全等三角形的性质及判定

全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。

接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。

4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。

而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。

3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。

二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。

②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。

④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。

三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。

第三边；2。

夹角；3。

直角2、一角及邻边对应相等—1。

角的另一边;2.边的另一角；3。

边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。

夹边；2。

一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。

例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。

求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。

自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。

求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

学习必备 欢迎下载全等三角形 全等三角形 知识梳理性质对应角相等 对应边相等二、基础知识梳理 一）、基本概念1、“全等 ”的理解 全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（ 1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理、知识网络全等形 全等三角形边边边SSS边角边SAS判定 角边角ASA角角边 AAS斜边、 直角边HL角平分线作图性质与判定定理应用1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1） 已知条件中有两角对应相等， 可找：①夹边相等（ ASA ）②任一组等角的对边相等 （AAS ） （2） 已知条件中有两边对应相等， 可找①夹角相等 （SAS ） ②第三组边也相等 （SSS ） （3） 已知条件中有一边一角对应相等， 可找①任一组角相等 （AAS 或 ASA ） ②夹等角的另一组边相等 （SAS ） 5. 经典例题透析 证明图形全等 基础版—— “ SSS ” （1）已知： AB=DC ，AD=BC ，求证：∠ A= ∠C2）如图， E 是 AD 上的一点， AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠ CED=∠ B+ C基础版—— “ SAS ”（3）如图， AD ∥ BC ，AD=CB ， AE=CF ，求证： BE=DF4） 已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上， EA AD ，FD AD ， AE DF ， AB DC ．求证： ACE DBF ．基础版——“ ASA ”与“ AAS ”（5）如图，已知： AB ＝ AC ，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和CD 相交 于点 O ，∠B ＝∠ C ，求证： BD ＝CEDB举一反三：变式 1】如图，△ABC ≌△ DBE . 问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？（ 6）如图，△ABC 中，∠BAC=90 ，AB ＝AC ，直线 MN 过点 A ， 于 E ，求证： DE ＝BD+CE基础版 HL ”（ Rt △） N（7）如图， AB AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与 DE 相交于点 O ，求 证： DE BC 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ ABD ≌△ ACE ， AB =AC ，写出图中的对应边和对应角、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠ B=50°，BF=2，求∠ DFE的度数与EC举一反三：如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°求证：（ 1）CD⊥AB；（ 2） EF∥ AC.变式 1】类型二：全等三角形的证明3、如图， AC＝BD，DF＝CE，∠ ECB＝∠ FDA，求证：△ ADF≌△BCE．举一反三：【变式 1】如图，已知 AB∥DC，AB＝ DC，求证：AD∥BC【变式 2】如图，已知 EB⊥ AD于 B，FC⊥ AD 于 C，且 EB＝ FC，AB＝CD．求证 AF ＝DE．、类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。

全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。

- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。

- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。

在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。

本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。

2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。

4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。

二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。

三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。

证明∠B = ∠E, AC = DF。

全等三角形的性质全等三角形是指具有完全相等的形状和大小的三角形。

在几何学中，全等三角形具有一些独特的性质和特征。

本文将探讨全等三角形的性质，包括定义、判定条件以及相关的定理和应用。

一、定义全等三角形定义为具有完全相等的形状和大小的三角形。

换句话说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形就是全等三角形。

全等三角形可以通过一系列变换操作来叠加在一起，如平移、旋转和翻转。

二、判定条件为了判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件之一：1. SSS判定法：两个三角形的三条边相互对应相等。

2. SAS判定法：两个三角形的两条边和夹角相对应相等。

3. ASA判定法：两个三角形的一边和两个夹角相互对应相等。

4. RHS判定法：两个直角三角形的斜边和一个直角边相互对应相等。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：1. 三个内角完全相等：两个全等三角形的对应内角相等，即三个内角相互对应相等。

2. 三个内角和相等：两个全等三角形的内角和分别相等。

3. 对应的边相等：两个全等三角形的对应边分别相等。

4. 周长相等：两个全等三角形的周长相等。

5. 面积相等：两个全等三角形的面积相等。

四、全等三角形的相关定理全等三角形的性质使得它们具有一些重要的应用和相关定理，如下所示：1. 位于全等三角形相等边上的等角一定相等。

2. 位于全等三角形等角上的边上的角平分线相等。

3. 全等三角形的重心、外心和内心重合。

4. 如果两个三角形的某一边与两个相对角分别相等，则这两个三角形全等。

5. 全等三角形之间的比较定理，包括大小关系和边长比例关系。

五、应用全等三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用，例如：1. 测量和导航：通过观测两个全等三角形的边长和角度，可以计算出距离和方向。

2. 建筑和工程：使用全等三角形的定理来设计、计算和建造各种结构和设备。

3. 图像处理：利用全等三角形的性质来进行图像变换和形状匹配。

4. 运动轨迹：通过观察全等三角形的形状和大小变化，可以描述物体的运动轨迹。