高等数学习题(六)：二重积分

高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。

它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。

通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。

即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。

若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。

即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。

3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。

具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。

对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。

1. 计算二重积分∫∫Dxy，其中D是由x^2+y^2≤1和x+y≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用极坐标变换进行求解。

将x²+y²=1代入x+y=0得，x=±√3/2，y=±1/2。

因此，D由圆心在原点，半径为1的上半圆和直线x=-√3/2，y=1/2以及直线x=√3/2，y=-1/2所围成。

将(x,y)代入极坐标系中，得到D的极坐标方程为：θ∈[0,π/4]∪[π/2,π]，r²=1-sin²θ。

因此，二重积分的计算结果为：∫∫Dxy = ∫[0,π/4]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/4,π/2]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/2,π]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr= (1/2)(1-cos²θ)|_0^{π/4} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/4}^{\pi/2} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/2}^{\pi}= π/8 - 3/4。

2. 计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz，其中Ω是由x²+y²+z²≤1和x+y+z≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的空间区域，然后利用柱面坐标变换进行求解。

将x²+y²+z²=1代入x+y+z=0得，x=y=z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

因此，Ω由球心在原点，半径为1的球体和点(-dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3})所围成。

将(x,y,z)代入柱面坐标系中，得到Ω的柱面坐标方程为：r=1，θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。

因此，三重积分的计算结果为：∫∫∫Ωzdxdydz = ∫[0,2π]dφ∫[0,π]rdθ∫[0,1]r²sinφdz= (1/2)(r³sinφ)|_0^{π} |_0^{π} |_0^{1}= π/6。

高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。

在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。

本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。

设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。

则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。

二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。

二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。

2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。

3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。

4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。

三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。

设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。

2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。

设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。

3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。