时变参数的状态空间模型

§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
三. 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。
x2
x
x1
x3
●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。 ●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为
. 状态轨迹。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
四. 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 。 ●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。


K1 Kp
u
K1 Kp
＋
K1
Kp

x6
x6
＋
x5
x5
1 x4 J1
x3
x3
Kn


＋
x4
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x 2 x2 x3
状态方程：
x4 x5 x6
J2 x4 Kb K n x4 Kp Kp 1 1 x3 x4 x5 x6 J1 J1 J1 J1 K1 x4 K1 x6 K1 K1 K1 x1 x6 u Kp Kp Kp
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp

＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
1 J1
J2 Kb
J 2S 2
Kn s
Kn


Kb

1 J1s

§1－3 状态空间表达式的建立（一）

D(k )
u(k )
H (k )

x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )

y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )

为状态矢量．
x1(t)
x (t)
x
2
(
t
)
x
n
(t
)
x (t) x 1 (t) x 2 (t)
x n (t)T
三.状态空间
以状态变量 x1, x2,
空间，称为状态空间．
xn 为坐标轴所构成的n维
四. 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间 的函数关系式,称为系统的输出方程.
式中 e 为反电动势； K a , K b 转矩常数和反电动势常数．
整理得：
di R i Kb 1 u dt L L L
d Ka i B
dt J J
把 x1i,x2 代入，有
x1 x2
RL Ka
J
Kb L
B J
xx12
1 Lu
0
若指定角速度为输出，则
y x2 0
1xx12
【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的 控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。
解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：
出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称
为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转
移到输出变量Y的转移关系。
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系．
将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。

（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)

x2 x(t0)
x (t1)
x (t2)
x (t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
系统的状态空间模型
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分 量是相互独立的。
• 减少变量,描述不全。
• 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。
• 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须
由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n
个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
– 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
– 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,
• 它主要决定系统的动态特性。
其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。

系统的状态空间模型(10/11)
4. 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 (A(t),B(t),C(t),D(t)).
➢ 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为
(A,B,C,D).
➢ 几种简记符的意义:

对复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题， 需要用对系统内部进行描述的新方法——状态空间分析法。
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)


x1
(
t
)


x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。



x1
(
t
)


x2
(
t
)


0

1
L

=
3 2
， c2
=
2s + 5 lim s→−3 s + 1
=
1 2
。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1，由此可得:
⎡ x1
⎢ ⎣
x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
0⎤ − 3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
y
=
⎡ ⎢⎣
3 2
1 2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
m
dt
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
dt
b0
m
−∫
−∫
y −∫
a0
a1
a2
进一步简化，可得系统状态变量图为 u
b0
b1
b2
− ∫ x1
− ∫ x2
− ∫ x3 y
a0
a1
a2
3
取 y = x3 ， y = x2 ， y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
a(s)
1 a(s)
=
s3
+
1 a2s2 +
a1s
+
a0
， b(s)
=
b2 s 2
+ b1s
+ b0
。
2
由于 s−3 y 相当于对 y 作 3 次积分，故 y = 1 可用如下的状态变量图表示： m a(s)

97
邵
帅等： 能源回弹效应的理论模型与中国经验
不过不同的文献采用了不同的生产或成本函数 ， 所得到的回弹效应表达式也存在着形式上差异 。 （ 二） 能源回弹效应的理论机制 对回弹效应的理论研究几乎均遵循新古典增长理论的框架和逻辑展开 ， 其中 Saunders 的研究 最具代表性。Saunders（ 1992 ） 首次在新古典增长理论框架下采用 CD 和 CES 生产函数， 将仅使能 源生产率提高而未对其他要素生产率产生影响的那部分技术进步定义为纯能源效率改进 ， 并基于 ， 。 ， Saunders 能源与其他投入要素之间具有可替代性的假设 证明了逆反效应的理论存在性 此后 （ 2008 ） 意识到新古典增长模型在建模上存在着局限性， 因为在不同的函数设定形式下， 所得的理 论结果也不尽相同。Saunders（ 2008 ） 利用八类生产 （ 成本） 函数分别对短期和长期回弹效应 ①进行 了理论推导和数值模拟， 考察和比较了不同模型设定对于研究回弹效应的合理性和适用性 ， 发现无 论在企业、 部门， 抑或宏观经济层面， 回弹效应的结果对于生产函数的设定形式具有很大的敏感性 ： 傅立叶成本函数具有最好的灵活性 ， 能够描述从超级节能到逆反效应的各种回弹效应情形 ； 广义里 昂惕夫成本函数和 CES 生产函数也是较为合理的选择， 能描述除超级节能之外的各种可能情形； 超越对数成本函数仅能描述逆反效应的情形 ， 而其他函数均不适用于描述回弹效应 。 Saunders 的系统研究为后续研究者在模型设定选择上提供了重要参考 。 一些学者沿袭其研究 思路， 对回弹效应进行了更加深入的理论探讨。 Wei （ 2007 ） 进一步放松了 Saunders 能源价格外生 的假定， 将能源效率分为能源利用效率和能源生产效率 ， 通过一个两部门模型 （ 能源生产部门和非 能源生产部门） 及其总体均衡分析研究发现： 在短期内， 能源生产效率的提高会增加能源消费和非 能源生产部门的产出， 但是能源利用效率的提高仅使非能源部门的产出增加 ， 而其对于能源消费和 ； ， 能源部门的产出并未产生影响 长期来看 能源生产效率和能源利用效率对能源消费和非能源生产 部门产出的影响均大于短期影响 ， 而且能源利用效率对能源消费和产出的影响较能源生产效率的 影响要小得多。Wei （ 2010 ） 继而将全球经济视为一个整体并采用普适性生产函数形式 （ general form of the production function） ， 对回弹效应五种情形的发生条件进行了更为一般化的讨论 ， 结果表 明： 能源供给是决定回弹效应大小的一个重要因素 ， 化石能源存量的有限性能够对潜在的回弹效应 产生限制作用； 能源与其他生产要素之间的替代性也是影响回弹效应的一个重要因素 ， 其对于短期 回弹效应具有更为明显的限制作用 ； 超级节能情形在短期和长期内均可能发生 ， 长期回弹效应可能 小于短期回弹效应。 现有研究已经对回弹效应的作用机制提供了一定的解析 ， 但这些研究均基于技术进步 （ 能源 规模报酬不变的新古典增长理论的严格假设 ， 存在着无法明晰技术进步 （ 能源效率 ） 实 效率） 外生、 际增长速度和演化过程的明显缺陷 。而兴起于上世纪 90 年代的内生增长理论已经实现了技术进 步的内生化， 从而对经济增长的内在机制具有了更加深刻的解释力 ， 因此将其应用于回弹效应研 究， 显然可以很好地克服上述不足。但目前还鲜见在内生增长理论框架下对回弹效应所开展的研 Saunders（ 2008 ） 、 Wei（ 2007 ， 2010 ） 等很多文献还将劳动生产要素视为外生常量， 认为其 究。此外， 具有无限的供给量， 从而在市场均衡分析时忽略劳动要素对产出增长及回弹效应的影响 。因此， 其 推导得到的回弹效应结果实际上是基于局部均衡模型而并非一般意义上的总体均衡模型 。这显然 又在很大程度上降低了其模型的现实解释力 ， 尤其是对我国这样一个具有特殊的人口政策和户籍 劳动力流动性较强的国家而言， 将劳动要素进行内生化处理显得尤为重要 。 制度、 （ 三） 能源回弹效应的经验证据 按照研究方法的不同， 相关经验研究大体上可以分为可计算一般均衡 （ CGE ） 模型和计量经济 2009 ； Turner ＆ Hanley， 分析两大类。前者多被用于宏观经济层面的回弹效应测算 （ Hanley et al． ，