Voronoi图

VoronoiDiagram——维诺图Voronoi图定义任意两点p 和q 之间的欧⽒距离，记作 dist(p, q) 。

就平⾯情况⽽⾔，我们有dist(p, q) = (px-qx)2+ (py-qy)2设P := {p1, …, pn}为平⾯上任意 n 个互异的点；这些点也就是基点。

按照我们的定义，所谓P对应的Voronoi图，就是平⾯的⼀个⼦区域划分——整个平⾯因此被划分为n 个单元（cell ），它们具有这样的性质：任⼀点q位于点pi 所对应的单元中，当且仅当对于任何的pj∈Pj, j≠i,都有dist(q, pi)<dist(q, pj)。

我们将与P对应的Voronoi图记作Vor(P)。

“Vor(P) ”或者“Voronoi图”所指⽰的仅仅只是组成该⼦区域划分的边和顶点。

在Vor(P)中，与基点pi 相对应的单元记作V (pi)——称作与pi 相对应的Voronoi单元（Voronoi cell）。

上图是Voronoi图，下图的蓝⾊点围成的区域（凸包）是它对应的Delaunay三⾓剖分。

任给平⾯上两点p 和q ，所谓 p 和q 的平分线（bisector），就是线段 pq的垂直平分线。

该平分线将平⾯划分为两张半平⾯（half-plane）。

点 p 所在的那张开半平⾯记作 h(p, q) ，点 q 所在的那张开半平⾯记作 h(q, p) 。

请注意，r ∈ h(p, q) 当且仅当 dist(r, p) < dist(r, q) 。

据此，可以得出如下观察结论：V (pi) = ∩ h(pi, pj) , 1≤j≤n, j≠ i也就是说，V (pi)是(n-1)张半平⾯的公共交集；它也是⼀个（不见得有界的）开的凸多边形（convex polygon）⼦区域.很显然，Voronoi顶点到相邻的三个site距离相等；Voronoi边上任意⼀点到相邻的两个site距离相等；对于任何点q，我们将以q为中⼼、内部不含P中任何基点的最⼤圆，称作q关于P的最⼤空圆（largest empty circle ），记作Cp(q)。

GIS原理与算法第七章Voronoi图构建算法（based on Raster）2011.6主要内容预备知识并行生长算法传统距离变换动态距离变换算法栅格算法实例球面V的生成算法原理球面格网算法实例问题讨论？？意义矢量算法对于点集十分有效，对于线集变得比较复杂，面状集则非常困难，推广到三维Voronoi图和球面Voronoi图的矢量算法则更为复杂。

算法的复杂性是Voronoi图在动态GIS模型中难以得到广泛应用的主要原因。

为解决这个矛盾，C.Gold & Yang[1992,1996]提出一个点线模型，即把复杂实体分解成点和直线，先构建点线的Voronoi图，再转换为实体的Voronoi 图。

意义•此方法的优点是结构简单，能直接建立实体的四边数据结构和容易处理区域实体的动态变化，•但是此方法缺乏数据的层次结构（即数据综合），难以从根本上解决海量数据的不同层次的综合表达。

扩展模板最简单的距离扩展模板是3×3的正方形模板，其距离扩张如图所示：扩展模板其他模版还有：菱形模版、棋盘模版、八边形模版等：只要上述a，b的取值满足1<b/a<2，那么它就是“欧氏距离”在平面栅格空间的一个整数近似。

(a) 菱形模版(b)棋盘模版(c)八边形模版不同的模板给出的栅格距离不同，如下图：对于这些距栅格VD定义栅格膨胀和腐蚀算子膨胀(dilation)和腐蚀(erosion)是数学形态学的两个基本算子。

A是原始影像，B是结构元。

定义如下：bBbbBbABAABA∈∈=Θ=⊕IU::腐蚀膨胀膨胀和腐蚀算子 膨胀和腐蚀原理：分解图（2）4、动态距离变换算法采用距离变换后，由于取整带来的误差，与欧氏距离之间的差异随距离的增大而增大，如下图：动态距离变换原理实验结果意义与研究现状由于现代测绘及相关技术的发展，人们研究的区域逐渐从局部区域发展到覆盖整个地球。

而地球本身就是一个近似的椭球体，研究球面Voronoi图的生成方法对于全球数据的动态管理和球面空间关系的推理有其重要的意义。

三维Voronoi图的动态实现与研究曹锐创石奇偲黄棱潇摘要在计算几何中，离散点构造Voronoi图是一个非常基础且应用广泛的问题。

N个离散点按照最邻近原则划分区域，每个点与它的最近邻区域相关联。

本实验重点研究Voronoi图的三维情况，运用分块的方法动态实现了单一Voronoi细胞和三维Voronoi图的构造。

同时，本实验对均匀分布的随机点产生的性质进行了一系列研究和分析。

关键字：三维Voronoi图，单一Voronoi细胞，分块，均匀分布1.引言在二维（平面）情况下，Voronoi图是由一组连接两邻近点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。

N个在平面上有区别的点，按照最邻近原则划分平面。

每个离散点则各自拥有一个细胞区域，区域内部的点到相对应的离散点距离最近。

在高维情况下，连接两邻近点直线的垂直平分不再是直线，形成Voronoi图的细胞则会从平面上的多边形转变为高维的多面体。

Voronoi图的平面情况和三维情况的区别不光体现在细胞的构成上。

平面情况下，由于可以应用欧拉公式，我们能知道构成Voronoi图的顶点和边数和离散点数为相同数量级。

但涉及到三维情况：首先，每个细胞区域构成多了面的概念；其次，构成细胞的顶点数和边数在数量级上也有了质变，可以达到离散点数数量级的平方。

这为构造三维Vonoroi图带来了困难，导致了时间复杂度和空间复杂度的增加。

三维Voronoi图主要有Quickhull[11]和分块动态实现[12]两种算法，但它们的时间复杂性最差情况下都可以达到θ(n2)。

实验中，我们首先动态实现了单一Voronoi细胞的构造。

事实上，在许多物理应用中，人们更关注的仅是几个单一Voronoi细胞，而不是整个Voronoi图的构造。

运用单一Voronoi 细胞的构造，结合分块方法，我们动态的构造三维Vonoroi图。

尽管在最差情况下，时间复杂性可以达到θ(n2)，但如果考虑离散点是随机均匀分布的，实验结果显示平均复杂度随着离散点数的增加线性增长。

Voronoi图和Delaunay三⾓剖分刷题的时候发现了这么⼀个新的东西：Voronoi图和Delaunay三⾓剖分发现这个东西可以O(nlogn)解决平⾯图最⼩⽣成树问题感觉⾮常棒然后就去学了..看的，感谢n+e的耐⼼教导..Voronoi图是个啥Delaunay三⾓剖分最优三⾓剖分就是使每⼀个三⾓形的外接圆都不包含其他的点的三⾓剖分这个算法就是求最优三⾓剖分的简单来说就是分治合并对于点数⼩于等于3的可以直接连边合并的时候1）先找到两边最下⾯的点，这个可以⽤凸包求，然后连边2）对于现在得到的两个点p1、p2，找到⼀个点连接着p1且由这三个点的外接圆不包含别的任何点，并删除这个外接圆经过的边，p2也是如此3）看现在找出来的两个点y1、y2，找其中⼀个点使得它与p1、p2的外接圆不包含另外⼀个点，使其与对应的点连边4）重复（2）（3）直到⽆边可连对n+e代码的修改⼀开始压根不知道怎么实现这个算法的时候去看了看n+e的代码..发现他的代码中每次都要遍历p1和p2的所有边，这样的做法在特殊的图⾥⾯是O(n2)的可以说他⾃⼰出的数据偏⽔？？（雾然后看了上⾯那篇详细的⽂章，发现它的边是按照顺时针或者逆时针的⽅向进⾏取边的，这样遇到的边要不删掉要不就是最优的所以我开了⼀个双向链表来储存边，使得边是按照(−π2,3π2]顺时针排列然后就会发现细节⼀⼤堆..调了我3天的东西就直接放上来好了判断⼀个点是否在某三个点的外接圆内在⾥⾯有讲，但是貌似图都爆掉了？？就是把点映射到z=x2+y2的抛物⾯上，这三个点就会形成⼀个新的平⾯，然后再判断剩下的那个点和这个平⾯的关系即可下⾯放⼏张n+e给我的图⽚⽅便理解？抛物⾯z=x2+y2其实第三张图应该很清晰了吧..在圆内的点都会在平⾯下⽅，⽽在圆外的都会在平⾯上⽅这个⽤三维叉积点积判⼀下就好了Code下⾯就贴⼀下我3天的成果吧..还有什么问题请指教..bzoj4219#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cmath>#include <vector>#define eps 1e-10using namespace std;const int Maxn = 100010;double _max(double x, double y) { return x > y ? x : y; }double _min(double x, double y) { return x < y ? x : y; }struct node {int y, nxt, frt, opp;}a[Maxn<<3]; int first[Maxn], last[Maxn], num[Maxn<<3], now;int sta[Maxn], tp;int pb(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].frt = k;if(k){a[u].nxt = a[k].nxt;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = u;else last[x] = u;a[k].nxt = u;} else {if(first[x]) a[first[x]].frt = u;else last[x] = u;a[u].nxt = first[x]; first[x] = u;}return u;}int pf(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].nxt = k;if(k){a[u].frt = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = u;else first[x] = u;a[k].frt = u;} else {if(last[x]) a[last[x]].nxt = u;else first[x] = u;a[u].frt = last[x]; last[x] = u;}return u;}void del(int x, int k) {num[--now] = k;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = a[k].frt;else last[x] = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = a[k].nxt;else first[x] = a[k].nxt;}double _abs(double x) { return x < 0 ? -x : x; }int zero(double x) { return _abs(x) < eps ? 1 : 0; }struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}bool operator<(const Point &A) const { return zero(x-A.x) ? 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x : fa[x] = ff(fa[x]); }int main() {int i, j, k;scanf("%d%lf%lf", &n, &X, &Y);for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &list[i].x, &list[i].y);now = 1;for(i = 1; i <= n<<3; i++) num[i] = i;sort(list+1, list+n+1);divi(1, n);for(i = 1; i <= n; i++){e[++el] = enode(i, n+1, _min(list[i].x, Y-list[i].y));e[++el] = enode(i, n+2, _min(list[i].y, X-list[i].x));for(k = first[i]; k; k = a[k].nxt) e[++el] = enode(i, a[k].y, dis(i, a[k].y)/2.0); }sort(e+1, e+el+1);for(i = 1; i <= n+2; i++) fa[i] = i;for(i = 1; i <= el; i++){int fx = ff(e[i].x), fy = ff(e[i].y);if(fx != fy){fa[fx] = fy;if(ff(n+1) == ff(n+2)){ printf("%lf\n", e[i].d); return 0; }}}return 0;}⼩总结？？虽然这次搞这个东西⽤的时间很长.. 但是收获还是很⼤的..最后差那么⼏个点wa还是很想放弃的..但是还是坚持下了来了嘛..加油啊..Processing math: 100%。

沃罗诺伊图（VoronoiDiagram，也称作Dirichlettessellation。

沃罗诺伊图（Voronoi Diagram，也称作Dirichlet tessellation，狄利克雷镶嵌）是由俄国数学家建⽴的空间分割算法。

灵感来源于⽤凸域分割空间的思想。

在⼏何，晶体学建筑学，地理学，⽓象学，信息系统等许多领域有⼴泛的应⽤。

泰森多边形法，荷兰⽓候学家A·H·Thiessen提出了⼀种根据离散分布的⽓象站的降⾬量，来计算平均降⾬量的⽅法，即将所有相邻⽓象站连成三⾓形，作这些三⾓形各边的，将每个三⾓形的三条边的的交点（也就是的圆⼼）连接起来得到⼀个多边形。

⽤这个多边形内所包含的⼀个唯⼀⽓象站的来表⽰这个内的降⾬强度，并称这个多边形为。

如图，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。

泰森多边形每个顶点是每个三⾓形的圆⼼。

泰森多边形也称为图，或图。

⼀、⽂档⽬的本⽂描述了在geomodel模块中，⽣成泰森多边形所使⽤的算法。

⼆、概述GIS和地理分析中经常采⽤泰森多边形进⾏快速插值，和分析地理实体的影响区域，是解决邻接度问题的⼜⼀常⽤⼯具。

荷兰⽓候学家A·H·Thiessen提出了⼀种根据离散分布的⽓象站的降⾬量来计算平均降⾬量的⽅法，即将所有相邻⽓象站连成三⾓形，作这些三⾓形各边的垂直平分线，于是每个⽓象站周围的若⼲垂直平分线便围成⼀个多边形。

⽤这个多边形内所包含的⼀个唯⼀⽓象站的降⾬强度来表⽰这个多边形区域内的降⾬强度，并称这个多边形为泰森多边形。

如图1，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。

泰森多边形每个顶点是每个三⾓形的外接圆圆⼼。

泰森多边形也称为Voronoi图，或dirichlet图。

泰森多边形的特性是：1，每个泰森多边形内仅含有⼀个离散点数据。

2，泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近。

3，位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。

泰森多边形可⽤于定性分析、统计分析、邻近分析等。

第七章Voronoi图构建算法（based on Vector）2011.6GIS原理与算法Voronoi图Voronoi图是计算几何中最重要的几何结构之一（紧次于凸壳），它描述了对于一系实体集的邻近性问题。

邮局问题；观测台问题；学校（医院）问题；Voronoi图Voronoi图的概念是由Dirichlet在1850年首先提出； 俄国数学家Voronoi于1907年在文章中做了进一步阐述，并提出高次方程化简；气象学家Thiessen在1911年为了提高大面积气象预报结果，应用Voronoi图对观测站进行划分观测区域（多边形）；为了纪念这些科学家的成就，这种结构被称为Dirichlet剖分或Voronoi图或Thiessen多边形。

主要内容Definitions & Properties (定义和性质) Vector Algorithm (矢量算法)Order-k VD (多阶VD)Line and area VD (线和面的VD)Minkowski metric VD (M度量VD)Other Voronoi diagram (其他VD)Applications (应用)}iProperties（1）假设：集合S中，没有四点是共圆的。

Voronoi图是度数为三的正则图（图论），即：Voronoi图的每一个顶点恰好是图解的三条边的交点。

在S中，pi的每一个最邻近点确定一条Voronoi图多边形的一条边。

多边形V（i）是无界的当且仅当pi是集合S的凸壳的边界上的一个点。

对于S的Voronoi图的每一个顶点v，圆C（v）不包含S 的其它的点（最大空圆）。

Properties of D(p)& V(p)Each Voronoi region2、Vector Algorithm•自Shamos和Hoey[1975]把Voronoi图作为一种有效的数据结构引入计算机领域，并成为计算几何领域的主要研究热点之一。

维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现一、问题描述1.Voronoi图的定义又叫泰森多边形或Dirichlet图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。

2.Voronoi图的特点（1）每个V多边形内有一个生成元；（2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；（3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；（4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。

3.Voronoi的应用在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。

如在障碍物点集中，规避障碍寻找最佳路径。

二、算法分析与设计Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。

生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。

1.建立Voronoi图方法和步骤本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。

主要是指生成Voronoi图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再找出三角网每一三角形的外接圆圆心，最后连接相邻三角形的外接圆圆心，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。

如下图所示。

建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。

建立Voronoi图的步骤为：（1）离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。

对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。

（2）计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。

（3）遍历三角形链表，寻找与当前三角形pTri三边共边的相邻三角形TriA，TriB和TriC。

（4）如果找到，则把寻找到的三角形的外心与pTri的外心连接，存入维诺边链表中。

如果找不到，则求出最外边的中垂线射线存入维诺边链表中。

（5）遍历结束，所有维诺边被找到，根据边画出维诺图。

Voronoi图的原理和应用1. 什么是Voronoi图Voronoi图，也被称为泰森多边形、Dirichlet图或Voronoi多边形，是一种在计算几何学中被广泛应用的图形。

它是由若干个点在平面上产生的一系列曲线分隔而成的区域。

该图形以每个点为中心，将离得最近的点组成的区域划分开来。

2. Voronoi图的原理•步骤1：给定一组点集P，例如2D平面上的点•步骤2：对于每个点p∈P，根据离该点最近的点q∈P，生成一条从点p到点q的线段•步骤3：根据所有的线段形成的区域，将平面划分成多个区域，每个区域都由一个独立的点p∈P和其离该点最近的点q∈P确定3. Voronoi图的性质•Voronoi图是一种分割几何空间的图形，它将平面划分成若干个不重叠区域•每个Voronoi图的区域都由一个独立的点和最近的点共同确定•Voronoi图中的每条边都是由两个不同点之间的中垂线构成•Voronoi图的边界是由无穷远处的点所确定•Voronoi图满足唯一性，即给定一组点集，对应的Voronoi图是唯一的4. Voronoi图的应用4.1 计算几何学Voronoi图在计算几何学中有着广泛的应用。

它可以用于解决近似最近邻问题、最近点问题、空间索引和空间分析等。

通过构建Voronoi图，可以有效地进行空间数据查询和分析，以及空间关系的判断。

4.2 计算机图形学Voronoi图在计算机图形学中也有着重要的应用。

例如，在计算多边形的外包围盒时，可以使用Voronoi图的性质来进行快速计算。

利用Voronoi图生成的泰森多边形，可以用于三角剖分、分形图像生成和模拟等方面。

4.3 地理信息系统在地理信息系统中，Voronoi图被广泛应用于空间数据的分析和处理。

例如，通过构建基于Voronoi图的空间索引，可以实现快速的空间查询和聚类分析。

同时，Voronoi图还可以用于边界识别、地块划分和地理信息可视化等方面。

4.4 无线通信Voronoi图还可以用于无线通信系统中的基站规划和覆盖范围分析。

voron tap原理
Voronoi图是一种用于描述空间分割的数学方法。

它基于一组离散的点，通过将空间分割为相邻区域，并使每个区域内的点到其相应的离散点的距离最近。

这种分割产生了一种多边形网格，称为Voronoi单元，这些单元由空间中的点组成，使得每个点都位于其相应Voronoi单元的内部。

Voronoi图的原理可以通过以下步骤来解释：
1. 首先确定一组离散的点，这些点被称为生成点或种子点。

2. 然后，以这些生成点为中心，在空间中创建一系列的区域，使得每个区域内的点到其最近的生成点的距离最小。

3. 这些区域的边界形成了Voronoi图的边界，而生成点则定义了Voronoi图的顶点。

4. 最终，Voronoi图将空间分割为一组多边形区域，其中每个区域都与其最近的生成点相关联。

Voronoi图在许多领域都有广泛的应用，包括地理信息系统、计算几何学、生物学等。

在计算机图形学中，Voronoi图常用于生成自然景观、模拟地形和创建艺术效果。

在工程和建筑领域，Voronoi图也被用于优化设计和规划空间布局。

总之，Voronoi图的原理基于离散点之间的距离关系，通过将空间分割为相邻区域来描述空间的特征，具有广泛的应用前景和理论基础。

泰森多边形(Voronoi图)生成算法一、文档目的本文描述了在geomodel模块中，生成泰森多边形所使用的算法。

二、概述GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速插值，和分析地理实体的影响区域，是解决邻接度问题的又一常用工具。

荷兰气候学家A·H·Thiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。

用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。

如图1，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。

泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。

泰森多边形也称为Voronoi图，或dirichlet图。

图1 泰森多边形泰森多边形的特性是：●每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据●泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近●位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。

例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。

在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。

这种三角网称为Delaunay三角网。

三、Delaulay三角形的构建Delaunay三角网的构建也称为不规则三角网的构建，就是由离散数据点构建三角网，如图2，即确定哪三个数据点构成一个三角形，也称为自动联接三角网。

即对于平面上n个离散点，其平面坐标为(x i，y i)，i＝1，2，…，n，将其中相近的三点构成最佳三角形，使每个离散点都成为三角形的顶点。

图2 Delaunay三角网自动联接三角网的结果为所有三角形的三个顶点的标号，如:1,2,8；2,8,3；3,8,7；……为了获得最佳三角形，在构三角网时，应尽可能使三角形的三内角均成锐角，即符合Delaunay三角形产生的准则：1、任何一个Delaunay三角形的外接圆内不能包含任何其它离散点。

Voronoi图扫描线算法的三维演示1.最近Voronoi图定义及性质Voronoi 图的定义：在平面上有N个独立的站点，而Voronoi图就是把平面分成N个子区域，每个站点都拥有自己的子区域，在这个区域中的任何点q到当前站点的距离比到其他站点的距离最短。

Voronoi 图的性质：图一图二如图一所示，站点与对应的Voronoi边上的点在与的垂直平分线上，以这个点为圆心的圆能够经过与并且圆内无其它站点。

如图二所示，如果一个点是Voronoi定点，则它至少经过三个站点，并且圆内无其它站点。

2.Voronoi图扫描线算法扫描线算法概述：1.通过水平线从上往下扫描站点；2.增量构造，跟踪每个站点对应的结构的变化。

扫描线算法待处理事件：1.如图三所示，图中的红色弧的序列为海岸线，是我们要跟踪处理的数据结构（组织成二叉树）。

图三2.图四中到两个站点及扫描线相等的点为分裂点，为海岸线结构中的重要成分，实际上为二叉树中的内点，而每条弧则为叶子节点。

图四3.图五和图六为两个连续的瞬间，图五中间的那条弧即将消失，取而代之的是Voronoi顶点。

它的两条边为分裂点生长而成。

图五图六我们所用的数据结构：1.用DCEL记录Voronoi图：图七Vertex：点的辅助信息bool inner; 表示该点是不是一个内部点（非边界点）vector<int> inTris; 记录该点所在的三角形号vector<int> inTrisOrd; 记录该点在相应三角形中的编号（只取0，1，2）int startHe; 该点起始半边编号int endHe; 该点终止半边编号（仅对边界点有效）HalfFace3：面辅助信息int he[3]; 记录一个面中三条半边号码HalfEdge：基础半边结构int fv; 起始点int tv; 终止点int fn; 面号int prev; 前一条半边int next; 后一条半边int opp; 对面相反的半边2.海岸线结构，也即是二叉树。

浅析平面voronoi图的构造及应用平面Voronoi 图是指一种将平面划分为多个区域的图形，使得每个点到其所在区域的边界上的点的距离最近。

Voronoi 图由一组点集构成，每个点集对应一个区域，区域内的点到该区域所在点集的距离最近。

平面Voronoi 图的构造主要通过一些算法来实现，而其应用涵盖了许多领域，如计算几何、计算机图形学、计算机视觉等。

平面Voronoi 图的构造可以通过以下方法实现：1. 暴力搜索法：遍历平面上的每个点，计算其到所有点集的距离，划分到距离最近的点集对应的区域。

这种方法简单直接，但其时间复杂度为O(n^2)，其中n为点集的个数。

因此，对于点集数量较大的情况下，构造时间较长。

2. 分治法：将平面分成多个小区域，每个小区域内的点集数量较少。

然后，对每个小区域内的点集构造Voronoi 图，最后将所有小区域内的Voronoi 图合并成总的Voronoi 图。

这种方法可以将构造时间的复杂度降低到O(nlogn)，但实现起来相对复杂。

3. 增量法：从一个空的Voronoi 图开始，逐渐添加新的点集到Voronoi 图中。

对于每个新点集，首先找到离其最近的Voronoi 边界，然后在该边界上插入新的边，同时通过恢复和调整来保持Voronoi 图的连通性和完整性。

这种方法构造的Voronoi 图速度较快，但有一定的难度。

平面Voronoi 图的应用十分广泛：1. 几何学应用：平面Voronoi 图可以用于最近点问题，即寻找平面上距离某个点最近的点。

通过计算该点所在的Voronoi 区域，即可找到最近的点。

此外，Voronoi 图还可以用于计算多边形的最近点对，以及判断点在多边形内外等问题。

2. 计算机图形学：平面Voronoi 图可以用于计算包围盒（Bounding Box）和凸包（Convex Hull），以及进行形状合并和拆分等操作。

其可以优化计算机图形学中的光线追踪、视锥剪切和反射折射等算法的效率。

维诺分割法
维诺分割法（Voronoi Diagram），也称为维诺图或沃罗诺伊图，是一种在二维或多维空间中，根据一组给定的点（称为种子点或生成点）将空间分割成多个多边形区域的算法。

这些多边形区域具有以下特性：每个区域内部离其对应的种子点的距离都小于到其他任何种子点的距离。

维诺分割法由俄国数学家Georgy Fedoseevich Voronoi在19世纪末提出，是一种广泛应用于计算几何、数值模拟、图像处理等领域的重要空间分割方法。

维诺分割法生成的多边形区域具有以下特性：
每个区域内部离其对应的种子点的距离都小于到其他任何种子点的距离。

这意味着每个区域都是其对应种子点的最近邻域。

相邻的两个区域之间的边界是一条直线，这条直线是两个相邻种子点的垂直平分线。

在二维空间中，每个多边形区域都是凸多边形，即任意两个点之间的线段都位于该多边形内部。

维诺分割法的应用非常广泛，例如在计算几何学中，它可以用于距离计算、最近邻搜索、凸包计算等。

在数值模拟中，维诺分割法可以用于模拟材料的结构和性质，例如晶体结构、流体动力学等。

此外，在图像处理中，维诺分割法也被广泛应用于图像分割、特征提取、纹理合成等方面。

维诺分割法的实现通常采用增量法或减量法。

增量法是从一个空的空间开始，逐个加入种子点并更新空间分割；而减量法则是从一个包含所有点的单一区域开始，逐个移除种子点并更新空间分割。

这两种方法各有优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和数据特点。

总之，维诺分割法是一种重要的空间分割方法，具有广泛的应用价值。

通过对空间的合理分割，可以更好地理解和处理各种空间数据，为相关领域的研究和应用提供有力支持。

基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法设计随着无线传感器网络在各个领域的应用不断扩大，对无线传感器网络覆盖问题的研究也越来越受到关注。

无线传感器网络覆盖问题是指在给定区域内部署有限数量的传感器节点，使得整个区域能够被传感器节点覆盖到，从而实现对区域内目标的监测和检测。

栅栏覆盖是覆盖问题中的一个重要问题，它要求对给定的区域进行栅栏式的覆盖，以确保区域的边界得到充分覆盖。

Voronoi图是一种用来描述空间分割的方法，它将空间分割成多个区域，并且保证每个区域都是最近邻传感器节点的覆盖范围。

利用Voronoi图对无线传感器网络进行栅栏覆盖的算法设计是当前研究的一个热点问题。

本文将重点介绍基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法设计，并对该算法进行详细分析和讨论。

1. 算法思想基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法的基本思想是利用Voronoi图的特性，将区域分割成多个小区域，并在每个小区域内部署一个传感器节点，使得整个区域得到完整的覆盖。

在覆盖的过程中，要确保每个小区域都至少有一个传感器节点位于其边界上，从而保证整个区域的边界得到充分覆盖。

2. 算法步骤（1）构建Voronoi图：在给定区域内罗列出所有的传感器节点，并根据传感器节点的位置信息构建Voronoi图，将整个区域分割成多个小区域，每个小区域对应一个传感器节点。

（3）部署传感器节点：确定好传感器节点的位置之后，就可以将传感器节点部署到每个小区域内，以实现整个区域的栅栏覆盖。

3. 算法优势（1）高效性：Voronoi图能够将区域自然地分割成多个小区域，且保证每个小区域都是最近邻传感器节点的覆盖范围，因此能够有效地实现区域的栅栏覆盖。

（2）灵活性：基于Voronoi图的算法可以适应不同形状和大小的区域，无需对算法进行调整和修改，因此具有很高的灵活性。

【插入图1：传感器节点的部署位置】根据传感器节点的部署位置，可以构建以下Voronoi图，并在每个小区域内部署一个传感器节点，如图2所示。