 2 + C 21 1 12 2 2 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + DA 2 +B 2 +C 2解：设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 ，由平面过原点知 D = 0由平面过点(6,-3, 2) 知6 A - 3B + 2C = 0 ，n ⊥ {4, -1, 2} ∴ 4 A - B + 2C = 0⇒ A = B = - 2 C 3旁批栏：所求平面方程为2x + 2 y - 3z = 0三、两平面的夹角：定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面∏1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ， ∏2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0n= { A , B , C }，n= { A , B , C } 按照两向量夹角余弦公式有：1cos =1112222几个常用的结论设 平 面 1 和 平 面 2 的 法 向 量 依 次 为n 2 = {A 2 , B 2 , C 2 }n 1 = {A 1 , B 1 , C 1}和1) 两平面垂直： A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 = 0（法向量垂直）A 2) 两平面平行： 1A 2 =B 1 B 2 =C 1 C 2（法向量平行）3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点 P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ，平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，则点到平面的距离为d =例 3：研究以下各组里两平面的位置关系：(1) - x + 2 y - z +1 = 0,y + 3z -1 = 0(2) 2x - y + z -1 = 0,- 4x + 2 y - 2z -1 = 0(3) 2x - y - z +1 = 0,- 4x + 2 y + 2z - 2 = 01 602 1 | -1⨯ 0 + 2 ⨯1 - 1⨯3 | 1解：(1) cos = = ，两平面相交，夹角= arccos (-1)2 + 22 + (-1)2 ⋅ ； 12 + 3260旁批栏：(2) = {2,-1,1} ， n ={-4, 2,-2} ⇒ 2 = -1 =- 4 2 1，两平面平 - 2行 ． M (1,1,0) ∈∏1M (1,1,0) ∉∏2 ，所以两平面平行但不重合。

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。