苏教版高中数学选修2-3同步课堂精练2.3独立性

课下能力提升(十三)事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725. 答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536. 答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，于是P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)．由事件的独立性得P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

2.3 独立性1．条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ).预习交流1任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，设事件A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫14<x <1，你能求出P (B |A )吗？ 提示：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12＝0.5.2．事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足P (A |B )＝P (A )，则称事件A ，B 独立．P (AB )＝P (A )P (B )． 预习交流2若事件A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )与P (AB )＝P (A |B )·P (B )矛盾吗？ 提示：不矛盾，若事件A 与B 相互独立，则P (A |B )＝P (A )．一、条件概率盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个． (1)取两次，求两次都取得一等品的概率；(2)取两次，求第二次取得一等品的概率；(3)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的二等品的概率．思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．解：记A i 为第i 次取到一等品，其中i ＝1,2.(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝35×24＝310.(2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品．则P (A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝25×34＋35×24＝35.(3)取两次，已知第二次取得一等品，那么第一次取得二等品．则P (A 1|A 2)＝P (A 1A 2)P (A 2)＝25×3435＝12.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率是__________．答案：217解析：设A 表示：“抽到2张都是假钞”，B 表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P (A |B )，又P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217. 条件概率的判断：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率，题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．二、事件的独立性一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A ，B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．思路分析：(1)先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A ，B 所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P (A )，P (B )及P (AB )的概率，最后分析P (AB )是否等于P (A )P (B )，(2)同(1)．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为14.∵A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12，∴P (A )P (B )＝38≠P (AB )，故事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而知事件A 与B 是相互独立的．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意知，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意知P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125. 解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5.由定义知若P (AB )＝P (A )P (B )，则A ，B 相互独立，即如果A ，B 同时成立时的概率等于事件A 的概率与事件B 的概率的积，则可得出事件A 和事件B 相互独立，同时若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．1．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )＝__________.答案：12解析：P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________．答案：89解析：记事件A ，B 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则A B 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，∴P (B |A )＝P (B A )P (A )＝2×810×92×910×9＝89.3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率为p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是__________．答案：p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)解析：甲解决问题乙没解决问题的概率为p 1(1－p 2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率为p 2(1－p 1)，故恰有1人解决问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．答案：512解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512.5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次还取到不合格品的概率是多少？解：记A 为“第一次取到不合格品”，B 为“第二次取到不合格品”，则得P (A )＝5100＝120， P (AB )＝5100×499，要求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率，即求P (B |A )＝P (AB )P (A )＝499.。

2.3 独立性2．3.1 条件概率双基达标(限时15分钟)1．把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则P(B|A)等于________．解析事件A与事件B相互独立，故P(B|A)＝P(B)＝1 2 .答案1 22．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)＝________.解析P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.答案1 23．设A、B是两个事件，0＜P(A)＜1，P(B|A)＝1.则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A＋B)＝P(A)；③P(A)＝P(B)；④P(A)＝P(B)．其中正确的是________．解析由P(B|A)＝1，得P(B|A)＝0，即P(AB)P(A)＝0，所以P(AB)＝0.答案①4．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．解析设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P(A)＝35，P(AB)＝C26C210＝13.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝59.答案5 95．6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________．解析甲排在第一跑道，其他5位同学共有A55种排法，乙排在第二跑道共有A4 4种排法，所以P＝A44A55＝15.答案1 56．某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．解设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4.而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率为0.5.综合提高(限时30分钟)7．抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________．解析事件A为至少有一颗是6点，事件B为两颗骰子点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，P(A|B)＝1030＝13.答案1 38．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．解析一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.答案2 39．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．解析A＝“产品为合格品”，B＝“产品为一级品”，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.答案19%10．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．解析记事件A：“用满3000小时不坏”，P(A)＝3 4；记事件B：“用满8000小时不坏”，P(B)＝12.因为B⊂A，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.答案2 311．盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．解设A表示“任取一球，是玻璃球”，B表示“任取一球，是蓝色的球”，则AB表示“任取一球是蓝色玻璃球”．P(B)＝1116，P(AB)＝416，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝411.12．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解(1)①P(A)＝26＝13.②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝1036＝518.③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝5 36 .(2)由(1)知P(B|A)＝P(AB)P(A)＝53613＝512.13．(创新拓展)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？解记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．P(B)＝46＝23，P(B)＝1－P(B)＝1 3 .P(A|B)＝49，P(A|B)＝39＝13.从而P(A)＝P(A B)＋P(AB)＝49×23＋13×13＝1127.即从2号箱取出红球的概率是11 27 .。

2.3 独立性1．已知下列各对事件：（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动.“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”；（2）一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球.“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”；（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”；其中为相互独立事件的有【】A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)D.(2)(3)2．两个气象台同时作天气预报，如果他们与预报准确的概率分别为0.8与0.9，那么在一次预报中，两个气象台都没预报准确的概率为【】A.0.72B.0.3C.0.02D.0.033．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是【】A.320B.15C.25D.9204．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于【】A.2个球都是白球的概率B.2个球都不是白球的概率C,2个球不都是白球的概率D,2个球中恰好有1个是白球的概率5．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是【】A.0.128B.0.096 C,0.104 D,0.3846．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是【】A.35192B.25192C,35576D,651927．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 .8． 甲乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为31和41，求两人破译时以下事件发生的概率：（1）两人都能破译的概率；（2）恰有一人能破译的概率；（3）至多有一人能译出的概率.9． 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为91,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率P (A )是多少？10．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.参考答案1 .B2 .C 3. C 4. C 5 B 6. A7. 0.24 0.768 设“甲能译出”为事件A ，“乙能译出”为事件B ,由题意，A 、B 相互独立.所以（1）P (AB )=P (A )P (B )=1214131=⨯. (2) 11115()()()(1)(1)343412P AB AB P AB P AB +=+=⨯-+-⨯=. （3)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P B A B A B A P ++=++111111(1)(1)(1)(1)34343411.12=⨯-+-⨯+--= 9．设P (A )=m ,P (B )=n 由题意，91)1)(1()(=--=n m B A P ,)()(B A P B A P =,即n m n m )1()1(-=-解得m =n =32，即P (A ) =32. 10． P =220.790.810.404⨯≈.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3.2 事件的独立性课时目标 理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．1．事件A 、B 独立：一般地，若事件A ，B 满足______________，则称事件A 、B 独立． 2．事件A 、B 独立的充要条件是____________．3．若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝________________.一、填空题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人同时解出此题的概率为______．4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是______．6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．二、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．能力提升11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：开关A 1 A 2 A 3B 1 B 2 闭合的概率0.6 0.5 0.80.70.9求在这段时间内下列事件发生的概率： (1)由于B 1，B 2不闭合而线路不通； (2)由于A 1，A 2，A 3不闭合而线路不通； (3)线路正常工作．1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P (A )＝1－P (A )计算．2．3.2 事件的独立性答案知识梳理1．P (A |B )＝P (A ) 2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 作业设计 1．0.56解析 设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，由题意知A 、B 相互独立， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 2.253．p (1－q ) 4.35解析 由题易知，全都是红球的概率为C 13C 15×C 12C 13＝25，故至少取到一个白球的概率是1－25＝35. 5.712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A 、B 中至少有一件发生的概率为1－P (A ·B )＝1－512＝712.6.13 23解析 设事件A ：“甲解决这道难题”，事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立．∴两人都未能解决的概率为P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.7．1－(1－p )n解析 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n .应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .8.35192解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A ，在乙处不用停车为事件B ，在丙处不用停车为事件C ，则由已知得P (A )＝2560＝512，P (B )＝3560＝712，P (C )＝4560＝34，所以所求概率为P (ABC )＝P (A )P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.9．解 记P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.(1)事件“这名同学得300分”可表示为A B C ＋A BC ，所以P (A B C ＋A BC )＝P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为A B C ＋A BC ＋ABC ，所以P (A B C ＋A BC ＋ABC )＝P (A B C ＋A BC )＋P (ABC )＝0.228＋P (A )P (B )P (C )＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.10．解 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝38. 11.370解析 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 12．解 (1)记“开关B 1闭合”为事件B 1，“开关B 2闭合”为事件B 2，所以所求概率为 1－P (B 1B 2)＝1－P (B 1)·P (B 2)＝1－0.7×0.9＝0.37.(2)设“开关A i 闭合”为事件A i (i ＝1,2,3)，所求概率为 P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.(3)所求概率为P (B 1B 2)[1－P (A 1A2A 3)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.。

第1课时 条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取． 问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示:相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P （A )＝23. 问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示:用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P (B ）＝错误!.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下,最后一名同学抽到中奖奖券"．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P （C )＝错误!。

1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率,记为P（A|B)．2．条件概率的计算公式(1）一般地，若P（B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A｜B)＝错误!．(2）利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A｜B）P（B）．1．由条件概率的定义可知，P（A｜B)与P(B｜A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下,事件A发生的可能性大小不一定是P （A），即P（A｜B)与P(A）不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)〉0。

3．P（A｜B）＝错误!可变形为P（AB）＝P(A｜B)P（B）,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1］抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P（A），P（B），P(AB);（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析］(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x,y）|x∈N，y ∈N，1≤x≤6，1≤y≤6｝，如图所示，由古典概型计算公式可知：P（A)＝错误!＝错误!，P（B)＝错误!＝错误!，P（AB)＝错误!.(2)P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!.［一点通] 利用P(A｜B）＝错误!求条件概率的一般步骤：(1）计算P(B）；（2）计算P（AB）(A，B同时发生的概率);（3)利用公式P（A|B）＝错误!计算．其中(1)（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球"，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝错误!，P(AB)＝错误!×错误!＝错误!，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)＝错误!.答案：错误!2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?解:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩}，｛第一个是女孩,第二个是男孩｝,{两个都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,A＝“其中一个女孩"，B＝“其中一个男孩”，则A＝｛（男,女)，(女，男），（女，女）｝,B ＝｛（男，男）,(男,女），（女，男）},AB＝｛（男，女)，（女，男）}．∴P（AB)＝错误!,P(A)＝错误!.∴P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。

1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少一人被录取的概率为__________．2．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为，在事件A 发生的条件下，310事件B 发生的概率为，则事件A 发生的概率为__________．123．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率为__________．4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合15格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少一项合格的概率为__________．145．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率为，从两个袋1312内各摸1个球，那么概率为的事件是__________．566．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P (AB )＝__________，P (A |B )7．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概1213率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为__________．148．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班同学平均分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？参考答案1答案：0.88解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以至少有1人被录取的概率为1－0.12＝0.88.2答案：35解析：由题意知P (AB )＝，P (B |A )＝，∴.310123()310()1(|)52P AB P A P B A ===3答案：1425解析：设“甲中靶”为事件A ，“乙中靶”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7.则P (AB )＝P (A )P (B )＝0.8×0.7＝0.56＝.14254答案：25解析：设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝，P (B )＝.又A ，B 相互独立，则，也相互独立，则P ()＝P ()P ()＝1514A B A B A B .433545⨯=故至少有一项合格的概率为P ＝1－P ()＝.A B 32155-=5答案：2个球不都是白球解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件是相互独立的，故两个小球都是白球的概率为，所以两球不都是白球的概率为.111326⨯=15166P =-=＝__________.6答案：0.15　0.3解析：∵A 、B 相互独立，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.3×0.5＝0.15.∴P (A |B )＝＝P (A )＝0.3.()()P AB P B 7答案：1124解析：甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A ，则；()1111112344P A ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙生解出，而甲、丙不能解出为事件B ，则；1111()113248P B ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭丙生解出，而甲、乙不能解出为事件C ，则；1111()1142312P C ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝.11111481224++=8解：设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”．(1)由题意，.101()404P A ==(2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．在事件B 发生的条件下，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝.4159解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A ，“从1号箱中取出的是红球”为事件B .，P ()＝1－P (B )＝，42()243P B ==+B 13(1)P (A |B )＝.314819+=+(2)∵P (A |)＝，B 31813=+∴P (A )＝P (AB )＋P (A )＝P (A |B )P (B )＋P (A |)P ()＝.B B B 421111933327⨯+⨯=。

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)________．【解析】 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.【答案】1902．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为________. 【29440048】【解析】 由于两株花卉成活与否互不影响，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p ＋q －2pq.【答案】 p ＋q －2pq3．如图2-3-2所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．图2-3-2【解析】 左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.【答案】 494．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【解析】 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192. 【答案】351925．从某地区的儿童中预选体操学员，已知这些儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是______．(假定体型与身体结构合格与否相互之间没有影响)【解析】 这两项都不合格的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＝35，所以至少有一项合格的概率是1－35＝25.【答案】256．如图2-3-3，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．图2-3-3【解析】 可知K ，A 1，A 2三类元件是否正常工作相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864. 【答案】 0.8647．(2016·济南高二检测)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．【解析】 从甲袋中任取一球是白球的概率为812＝23，是红球的概率为412＝13；从乙袋中任取一球是白球的概率为612＝12，是红球的概率为612＝12，故所求事件的概率为23×12＋13×12＝12.【答案】 128．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫。

事件的独立性．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)[基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材～，完成下列问题．．事件的独立性的概念()概念：若事件，满足()＝()，则称事件，独立．()含义：()＝()说明事件的发生不影响事件发生的概率．．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么()两个事件，相互独立的充要条件是()＝()()．()若事件，，…，相互独立，那么这个事件同时发生的概率(…)＝()()…()．．相互独立事件的性质如果事件与相互独立，那么与，与，与也相互独立．．下列说法正确的有．(填序号)①对事件和，若()＝()，则事件与相互独立；②若事件，相互独立，则()＝()×()；③如果事件与事件相互独立，则()＝()；④若事件与相互独立，则与相互独立．【解析】若()＝()，则()＝()·()，故，相互独立，所以①正确；若事件，相互独立，则，也相互独立，故②正确；若事件，相互独立，则发生与否不影响的发生，故③正确；④与相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为. 【导学号：】【解析】事件“甲投球一次命中”记为，“乙投球一次命中”记为，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件，则＝∪且与互斥，()＝(∪)＝()()＋()()＝×＋×＝＝.【答案】．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是．【解析】三人都达标的概率为××＝.三人都不达标的概率为(－)×(－)×(－)＝××＝.三人中至少有一人达标的概率为－＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。

2020-2021学年高二数学苏教版选修2-3同步课时作业2.3独立性1.甲、乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.36D.0.1442.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A.18 B.14 C.25 D.123.重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是45，连续两天为优良的概率是35，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.45 B.35 C.34 D.12254.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.55.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( ) A.2144 B.1522 C.2150 D.9256.某学校甲、乙等10位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该服务队中的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.25 B.1225 C.1625 D.457.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率和B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 等于( )A.29B.118C.13D.238.已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是( ) A.13 B.37 C.16 D.129.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是( ) A.920 B.925 C.380 D.1940010.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( ) A.2324 B.524 C.1124 D.12411.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人.从中任选3名班干部参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()|P B A =_____________.12.已知,A B 独立，且()()33,84P AB P B ==，则()|P A B =___________. 13.据气象台统计，某地区下雨的概率为415，刮四级以上的风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设事件A 为“下雨”，事件B 为“刮四级以上的风”，则()|P B A =________，()|P A B =______________.14.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为_____________.15.某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.答案以及解析1.答案：A解析：“比赛在第三局结束”记为事件A ，“甲获胜”记为事件B ，则()0.40.60.6()0.6()0.40.60.60.60.40.4P AB P B A P A ⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯∣. 2.答案：B 解析：依题意知2223222255C C C 421(),()C 105C 10P A P AB +=====，故1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选B.3.答案：C解析：设某天的空气质量为优良的概率是()P A ，则4()5P A =，设连续两天的空气质量为优良的概率是()P AB ，则3()5P AB =，所以所求的概率为3()35(|)4()45P AB P B A P A ===，故选C.4.答案：D解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，则()0.4,()0.5P A P B ==，()0.2P A B ⋂=，所以()0.2(|)0.5()0.4P A B P B A P A ⋂===，故选D.5.答案：A解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A ，“乙击中目标”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则()1()()1(10.6)(10.7)0.88P C P A P B =-=--⨯-=.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为()0.60.721(|)()0.8844P A B C P A B C P C ⋂⋂⨯⋂===.故选A. 6.答案：C解析：设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，事件,A B 相互独立.易知42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1[1()][1()]15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 7.答案：D解析：由题意知，1()()9P A P B =， ()()()()P A P B P B P A =.设(),()P A x P B y ==， 则1(1)(1),9(1)(1),x y x y x y ⎧--=⎪⎨⎪-=-⎩所以23x =， 即2()3P A =.故选D. 8.答案：D解析：记“第一次抽到红球”为事件A ，记“第二次抽到红球”为事件B .111434111776C C C 42(),()C 7C C 7P A P A B ==⋂==，2()17(|)4()27P A B P B A P A ⋂∴===，故选D. 9.答案：D解析：击中目标时甲射击了两次包括甲、乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以所求概率为11311143119454454580100400P =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选D.10.答案：C解析：设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则111(),(),()234P A P B P C ===，则111213()1()1,()1()1,()1()1223344P A P A P B P B P C P C =-=-==-=-==-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ，则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 11.答案：25解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为1436C 1()C 5P A B ⋂==，事件“男生甲被选中”发生的概率为2536C 1()C 2P A ==.()2(|)()5P A B P B A P A ⋂∴==. 12.答案：12解析：因为,A B 独立，所以3()()()8P AB P A P B =⋅=，又3()4P B =，所以1()2P A =，所以11(|)()122P A B P A ==-=. 13.答案：38；34解析：由题意知421(),(),()151510P A P B P AB ===，所以()3()3(|),(|)()8()4P AB P AB P B A P A B P A P B ====. 14.答案：415 解析：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以()()()()|46410915P C P A B P A P B A =⋂=⨯=⋅=. 15.答案：(1)设事件A 为“该续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生，即一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.(2)设事件B 为“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生，即一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15P B =+=.又()()P AB P B =，故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====. 因此所求概率为311.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

3.1 独立性检验1、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++算得，22110(40302020)7.860506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：参照附表，得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关"B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"C.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"D.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"2、某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关,运用22⨯列联表进行独立性检验,经计算27.069K=,则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过( )A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%3、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A.成绩B.视力C.智商D.阅读量4、为了解疾病A是否与性别有关,在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:患疾病A不患疾病A合计男20525女101525合计302050K,你有多大的把握认为疾病A与性别有关( )请计算出统计量2下面的临界值表供参考:()2P K k≥0.050.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%5、下列四个命题中①设有一个回归方程23y x =-,变量x 增加一个单位时, y 平均增加3个单位;②命题p :“2000,10x R x x ∃∈-->”的否定p ⌝:“2,10x R x x ∀∈--≤”;③设随机变量X 服从正态分布()0,1N ,若()1P X p >=,则()1102P X p -<<=-; ④在一个22⨯列联表中,由计算得2 6.679K =,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. 其中正确的命题的个数有( ) 附:本题可以参考独立性检验临界值表A.1个B.2个C.3个D.4个 6、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用22⨯列联表进行独立性检验,经计算27.069K =,则所得到的统计学结论为:有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”是( )A. 0.1%B. 1%C. 99%D. 99.9%7、随机询问110名性别不同的中学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.则下列结论正确的是( )A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 8、在2×2列联表中,变量1A 、1B 独立所需满足的条件是( )1B 2B合计1A ab a b +2Acd c d +合计 a c + b d + n a b c d =+++A. b a b b dn n n ++=⋅B. a a b a cn n n ++=⋅C. c c d a cn n n ++=⋅D.d c d b dn n n++=⋅9、有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 非优秀 合计 甲班 10b乙班 c30 合计已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法正确的是( ) A.列联表中c 的值为30, b 的值为35 B.列联表中c 的值为15, b 的值为50C.根据列联表中的数据,若按97.5%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据,若按97.5%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 10、国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960 B. 35C. 12D. 16011、已知2×2列联表,则a =__________,b =__________.1x 2x 合计1xa 22 642x4 2529 合计 b 4712、某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关,对成年人进行了一次随机抽样调查,结果如下表: 患肝病 未患肝病 合计 酗酒 30 170 200 不酗酒 20 280 300 合计50450500则酗酒而未患肝病的概率为__________.13、下面2×2列联表中晕船与性别为男是否独立:__________晕船 不晕船 合计14、某厂家为调查一种新推出的产品的颜色接受程度是否与性别有关,数据如下表:根据表中的数据,得到()225417229610.65326233128K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为27.879K>,所以产品的颜色接受程度与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为__________.参考公式:()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++15、某中学研究性学习小组,为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系,在本校高三年级随机调查了50名学生.调査结果表明:在爱看课外书的25人中有18人作文水平好,另7人作文水平一般;在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好,另19人作文水平一般. (1).试根据以上数据完成以下22⨯列联表,并运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?(2).将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5,某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5,从这两组学生中各任选1人进行学习交流,求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.参考公式:2 2()()()()()()a b c d ad bcKa b c d a c b d+++-=++++.参考数据:答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：由22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯及2( 6.635)0.010P k ≥=可知,在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选.C2答案及解析： 答案：B 解析：利用临界值表判断.因为7.069 6.635>,所以至少有99%的把握认为“学生性别与支持活动有关系”,即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%,故选B.3答案及解析： 答案：D解析：因为222152(6221410)5281636322016363220K ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯, 222252(4201612)521121636322016363220K ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯, 222352(824128)52961636322016363220K ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯, 222452(143062)524081636322016363220K ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯, 则22224231K K K K >>>, 所以阅读量与性别有关联的可能性最大.4答案及解析：解析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数． 根据所给的列联表,得到()225020151058.3337.87930202525K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯对照临界值表:∴至少有99.5%的把握说明疾病A 与性别有关. 故选C.5答案及解析： 答案：C解析：对选项逐个进行判断,即可得出结论.解:①设有一个回归方程23y x =-,变量x 增加一个单位时, y 平均减少3个单位,故①不正确;②命题p :“2000,10x R x x ∃∈-->”的否定p ⌝:“2,10x R x x ∀∈--≤”,正确;③设随机变量X 服从正态分布()0,1N ,则对称轴为0x =,∵()1P X p >= ,∴()1102P X p -<<=-,正确;④在一个22⨯列联表中,由计算得2 6.679 6.535K =>,∴有99%的把握确认这两个变量间有关系,正确. 故选:C.点评:本题考查回归方程、命题的否定,考查正态分布、独立性检验知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.6答案及解析：解析：根据题意可知, 22⨯ 列联表进行独立性检验,经计算27.069K =,则根据概率表格可知, 2 6.635K ≥,故有99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”,故选C.7答案及解析： 答案：C解析：由题意算得, 27.8K ≈,因为7.8 6.635>,所以有0.011%=的概率犯错误,即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选C.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：C解析：由题意知,成绩优秀的学生数是2105?307⨯=.成绩非优秀的学生数是75,所以3010? 20,?7530? 45c b =-==-=,选项 A,B 错误.()2210510302045 6.1? 5.024********χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,因此,有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.故选C.10答案及解析： 答案：B解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为111,,345.∴他们不去北京旅游的概率分别为234,,345,至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游∴至少有1人去北京旅游的概率为234313455P =-⨯⨯=.故选B11答案及解析：答案：42; 46 解析：12答案及解析：答案：17 50解析：13答案及解析：答案：独立解析：14答案及解析：答案：0.005解析：因为27.879K>,所以有99.5%的把握认为产品的颜色接受程度与性别有关系,这种判断出错的可能性为0.005.15答案及解析：答案：(1).完成22⨯列联表如下:所以()225018196711.53810.82825252426K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有99.9%的把握认为高中学生的作文水平与爱看课外书有关系.(2).设“被选取的2名学生的编号之和为3的倍数”为事件A ,“被选取的2名学生的编号之和为4的倍数”为事件B .则基本事件为共25个.因为事件A 所包含的基本事件为()()()()()()()()()1,2 1,5,2,1,2,4,3,3,4,2,4,5,5,1,,5,4,共9个,所以()925P A =. 事件B 所包含的基本事件为()()()()()()1,3,2,2,3,1,3,5,4,4,5,3,共6个,所以()625P B =, 因为事件A ,B 互斥,所以()()()96325255P A B P A P B ⋃=+=+=. 故被选取的2名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率为35. 解析：。

课后导练基础达标1.（天津高考）某人射击一次击中目标的概率为0。

6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ )A .12581B 。

12554 C.12536 D.12527解析：两次击中的概率P 1=2236.0C·(1-0。

6)=12554，三次击中的概率P 2=0.63=12527。

答案：A2.已知P （B ）〉0，A 1A 2=,则有（ ）A 。

P (A 1｜B ）>0 B 。

P (A 1+A 2｜B )=P （A 1｜B )+P (A 2｜B )C 。

P (A 1A 2｜B ）≠0D 。

P (A 1A 2｜B ）=1 解析:A 1∩A 2=, ∴A 1与A 2互斥。

∴P (A 1+A 2|B ）=P (A 1｜B ）+P (A 2|B )。

答案:B3。

对于事件A 、B ,正确命题是( ）A 。

如果A 、B 互不相容，则A 、B 不相容 B 。

如果A ⊂B ，则A ⊂BC 。

如果A 、B 对立，则A 、B 也对立 D.如果A 、B 互不相容，则A 、B 对立解析：∵A 、B 对立,则A =B ,B =A .∴A 与B 也对立.答案：C4。

从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响)…（ ）A 。

94B 。

901C 。

54D 。

95解析:P =901516131=⨯⨯。

答案:B5。

P （A )=0。

5,P (B ）=0.3,P （AB )=0。

2，则P (A ｜B ）=________,P （B ｜A )=___________。

解析:P （A ｜B )=52)()()(,323.02.0)()(====A P AB P A B P B P AB P 。

答案:32526。

甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型螺栓的概率为_____________。

§2.3 独立性2．3.1 条件概率课时目标1.在具体情境下，了解条件概率的概念.2.利用条件概率解一些简单的实际问题．1．条件概率：一般地，对于两个事件A 和B ，在________________________下事件A 发生的概率，称为______________________________________，记为P (A |B )．2．公式P (A |B )＝____________.一、填空题1．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )＝______.2．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，事件B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.3．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．4．设A ，B 是两个事件，且B 发生则A 必定发生，0<P (A )<1,0<P (B )<1，则下列各式中正确的是________．(填序号)①P (A ＋B )＝P (A )； ②P (B |A )＝P (B )； ③P (A |B )＝P (A )； ④P (AB )＝P (B )．5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．6．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．7．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，第2次也抽到A的概率为________．二、解答题9．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．10．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．能力提升11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．12．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．2．已知事件A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，求P (B |A )时，除按公式外，还可把A 看做新的基本事件空间来计算B 发生的概率．2．3 独立性 2．3.1 条件概率答案知识梳理1．已知事件B 发生的条件 事件B 发生的条件下事件A 的条件概率 2.P (AB )P (B ) 作业设计 1.12解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.2.12解析 P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.3.59 解析 设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，则P (A )＝35，P (AB )＝C 26C 210＝13.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59. 4．①④ 5.23解析 记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P (A )＝34；记事件B ：“用满8 000小时不坏”，P (B )＝12.因为B ⊂A ，所以P (AB )＝P (B )＝12，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1234＝12×43＝23.6.95997.23解析 一个家庭有两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩子，第二个是女孩子}，{第一个是女孩子，第二个是男孩子}，{两个都是女孩子}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，事件A 表示“其中一个是女孩”，事件B 表示“其中一个是男孩”，则Ω为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A 为{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B 为{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB 为{(男，女)，(女，男)}．所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2434＝23.8.1179．解 记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B .P (A )＝C 25C 36＝1020＝12，P (BA )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (BA )P (A )＝25.10．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步乘法计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.11.78解析 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P (A )＝830，P (AB )＝730，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝78.12．解 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B )＝38＋1＝13，从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127.。

独立性检验同步练习1. (本小题25分) 为了研究吸烟是否与患肺癌有关，对63位肺癌患者及43位非肺癌患者．调查了其中吸烟的人数，得下列2×2列联表，试问：吸烟与患肺癌是否有关(可靠性不低于0.9967患肺癌来患肺癌合计吸烟60 32 92不吸烟 3 11 14合计63 43 1062. (本小题25分) 通过试验得到在不同灌溉方式下水稻叶子的衰老情况如下表，试分析灌溉水平对水稻叶子衰老的影响(可靠性不低于95％)．绿叶数黄、枯叶数合计深水146 14 160浅水或湿润335 52 387合计481 66 5473. (本小题25分) 有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品为考察各工厂产品质量水平是否一致，从这两个工厂中分别随机地抽出产品109件和191件，鉴定每件质量等级的结果如下表，试分析甲、乙两厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于95％)4 (本小题25分) 在某报纸上有一篇文章．内容是关于调适压力是否能减少心脏病猝发的研究.全部107位受测者流向心脏的血流量均低于常人，所以都有心脏病猝发的风险他们被随机指派到3个组．在接下来的3年内，压力调适组的33人中只有3个人曾经历心脏病猝.发同一时间段内，运动组与一般照顾组的74人中有19人经历了心脏病猝发(1)利用该篇文章中的信息，制作一个描述研究结果的列联表；(2)把卡方检验的统计假设写出来，算出在此假设下所有格子中的估计值，并求出卡方统计量.参考答案1. 【解】提出统计假设H0：吸烟与患肺癌无关．由公式可得2χ≈9．663 6，又P(2χ≥6.635)≈0.01．所以推断吸烟与患肺癌有关．2. 【解】提出统计假设H0：灌溉水平对叶子衰老没有影响．由公式可得2χ≈2.3435，又P(2χ≥3.841)≈0.05，所以不能推断出灌溉水平对叶子衰老有影响的结论(可靠性不低于95％)3. 【解】提出统计假设H0：甲、乙两厂的产品质量无显著差别由公式可得2χ≈7.7814，又P(2χ≥3.841)≈0.05，所以甲、乙两厂的产品质量有显著差别(可靠性不低于95％)．4. 【解】(1)列联表如下：(2)卡方检验的统计假设为H0：调适匪力不能减少心脏病摔发各估计值见下表，卡方统计量为3.843。

第二章 概率 2.3.2 事件的独立性编写人： 编号：005学习目标理解两个事件相互独立的概念，并能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

学习过程： 一、预习：1、问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题2：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响． 设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知P(A)= , P(B)= , P(AB)= ， 所以．P(A|B)=即()()P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 归纳总结：1．两个事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足()()P A B P A =，则称事件A ，B 独立． 当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==，即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即()()()P AB P A P B =．（*） 若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立. 2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A =．3． 独立与互斥：回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件. 区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．事实上，当()0P A >，()0P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而()0P AB =，但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，导致矛盾）．例如：从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设A =“抽得老Ｋ”B =“抽的红牌”，C =“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？ ①A 与B ； ②A 与C 4练习：1、甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.2、口袋中有a 只黑球b 只白球，连摸两次，每次一球.记A ={第一次摸时得黑球}，B ={第二次摸时得黑球}.问A 与B 是否独立？就两种情况进行讨论：①有放回；②无放回.图2-3-2二、课堂训练：例1、求证：若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立。

课堂练习(十四) 独立性检验(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在吸烟与患肺病这两个事件的计算中，下列说法中①若统计量χ2>6.64，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；②若从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病；③若从统计中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误．正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3B[统计量χ2仅仅说明一个统计推断，并不能说明个案或某些情况，从而③正确．故选B.]2．下面是2×2列联表则表中a，bA．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52C[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54.]3．如果有95%的把握说事件A和B有关，那么具体算出的数据满足( )A．χ2>3.841 B．χ2>6.635C．χ2<3.841 D．χ2<6.635A[根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A与B有关时，统计量χ2>3.841，故选A.]4．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表，则χ2的值为( )A ．0.559 C ．0.443D ．0.4A [χ2＝90×(12×36－33×9)245×45×21×69≈0.559，故选A.]5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表，则学生的性别与认为作业量的大小有关的把握大约为( )A ．C ．90%D ．无充分证据B [由2×2列联表得χ2的观测值χ2＝50×(18×15－8×9)227×23×26×24≈5.059>5.024，故有97.5%的把握认为学生性别与认为作业量大小有关，故选B.]二、填空题6．为了检验两个事件A 与B 是否相关，经计算得χ2＝3.850，我们有________的把握认为事件A 与B 相关．[答案] 95%7．为了考查高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某市在该辖区内的高中学生中随机地抽取300名学生进行调查，得到表中数据：4．512 [由χ2＝300×(47×123－35×95)2142×158×82×218≈4.512.]8．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)是 [因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．]三、解答题9．某中学高二班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：[解] 根据列联表中的数据得到χ2＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26≈11.538>10.828，即有99.9%的把握认为学习的积极性与对待班级工作的态度有关．10．为研究学生对国家大事的关心与否与性别是否有关，在学生中随机抽样调查，结果如下：(1)(2)扩大样本容量，将表中每个数据扩大为原来的10倍，然后作出判断分析； (3)从某中学随机抽取450名学生，其中男，女生数量之比为5∶4，通过问卷调查发现男生关心国家大事的百分率为94%，而女生关心国家大事的百分率为85%，请根据这些数据，判断该中学的学生是否关心国家大事与性别的关系．[解] (1)提出假设H 0：学生对国家大事的关心与否与性别无关．由公式可得χ2＝400×(182×24－18×176)2200×200×358×42≈0.958.因为χ2≈0.958<2.706，所以我们没有理由认为学生是否关心国家大事与性别有关(当然也不能肯定无关)． (2)χ2＝4 000×(1 820×240－180×1 760)22 000×2 000×3 580×420≈9.577>6.635，所以我们有99%的把握认为是否关心国家大事与性别有关．(3)依题意得，男、女生人数分别是250人和200人，男生中关心国家大事的人数为235人，女生中关心国家大事的人数为170人．列出2×2列联表如下：由表中数据，得χ2＝250×200×405×45＝10>6.635，所以我们有99%的把握认为该中学的学生是否关心国家大事与性别有关．[能力提升练]1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该假设( ) A ．H 0：男性喜欢参加体育活动 B ．H 0：女性不喜欢参加体育活动 C ．H 0：喜欢参加体育活动与性别有关 D ．H 0：喜欢参加体育活动与性别无关D [独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．]2．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：附：参考公式和临界值表：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )A ．90% C ．99%D ．99.9%C [设H 0：饮食习惯与年龄无关． 因为χ2＝30×(4×2－16×8)212×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．]3．2018年10月8日为我国第二十一个高血压日，主题是“知晓您的血压”．某社区医疗服务部门为了考察该社区患高血压病是否与食盐摄入量有关，对该社区的1 633人进行了跟踪调查，得出以下数据：量有关系．80．155 99.9% [χ2＝1 633×(34×1 353－220×26)2254×1 379×1 573×60≈80.155>10.828.故有99.9%的把握认为患高血压病与食盐的摄入量有关系．] 4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．③ [χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故①不正确，②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；③正确．]5．有两个分类变量X 与Y ，其一组观测值如下2×2列联表所示：其中a,15之间有关系． [解] 查表可知：要使有90%的把握认为X 与Y 之间有关系，则χ2≥2.706，而χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝65×[a ·(30＋a )－(15－a )·(20－a )]220×45×15×50＝13×(65a －300)250×45×60＝13×(13a －60)290×60.∵χ2≥2.706，∴13×(13a －60)290×60≥2.706，即(13a －60)2≥1 124，∴13a －60≥33.5或13a －60≤－33.5， ∴a ≥7.2或a ≤2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧a >5，15－a >5，∴5<a <10且a ∈Z . ∴a ＝8或9.∴当a ＝8或9时，有90%的把握认为X 与Y 之间有关系.。

2.2超几何分布 2.3独立性同步练测1.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为.2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是.3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是.4.在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是.5.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于.6.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本共有本.7.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，则X＝2的概率为.8.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=________.9．设A、B互不相容，且P(A)＞0，P(B|A)＝__________，若A、B相互独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝______________.10．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________.11.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．12.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一本，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．二、解答题（本题共4小题，共40分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）13.（8分）从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的概率分布．14.（8分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等.用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布；（3）计分介于20分到40分之间的概率.15．（8分）有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率.(精确到0.001)16．（8分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．17.（8分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的概率分布；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．2.2超几何分布 2.3独立性同步练测答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5. 6． 7． 8. 9. 10. 11． 12．二、解答题13.14.15.16.17.2.2超几何分布 2.3独立性 同步练测参考答案一、填空题1.5122.712 解析:由题意知P (A )＝，P (B )＝，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－×＝.3.(1－p 1)p 2＋p 1(1－p 2) 解析:设甲解决问题为事件A ，乙解决问题为事件B ，则恰有一人解决问题为事件B ＋A ，由题设P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，∴ P (B ＋A )＝P (B )＋P (A )＝P ()·P (B )＋P (A )·P ()＝(1－p 1)p 2＋p 1(1－p 2)．4.25 解析一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A ，“乙去某地”为事件B ，则至少1人去此地的概率为P ＝P (A )·P ()＋P ()·P (B )＋P (A )·P (B )＝×＋×＋×＝.解析二：考查对立事件P ＝1－P ()·P ()＝1－×＝. 5. 解析：＝.6．4 解析：设语文课本有n 本，则数学课本有（7－n ）本(2≤n ≤7)．则2本都是语文课本的概率为＝，由组合数公式得n 2－n －12＝0，解得n ＝4（n ＝−¿3舍去）.7. 37 解析：依题意，随机变量X 服从超几何分布，所以P （X ＝k ）＝ C 6k C 44−kC 104 （k =0，1，2，3，4），P （X ＝2）＝ C 62C 42C 104 = 37 .8.3513 解析：取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3，其得分为 ξ=4，6，8，10分，P （ξ≤6）=P （ξ=4）+P （ξ=6）=470344C C C +471334C C C =35139.0 P (B ) 解析：∵ A 、B 互斥，∴ A 发生则B 一定不发生，从而P (B |A )＝0；又A 、B 相互独立时，P (AB )=P （A ）P (B ), ∴ P (B |A )＝P (B )．10.0.65 0.3 解析：∵ A 、B 相互独立，∴ P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P (A |B )＝P (A )＝0.3.11. 解析：设甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 1)＝××＝，P (A 2)＝××＝，P (A 3)＝××＝.因此甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1＋A 2＋A 3)＝＋＋＝.12． 解析：设“任取一本是文科书”的事件为A ，“任取一本是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P (A ·B )． 根据题意可知P (A )＝＝，P (B )＝＝，∴ P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝×＝. 二、解答题13.解：由题意知X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3. X 的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为 P (X ＝0)＝＝， P (X ＝1)＝＝， P (X ＝2)＝＝. 所以X 的概率分布为14.解：（1）设“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P（2P P （3）设“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P （C ）=P （ξ=3或ξ=4）=P （ξ=3）+P （ξ=4）= 215 + 310 = 1330.15.解：设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A 、B 、C . (1)∵ P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95，∴ P ()＝0.10，P ()＝P ()＝0.05. ∵ 事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P (A ·B ·)＋P (A ··C )＋P (·B ·C )＝P (A )·P (B )·P ()＋P (A )·P ()·P (C )＋P ()·P (B )·P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176. (2)方法1：至少有两件不合格的概率为P (A ··)＋P (·B ·)＋P (··C )＋P (··)＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012.方法2：三件产品都合格的概率为P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.90×0.952≈0.812. 由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P (A ·B ·C )＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012. 16.解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则打印版P(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝.(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(·)＝P()·P()＝×＝.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(·)＝1－＝.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.17.解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(m≤3)件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.所以随机变量X的概率分布是(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3.因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.高中数学。